李慶回 李衛(wèi)2) 孫瑜 王雅君2) 田龍2) 陳力榮 張鵬飛2) 鄭耀輝2)?

1)(山西大學光電研究所,量子光學與光量子器件國家重點實驗室,太原 030006)

2)(山西大學,極端光學協同創(chuàng)新中心,太原 030006)

3)(山西大學,物理電子工程學院,太原 030006)

引力波探測是一項重大國際前沿科技研究,對探索許多基礎科學問題具有重大意義,然而引力波探測裝置的建設面臨著極大的技術挑戰(zhàn).山西大學提出利用廢棄地下礦井,建設臂長為10 km、靈敏度達10—24 Hz—1/2的地基引力波探測裝置的建設計劃.理論上,等臂邁克爾遜干涉儀的靈敏度不受光源噪聲的限制.但是實際的激光干涉儀受臂腔線寬差異、腔鏡反射率差異、腔鏡質量差異、腔內功率差異等因素限制,靈敏度依賴于激光源的指標.本文定量分析了激光源指標參數對干涉儀靈敏度的影響,并從地基引力波探測裝置的設計靈敏度出發(fā),對激光源的波長、振幅噪聲、頻率噪聲、光束指向噪聲和基模純度提出具體要求.該分析為建設我國的地基引力波探測裝置(預期靈敏度達國際上第三代探測器水平)奠定了激光源噪聲分析和干涉儀指標分解等方面的堅實基礎.

1 引言

2015 年,美國LIGO(laser interferometer gravitation waves observatory)第一次直接探測到兩個黑洞并合的引力波事件,標志著天文學研究進入引力波時代[1-2].天文事件的探測范圍和速率依賴于激光干涉儀靈敏度,且隨靈敏度的提升而提升[3-5].對基本物理學和宏觀宇宙學更多基本問題認識的需求驅動引力波探測器技術的不斷進步和靈敏度的不斷提升.為此,美國加州理工學院和歐洲歐空局(European Space Agency,ESA)計劃建設第三代地基引力波探測裝置(cosmic explorer,CE[6]和Einstein telescope,ET[7]).山西大學在山西省政府的支持下提出在地下的廢棄礦井中建設基于量子光源的引力波探測大型地基觀測裝置,第一階段預期靈敏度達10—24Hz—1/2,階段目標實現以后,通過繼續(xù)優(yōu)化升級各個分系統(tǒng),且引入頻率依賴的壓縮光源,探測靈敏度有望達到10—25Hz—1/2量級,其探測頻帶、譜分辨能力、信號持續(xù)時間等均達到第三代地基引力波天文臺的要求.該裝置的部署能夠填補中國地基引力波探測裝置的空白,進一步提升現有引力波探測網絡的波源定位精度.

第二代探測裝置受干涉儀臂長短、注入干涉儀激光功率受限、測試質量基底和鍍膜熱噪聲大等因素限制,靈敏度(10—23Hz—1/2量級)提升面臨挑戰(zhàn)[8-9].與第二代地基引力波探測裝置相比,第三代探測裝置,擬解決低頻震動噪聲,中頻熱噪聲及高頻散粒噪聲等問題,實現靈敏度提升一個數量級的目標[10].為了高效隔離低頻震動噪聲,選址為地下200 m左右的廢棄礦井,并且采用準零剛度震動隔離系統(tǒng)設計[11-12].為了解決熱噪聲導致的注入功率受限問題,第三代地基引力波探測裝置預計選用硅作為測試質量基底材料,在降低熱噪聲的同時,提高注入干涉儀的激光功率,降低散粒噪聲對靈敏度的限制.硅的透明窗口對應激光的波段為1.5—2.2 μm[13],因此需要設計全新的激光源來滿足大型引力波探測裝置的需求.

當前,地基引力波探測裝置普遍采用等臂邁克爾遜激光干涉儀結構,同時在干涉儀中設置法布里-珀羅腔(Fabry-Perot cavity,F-P 腔)以延長等效臂長[14-16].理想情形下,等臂邁克爾遜干涉儀是一個共模抑制比為無窮大的光學器件,靈敏度與激光源的參數無關.然而,實際的激光干涉儀受諸多因素的限制共模抑制比有限,包括干涉儀控制系統(tǒng)中人為引入的臂長偏移及臂腔線寬差異、腔鏡反射率差異、腔鏡質量差異、分束器不平衡等.基于以上原因,激光源的噪聲不可避免的耦合到干涉儀探測端,因此引力波探測裝置的靈敏度緊密依賴于激光源噪聲.1997 年,Sigg等[17]基于LIGO 天文臺參數分析了激光源振幅和頻率噪聲與干涉儀噪聲的耦合關系.隨后,2004 年,Rana[18]分析了LIGO天文臺中激光振幅和頻率噪聲向裝置噪聲的傳遞,給出在特定的參數要求下差模臂長(differential arm length,DARM)的表達式,并指出振幅噪聲傳遞函數與干涉儀的臂長差相關,頻率噪聲的傳遞函數與干涉儀對比度缺陷(contrast defect)相關.2006 年,Somiya等[19]進一步完善了激光源噪聲傳遞模型,提出激光源噪聲還可以通過輻射壓力差驅動測試質量發(fā)生位移耦合到探測端.2015 年,Izumi等[20-22]分析了激光振幅和頻率噪聲對差模臂長的耦合傳遞函數,包括由輻射壓力差異和對比度缺陷引起的耦合.2021 年,Cahillane等[23-24]分析了高階模耦合對干涉儀靈敏度的影響.以上研究工作從振幅和頻率噪聲兩個指標入手,分析了LIGO 天文臺對激光源的指標需求,為LIGO 天文臺的建造和升級提供了理論支持.因此,噪聲分解是“基于量子光源的引力波探測大型地基觀測裝置”設計和建造過程中首要解決的問題.

本文從“基于量子光源的引力波探測大型地基觀測裝置”出發(fā),根據干涉儀的設計靈敏度和參數指標,全面分析了激光源與實際干涉儀的噪聲耦合及傳遞,給出由實際兩臂臂腔線寬(約0.3%)、腔內功率(約0.2%)、臂腔反射率(約0.003%)等差異引起的對比度缺陷耦合、輻射壓力差耦合、高階模耦合與DARM 的傳遞函數,進一步給出上述參數對DARM 的總傳遞函數.在此基礎上,量化了該裝置對激光源指標參數的要求,為設計和建造符合要求的激光源提供了重要前提.

2 山西大學引力波探測裝置

2.1 裝置概覽

引力波探測器光路圖如圖1 所示,為了獲得最高的探測靈敏度,選擇“L型”結構,主體是雙循環(huán)法布里-珀羅邁克爾遜干涉儀(dual-recycled Fabry-Perot Michelson interferometer,DRFPMI).干涉儀公里級長度的臂腔由輸入測試質量(input test mass,ITM)和輸出測試質量(end test mass,ETM)構成,功率循環(huán)鏡(power recycling mirror,PRM)和ITM 構成功率循環(huán)腔(power recycling cavity,PRC)增大干涉儀中循環(huán)的激光功率,信號循環(huán)鏡(signal recycling mirror,SRM)和ITM 構成信號循環(huán)腔(signal recycling cavity,SRC)拓寬探測器帶寬[25],分束器(beam splitter,BS)和ITMs構成邁克爾遜干涉儀(Michelson Interferometer,MICH).

圖1 引力波探測器光路圖Fig.1.Diagram of the optical layout of Gravitational wave detection.

X臂和Y臂包含參數相同的F-P 腔,邁克爾遜干涉儀可以測量共模臂長和差模臂長.共模臂長(common arm length,CARM)信號可以通過BS 反射端探測,而DARM 信號則通過BS 透射端探測.干涉儀臂長通過臂長穩(wěn)定系統(tǒng)(arm length stabilization,ALS)精確控制,其包括5 個長度自由度,DARM= (Lx-Ly)/2;CARM= (Lx+Ly)/2;功率循環(huán)腔腔長PRCL(power recycling cavity length)=lpr+(lx+ly)/2;信號循環(huán)腔腔長SRCL(signal recycling cavity length)=lsr+(lx+ly)/2;邁克爾遜長度MICH(Michelson interferometer length)= (lx-ly)/2 .CARM和DARM是最 基本的長度自由度本征模.當在干涉儀X臂中引入微小偏移量 ΔLDC時(Lxnλ/2+ΔLDC),Y臂偏移量與X臂偏移量大小相同,符號相反(Lynλ/2-ΔLDC),因此DARM 易受偏移量的影響,而CARM 幾乎不隨偏移量而變化.因此,引力波信號的探測通過DARM 來實現.

2.2 裝置參數

理想的等臂邁克爾遜干涉儀可以抑制各種技術噪聲,這一特性被稱為“共模抑制(commonmode rejection)”.采用DRFPMI 的配置,兩個臂腔初始設計相同,但由于制造公差,測試質量的質量和反射率等參數會存在微小差異,因此會降低干涉儀的共模抑制特性.山西大學籌建的基于量子光源的地基引力波探測裝置的設計靈敏度為10—24Hz—1/2,其他關鍵參數如表1 所示.

表1 山西大學引力波探測干涉儀參數表Table 1.Parameter of Shanxi University gravitation waves detection interferometer.

引力波強度用無量綱振幅hΔL/L表示,當信噪比為1 時,h也可以視作噪聲的無量綱振幅.基于法布里珀羅邁克爾遜干涉儀,以等效無量綱振幅表示的散粒噪聲應變靈敏度為

其中，τs=2FL/πc為臂腔貯存時間。因此,為滿足靈敏度目標,且考慮10%的安全裕度(safety margin),要求1550 nm 激光的功率約為105W.如此高功率的低噪聲單頻激光源實現面臨挑戰(zhàn).

本文采用DRFPMI 結構,干涉儀探測靈敏度受散粒噪聲的限制，其與激光輸入功率的關系如下:

根據表達式(2),當輸入激光功率大于200 W,且功率循環(huán)腔增益為120,臂腔增益為284 時,可以達到設計靈敏度10—24Hz—1/2,如圖2 所示.其中ηηmmηFIηre,其中ηmm=95%為激光和功率循環(huán)腔的模式匹配效率,ηFI=95%為法拉第隔離器效率,ηre=95%為剩余光學元件透過率,實際注入干涉儀的功率小于激光源的輸出功率.F-P 腔取代簡單的邁克耳遜干涉儀后,高頻量子噪聲中散粒噪聲得到改善,也降低了對輸入功率的要求.

圖2 探測靈敏度與激光功率的關系圖Fig.2.Detection sensitivity as a function of laser power.

3 激光源需求分析

為了滿足第三代地基引力波探測裝置對低噪聲激光源的要求,需要綜合考慮光源的各項參數指標對裝置靈敏度的影響[26-27].1)激光源的波長會影響測試質量熱噪聲,需要根據測試質量的性質選取.2)激光源的振幅噪聲直接和引力波信號在探測器上耦合;另一方面,激光源的振幅噪聲引起兩個干涉臂上輻射壓力的差異(兩個臂腔內的循環(huán)功率不可能嚴格相等),使引力波信號淹沒在輻射壓力噪聲中,降低探測靈敏度.因此,需要抑制激光源的振幅噪聲.3)激光源的頻率噪聲通過不等臂邁克爾遜干涉儀耦合到干涉信號的強度上,降低干涉儀的測量靈敏度.由于實際的邁克爾遜干涉儀不可能完全等臂,激光源的頻率噪聲是低噪聲激光干涉儀設計必須考慮的問題.4)激光源的指向波動引起干涉儀功率循環(huán)腔耦合效率的變化,進一步導致腔內循環(huán)功率的波動,從而降低測量靈敏度.因而,激光源的指向噪聲是必須考慮的關鍵指標之一.5)激光源的高階橫模不會耦合到干涉儀中,而是從功率循環(huán)鏡反射到控制探測器中,產生額外噪聲,降低控制環(huán)路性能.因此,需要盡可能提升激光源的基模光束純度.

通過抑制激光源噪聲,使激光源噪聲的等效應變噪聲在探測頻帶(10 Hz—10 kHz)內不大于預期設計靈敏度的10%(安全裕度).由于各個噪聲源是相互獨立的,噪聲增大10%只會使干涉儀總噪聲基底增大0.5%: (12+0.12)1/2=1.005(信噪比降低不超過0.5%).相比于PRCL,SRCL和MICH,DARM 對引力波信號更靈敏,因此在本文的分析計算中,僅考慮臂腔內輻射壓力噪聲對測試質量產生的微小位移,而忽略激光源噪聲耦合對其他鏡片的影響,如BS,PRM和SRM.

3.1 激光波長

表2 對比了熔融石英和硅基底材料的物理性質.由漲落-耗散定理(fluctuation-dissipation theorem,FDT)可知,熱噪聲的功率譜密度與鏡片的楊氏模量成反比,與鏡片的泊松比、機械損耗成正比.因此選用硅作為鏡片基底,較高密度和較高折射率會減小為實現高反射率所需的鍍膜層數和膜層厚度;在溫度123 K 附近硅材料有較高熱導率、較低熱膨脹系數[28-29]、較低吸收、較低機械損耗角(高Q 值),可顯著降低鏡片的熱梯度,降低高功率激光場引起的熱透鏡效應和熱光噪聲[30];另外,硅材料有較大楊氏模量和較小泊松比,可顯著降低高功率引起的鏡片熱畸變,防止鏡片因熱彈性形變使曲率半徑發(fā)生變化.因此,我們選用硅作為干涉儀測試質量的材料.由于硅的透明窗口位于1.5—2.2 μm激光波段[13],綜合材料成熟度和技術成熟度等因素,決定采用1.5 μm 波段激光源用于引力波探測裝置建造.

表2 熔融石英和硅材料的物理性質對比Table 2.Comparison of physical properties of fused silica and silicon materials.

3.2 激光源的振幅噪聲

根據工程實際,干涉儀中臂腔反射率差異約為0.003%、臂腔功率差異約為0.2%、臂腔線寬差異約為0.3%、測試質量的質量差異約為0.005%.這些差異均會引起激光源振幅噪聲向DARM 傳遞,降低干涉儀的測量靈敏度.激光源振幅噪聲的耦合傳遞函數[21]可以表示為

其中,所用參數均為表1 中所列出的數值,Laplace表示scif/fc,sccif/fcc,srseif/frse,機械響應第1 項表示由DARM 偏移ΔLDC引起的直接耦合;第2 項表示由臂腔反射率差異δra、臂腔線寬差異δfc和Schnupp 不對稱lsch導致的對比度缺陷引起的耦合;第3 項表示由臂腔功率差異δPa、約化質量差異δμ、臂腔反射率差異δra、臂腔線寬差異δfc產生的輻射壓力差異引起的耦合;第4 項表示由高階模引起的耦合.

激光源振幅噪聲的耦合傳遞函數如圖3(a)所示.DARM 偏移 ΔLDC和輻射壓力差異引起的振幅噪聲耦合呈線性關系.輻射壓力差異引起的振幅噪聲耦合(也稱光機耦合)在低頻(100 Hz 以下)顯著,而高階模引起的耦合在高頻(100 Hz 以上)占主導地位.對比度缺陷引起的振幅噪聲耦合在高頻(100 Hz—10 kHz)影響較大,臂腔線寬差異δfc引起的耦合大于臂腔反射率差異δra引起的耦合,Schnupp 不對稱lsch引起的耦合較小.圖3(b)所示為由臂腔功率差異δPa、線寬差異δfc、反射率差異δra、測試質量的質量差異δμ產生的輻射壓力差異引起的振幅噪聲耦合,其中臂腔功率差異δPa引起的耦合占主導地位.由于工程實際,干涉儀X臂和Y臂測試質量的質量存在微小差異,當輻射壓力相同時,測試質量產生的微小位移不同;同時輻射壓力與腔內功率的波動成正比Frp2δPa/c.綜上,應最大可能地使X臂和Y臂測試質量的質量相同,臂腔中的循環(huán)功率相同.

圖3 激光源振幅噪聲耦合傳遞函數圖 (a)DARM 偏移、輻射壓力差異和對比度缺陷引起的振幅噪聲耦合;(b)輻射壓力差異引起的振幅噪聲耦合Fig.3.Coupling transfer function of laser amplitude noise:(a)Amplitude noise coupling due to DARM offset,radiation pressure difference and contrast defect;(b)amplitude noise coupling due to radiation pressure difference.

對于臂長為10 km 的干涉儀,要達到并突破10—24Hz—1/2的設計靈敏度,考慮10%的安全裕度,在100 Hz 時,振幅噪聲總耦合傳遞函數為10—13m/RAN,激光源振幅噪聲要優(yōu)于10—8Hz—1/2.在10 Hz時,振幅噪聲總耦合傳遞函數為10—11m/RAN,激光源振幅噪聲要優(yōu)于10—10Hz—1/2,與100 Hz相比,激光源振幅噪聲需提高兩個數量級,如圖4 所示.山西大學引力波探測裝置的靈敏度可以表示為

圖4 探測靈敏度與激光源振幅噪聲關系圖Fig.4.Detection sensitivity as a function of laser amplitude noise.

式中,RAN 為激光源振幅噪聲,此靈敏度是干涉儀第一階段的預期結果.

3.3 激光源的頻率噪聲

激光干涉儀具有較好的共模抑制特性,大多數頻率噪聲不會到達探測端,但仍會不可避免的有少部分頻率噪聲通過邁克爾遜干涉儀的不對稱性耦合至DARM,降低干涉儀的測量靈敏度.引力波探測裝置主要通過前置穩(wěn)頻激光系統(tǒng)(Pre-stabilized laser,PSL)、輸入模式清潔腔(input mode cleaner,IMC)和完整干涉儀(in the full interferometer,ITF)抑制激光頻率噪聲.本文從第三代引力波探測器的靈敏度出發(fā),通過計算ITF 對頻率噪聲的傳遞函數,獲得了激光源頻率噪聲的需求.由于激光頻率噪聲耦合與振幅噪聲耦合的影響因素相同,故采用前述3.2 節(jié)同樣的分析方法進行闡述.激光頻率噪聲的耦合傳遞函數可以表示為[21]

激光頻率噪聲耦合的第1 項表示由DARM偏移 ΔLDC導致輻射壓力差異引起的耦合;第2 項表示由臂腔反射率差異δra、臂腔線寬差異δfc、Schnupp 不對稱性lsch導致對比度缺陷引起的耦合;第3 項表示由高階模引起的耦合.頻率噪聲耦合傳遞函數如圖5 所示.DARM 偏移 ΔLDC導致輻射壓力差異引起的頻率噪聲耦合在低頻(20 Hz 以下)顯著,隨著頻率的增大耦合系數降低,因此應使DARM 偏移較小.臂腔線寬差異δfc引起的耦合在20 Hz 以上影響顯著,Schnupp 不對稱性lsch引起的耦合影響最小.高階模引起的耦合在1 kHz 以上占主導地位.

對于臂長為10 km 的干涉儀,要達到并突破10—24Hz—1/2的探測靈敏度,并考慮10%的安全裕度,可獲得激光頻率噪聲需求：在100 Hz 時,頻率噪聲總耦合傳遞函數為10—15m/Hz,激光頻率噪聲要優(yōu)于10—6Hz/Hz1/2.在10 Hz 時,頻率噪聲總耦合傳遞函數為10—13m/Hz,激光頻率噪聲要優(yōu)于10—8Hz/Hz1/2,與100 Hz相比,激光頻率噪聲需提高兩個數量級,如圖6 所示.為了獲得該激光頻率噪聲,需要高帶寬和高增益的控制環(huán)路,將頻率噪聲抑制 8～10 個數量級,因此,激光源頻率噪聲100 Hz/Hz1/2@100 Hz 滿足引力波探測需求.山西大學引力波探測裝置的靈敏度可以表示為

圖6 探測靈敏度與激光源頻率噪聲關系圖Fig.6.Detection sensitivity as a function of laser frequency noise.

式中,δν為激光源頻率噪聲,κ(f)為頻率噪聲抑制因子，此靈敏度是干涉儀第一階段的預期結果.

3.4 激光源的指向噪聲與基模光束純度

激光源的指向噪聲通過改變基模與臂腔的耦合,引起干涉儀功率循環(huán)腔耦合效率的變化,導致腔內循環(huán)功率的波動;其次,由于輸入測試質量鍍膜不均勻,功率損耗存在差異,也會通過破壞干涉臂的對稱性將指向噪聲耦合到探測端;最后,光束指向噪聲會降低光束與輸出模式清潔器(output mode cleaner,OMC)的耦合效率.光束在進入干涉儀之前首先經過輸入模式清潔器被動過濾指向噪聲(部分衰減),剩余的指向噪聲被干涉儀臂腔轉化為振幅噪聲,因此指向噪聲對測量靈敏度的影響可以統(tǒng)一到振幅噪聲的模型中分析.

高階模的疊加嚴重降低引力波探測器輸出信號的干涉對比度.通常情況下干涉儀存在準直誤差或模式不匹配,因此高階模也會在臂腔中共振,使測試質量表面的光強分布發(fā)生改變,產生附加的熱噪聲;其次高階模的振幅存在很大的不確定性,會使測試質量受到的輻射壓力發(fā)生變化,產生附加的輻射壓力噪聲;最后當臂腔中高階模的模式與測試質量基底的彈性模(elastic mode)匹配時,就會發(fā)生參量不穩(wěn)定性[31](parametric Instability,PI),降低干涉儀的鎖定穩(wěn)定性.因此需要盡可能提升激光源的基模光束純度.綜合考慮靈敏度要求和激光源實現面臨的技術挑戰(zhàn),一般要求激光源的基模純度大于95%.

4 總結

山西大學地基引力波探測裝置的設計靈敏度為10—24Hz—1/2@100 Hz.全文從該裝置對激光源的需求出發(fā),分析了激光振幅噪聲、頻率噪聲、指向噪聲、基模純度等與DARM 的噪聲耦合傳遞函數.結果表明,在傅里葉頻率100 Hz 處,要達到并突破設計靈敏度,激光源的輸出功率應大于200 W,振幅噪聲要優(yōu)于10—8Hz—1/2,頻率噪聲要優(yōu)于100 Hz/Hz1/2.下一步,通過優(yōu)化升級各個分系統(tǒng)的參數,包括激光器性能、鏡片質量、吸收等,探測靈敏度有望達到10—25Hz—1/2量級.本文為設計用于下一代地基引力波探測裝置的激光源指明了方向,將有力推動山西大學地基引力波探測裝置的建造進程,驅動我國在第三代地基引力波探測的研究中實現從追趕到與國際同步發(fā)展.