一類有限鏈環(huán)上的厄米特自正交碼

鐘家偉

(安徽信息工程學(xué)院 通識教育與外國語學(xué)院，安徽 蕪湖 241000)

量子糾錯(cuò)碼(QECCS)理論被廣泛應(yīng)用于量子通信中，解決因消相干對抗噪聲引起的誤差問題。對于由維數(shù)q≥2的n個(gè)子位組成的量子位，即所謂的量子比特，量子碼C=((N,K))q是Hilbert空間(Cq)?n的k維子空間。若碼C的維數(shù)qk,則記C=[n,k,d]q，其中，d是碼C極小距離。最小距離d的碼能夠糾正不超過1+d/2的子位的錯(cuò)誤。量子糾錯(cuò)碼的Singleton界滿足：n-k≥2(d-1)，若等號成立，則稱此量子碼為量子MDS碼。

文獻(xiàn)[1]提出了將量子碼的研究轉(zhuǎn)化為對厄密特自正交碼的構(gòu)造問題，自此，對厄密特自正交碼的研究逐漸成為編碼愛好者研究的重點(diǎn)。文獻(xiàn)[2]研究了有限鏈環(huán)Fq+uFq上的循環(huán)碼為自正交碼的等價(jià)條件；文獻(xiàn)[3]研究了剩余類環(huán)Z2m上循環(huán)自正交碼的結(jié)構(gòu)方法。文獻(xiàn)[4]研究了q元域上的上最大極小距離大于1+d/2循環(huán)自正交MDS碼的結(jié)構(gòu)方法。同時(shí)，利用有限環(huán)上的自正交碼構(gòu)造了許多具有良好參數(shù)的量子最優(yōu)碼或漸進(jìn)優(yōu)碼[5-8]。文獻(xiàn)[9]根據(jù)有限域上線性碼是厄米特LCD碼和厄米特自正交碼的判定條件，構(gòu)造出了4類四元厄米特LCD碼和厄米特自正交碼。文獻(xiàn)[10]構(gòu)造了q元域上的廣義厄米特自正交MDS碼存在的充要條件，并構(gòu)造幾類具有極小距離的量子碼。

1 基礎(chǔ)知識

令R=Fpm，Rn為R上為長為n的線性碼，Rn[x]=R[x]/(xn-1)，給定任意λ∈R*,定義R上的λ常循環(huán)移位為σλ(x0,x1,…,xn-1)=(λxn-1,x0,…,xn-2)。若令C是R上長為n的碼字，對于任意碼字c∈C都有σλ(C)∈C成立，則稱C為λ常循環(huán)碼,特別地,當(dāng)λ=1時(shí),有σ(C)=C成立，則稱C為R上的循環(huán)碼。

假設(shè)x=(x0,x1,…,xn)和y=(y0,y1,…,yn)是R上任意的兩個(gè)長為n的碼字，定義x,y的歐幾里得內(nèi)積為：

x·y=x0y0+x1y1+…+xn-1yn-1。

設(shè)C是為[n,k]線性碼，定義碼C的對偶碼為：

定義碼C的厄米特對偶碼C⊥H為：

若C?C⊥，則稱C為自正交碼；若C=C⊥，則稱C為自對偶碼；若C∩C⊥={0},則稱C為LCD碼。若C?C⊥H，則稱C為厄米特自正交碼；若C=C⊥H，則稱C為厄米特自對偶碼；若C∩C⊥H={0}，則稱C為厄米特LCD碼。

令α=(α0,α1,…,αn-1)∈Rn，其中，αi∈R，i=1,2,…,n-1，R*表示R的非零子集，v=(v0,v1,…,vn-1)∈(R*)n，定義廣義R-S碼[9]為：

GRSk(α,v)={(v0f(α0),v1f(α1),…,vk-1f(αk-1))|f(x)∈Rn[x],deg(f(1))≤k-1}。

易得，GRSk(α,v)的生成矩陣為：

則GRSk(α,v)為R上的參數(shù)為[n,k,n-k-1]的MDS線性碼，易知其對偶碼也是MDS線性碼。

令R=Fq+uFq={a+ub|a,b∈Fq}，其中，u2=0。環(huán)R是一個(gè)局部有限鏈環(huán)，環(huán)R上長為n的線性碼是Rn的R-子模。

2 環(huán)R上的厄米特自正交碼

假設(shè)C是環(huán)R上長為n的線性碼，則定義C的剩余碼C1以及撓碼C2分別為：

根據(jù)中國剩余定理可知C=(1+u)C1⊕uC2。

定義2.1R到R的廣義Gray映射:

θ(a+bu)=(b,a+b)，

Rn到R2n的保距映射:

φ(c)=(b,a+b)，

其中，c=(a0+ub0,a1+ub1,…,an-1+ubn-1)，a=(a0,a1,…,an-1)，b=(b0,b1,…,bn-1)。

定義2.2[11]對任意的a∈R，定義R到N的齊次重量函數(shù)wt(a)：

a

設(shè)C為R上的線性碼，則定義C上任意碼字c=(c0,c1,…,cn-1)∈C的齊次重量wt(c)定義如下：

齊次距離d(C)定義為：

d(C)=min{wt(c)|c≠0,c∈C}。

取R中的向量：v=(1,1,1,…1)，w=(0,1,2,…pm-1)，

令：c0=w?v;c1=v?w，

其中，?表示R上的張量積運(yùn)算。

定義2.3對于R中任意元素x都可唯一表示為：

x=a+bu，

其中a,b∈R。若存在映射φ使得：

φ(x)=ac0+bc1，

引理2.5設(shè)C為R上長為n的線性碼，φ(C)是的廣義Gray映射，則：

d(C)=dh(φ(C))。

引理2.6[9]令1≤t≤q，則：

(2)當(dāng)n=t(q+1)時(shí),R上參數(shù)為[t(q+1),k,t(q+1)-k+1]厄密特自正交MDS碼存在的充要條件為1≤k≤t-1。

證明：由C1,C2為長為t(q-1)的自正交碼,由引理2.5知φ為R到R的保距映射故R上厄密特自正交碼的極小距離等于R上線性碼φ(C)的極小距離且也為MDS碼。由于C=(1+u)C1⊕uC2,根據(jù)所定義的齊次距離，C的信息位k滿足ki≤k≤kiq，i=1.2。綜合引理2.6中C1、C2所給參數(shù)，可證得C的參數(shù)為[t(q-1),k,d(φ(C))]。

同理可得，當(dāng)n=t(q+1)時(shí)的情形。

定理2.8 設(shè)C=(1+u)C1⊕uC2為R上參數(shù)為[t(q+1),k,d(φ(C))]的厄密特自正交MDS碼的充要條件為C1為參數(shù)[t(q+1),k1,t(q+1)-k1+1]的厄密特自正交MDS碼，C2為參數(shù)[t(q+1),k2,t(q+1)-k2+1]的厄密特自正交MDS碼，其中1≤k1,k2≤t-1，ki≤k≤kiq.i=1.2。

推論2.9設(shè)C為R上長為n的厄密特自正交MDS碼，則φ(C)為R上長為nq的厄密特自正交MDS碼。

推論2.10設(shè)C為R上長為n的厄密特自正交MDS碼，則設(shè)C⊥也是R上長為nq的厄密特自正交MDS碼。

3 應(yīng)用舉例

例3.1當(dāng)q=4,t=2時(shí)，根據(jù)引理3.6(1),則存在四元[6,3,4]厄米特自正交MDS碼和四元[6,4,3]厄米特自正交MDS碼，根據(jù)定理3.7，則存在F4+uF4上參數(shù)為[6,4,3]的自正交MDS碼。

例3.2當(dāng)q=9,t=5，根據(jù)引理3.6(2)，則存在四元[50,42,9]厄米特自正交MDS碼和四元[50,45,6]厄米特自正交MDS碼，根據(jù)定理3.8則存在F4+uF4上參數(shù)為[50,42,9]的自正交MDS碼。

4 結(jié)語

有限域上量子碼的研究已逐漸成熟并已運(yùn)用于量子通信領(lǐng)域中，但對于有限環(huán)上量子碼的研究尚處于初級階段，有限環(huán)的上的自正交碼研究為構(gòu)造MDS量子碼奠定了理論基礎(chǔ)。通過所定義有限環(huán)上的齊次重量到有限域上的漢明距離的保距廣義Gray映射，構(gòu)造了域上厄密特自正交MDS碼的方法。后續(xù)可對其他有限環(huán)上自正交碼和量子碼、有限非鏈環(huán)上的自正交碼和量子碼以及重量分布、周期分布、覆蓋半徑等相關(guān)性質(zhì)開展研究。