龍?zhí)煅?李偉 許浩天 王逍

1) (四川大學(xué)物理學(xué)院,成都 610044)

2) (中國工程物理研究院激光聚變研究中心,綿陽 621900)

3) (中國科學(xué)技術(shù)大學(xué)光學(xué)與光學(xué)工程系,合肥 230026)

4) (山東大學(xué)(威海)空間科學(xué)與物理學(xué)院,威海 264000)

5) (中國工程物理研究院研究生院,北京 100088)

在大型超快超強(qiáng)激光系統(tǒng)中,隨著光譜帶寬及光束口徑的增加,時(shí)空耦合畸變會(huì)變得越來越顯著,該效應(yīng)不僅會(huì)使光束質(zhì)量惡化、影響激光的聚焦功率密度,而且會(huì)使常規(guī)的激光遠(yuǎn)場性能的評估手段失效.本文以激光器中常用的擴(kuò)束透鏡組為例分析了時(shí)空耦合畸變給激光參數(shù)測量及激光性能評估帶來的影響.結(jié)果表明,在一個(gè)超短脈沖激光系統(tǒng)中,一對普通的擴(kuò)束透鏡組引入的時(shí)空耦合畸變不僅會(huì)使遠(yuǎn)場峰值功率密度急劇下降,還會(huì)導(dǎo)致單次自相關(guān)儀在近場處測得的脈寬與遠(yuǎn)場處的實(shí)際脈寬相差超過10 倍,而這種情況下利用近場脈寬測試值估算遠(yuǎn)場處的聚焦功率密度會(huì)比真實(shí)值高出一個(gè)量級.研究結(jié)果可以為激光器的優(yōu)化設(shè)計(jì)、激光脈沖參數(shù)的精確表征以及相關(guān)的物理實(shí)驗(yàn)提供參考.

1 引言

超快、超強(qiáng)激光為人們提供了前所未有的極端物態(tài)條件與全新的實(shí)驗(yàn)手段,在許多領(lǐng)域已成為重要的、甚至是不可替代的工具[1-4].隨著激光強(qiáng)度不斷提高[5],人們對光束質(zhì)量及激光參數(shù)精確表征的要求越來越高,國內(nèi)外數(shù)拍瓦激光紛紛涌現(xiàn),更高強(qiáng)度的激光設(shè)施也已在籌建或規(guī)劃中,而時(shí)空耦合畸變已成為越來越不可忽視的因素[6,7].時(shí)空耦合畸變是指在光束橫截面內(nèi)看,不同空間點(diǎn)處的激光脈沖的時(shí)域特性(脈沖寬度、時(shí)間波形、點(diǎn)點(diǎn)之間脈沖的相對延時(shí)等)不一樣,與理想狀況相比產(chǎn)生了畸變(此時(shí)光場不再能表示成時(shí)間項(xiàng)和空間項(xiàng)分離的形式,即E(x,y,t)f(t)·g(x,y) .該效應(yīng)不僅會(huì)使激光的聚焦功率密度下降,還可能影響人們對激光參數(shù)的測試與評估.例如,目前針對高能量、低重頻的大型超快超強(qiáng)激光系統(tǒng),評估其聚焦功率密度常規(guī)的做法是: 利用單次自相關(guān)儀在近場測得的脈寬代表激光脈沖遠(yuǎn)場處的脈寬,依此(結(jié)合能量和焦斑大小)計(jì)算得到遠(yuǎn)場處的功率密度.但是,這樣的測試評估方法在激光脈沖具有時(shí)空耦合畸變時(shí)是否還有效? 測試值和實(shí)際值會(huì)有多大的偏差? 這些問題目前并沒有人做出回答.

本文擬從激光器中常用的一種組件—擴(kuò)束透鏡組入手,詳細(xì)考察其引入的時(shí)空耦合畸變對激光脈沖近、遠(yuǎn)場空-時(shí)特性(不同空間點(diǎn)的時(shí)間特性)的影響,在此基礎(chǔ)上定量分析當(dāng)“時(shí)空耦合畸變”存在時(shí)采用目前常用的激光遠(yuǎn)場性能測試/評估方法得到的參數(shù)與實(shí)際值會(huì)有多大偏差.

已有的一些對透鏡色差的分析,大多是基于光線追跡的方法、利用ZEMAX 軟件分析其對遠(yuǎn)場聚焦性能的影響[7],另有一些學(xué)者則利用解析的方法對透鏡等元件引入的脈沖前沿進(jìn)行過分析[8],但是這些處理方法都無法將具有“時(shí)空耦合畸變”的光場分布與激光參數(shù)測試過程耦合起來.本文擬采用數(shù)值模擬的方法,以一種較為全面、形象的方式展示透鏡組引入的時(shí)空耦合畸變對激光近、遠(yuǎn)場三維空-時(shí)分布的影響,在此基礎(chǔ)上結(jié)合目前常用的單次自相關(guān)脈寬測試方法,模擬分析將其用于測試此類具有時(shí)空耦合畸變的激光脈寬時(shí)測試結(jié)果的有效性,進(jìn)而分析該方法用于進(jìn)行遠(yuǎn)場功率密度評估時(shí)與實(shí)際值之間的偏差,以期為激光器的優(yōu)化設(shè)計(jì)以及激光參數(shù)的精確表征提供依據(jù).

2 理論分析基礎(chǔ)

2.1 擴(kuò)束透鏡組

擴(kuò)束透鏡組是激光器中常用的一種元件,通常由兩塊正透鏡縱向排列而成,透鏡間距為兩透鏡焦距之和(注: 寬帶光情況下此值針對中心波長).透鏡的焦距與透鏡材料折射率和前后表面曲率半徑有如下關(guān)系:

其中n為材料折射率;f為透鏡焦距;k為入射光波數(shù);x,y為所研究平面內(nèi)某點(diǎn)的坐標(biāo);P(x,y) 為透鏡的孔徑函數(shù),定義為

其中r0為透鏡圓形孔徑的半徑.

對于實(shí)驗(yàn)室中常用透鏡材料的色散,可以由柯西色散公式表示:

其中λ為波長,單位 n m ;針對K9 玻璃材料(后面我們將基于此進(jìn)行模擬分析),對應(yīng)的柯西色散系數(shù)A=1.50805±0.00107,B=2588.92498±535.19256,C=1.92102×108±6.24×106[9-11].

2.2 激光脈沖傳輸分析計(jì)算模型

傳輸過程如圖1(a)所示,一束具有一定口徑的寬帶超短脈沖激光經(jīng)過一個(gè)擴(kuò)束透鏡組后再由一個(gè)理想的元件(如理想的離軸拋物聚焦鏡)聚焦,考察近、遠(yuǎn)場光束的空-時(shí)特性.

圖1 (a) 光路示意圖;(b) 計(jì)算示意圖Fig.1.(a) Schematic of the optical path;(b) schematic of calculation.

分析處理方法(如圖1(b)所示).將輸入的寬帶激光脈沖看作一系列單色波的疊加,再針對頻率進(jìn)行采樣.對每一個(gè)頻率的單色光分別采取下述計(jì)算過程: 光場與透鏡1 的傳遞函數(shù)相乘用于模擬激光穿過透鏡1 的效果;利用菲涅耳衍射計(jì)算激光從透鏡1 后表面?zhèn)鞑サ酵哥R2 前表面的過程;光場與透鏡2 的傳遞函數(shù)相乘用于模擬激光穿過透鏡2 的效果;利用夫瑯禾費(fèi)衍射模擬激光傳播至遠(yuǎn)場的過程.在完成上述過程后,就得到了遠(yuǎn)場(焦平面)每一點(diǎn)的各頻率激光的電場,之后對每一點(diǎn)進(jìn)行傅里葉逆變換即可由頻域轉(zhuǎn)換到時(shí)域,得到焦平面上不同位置的光場的空-時(shí)分布.

這其中會(huì)用到菲涅耳衍射公式[12]:

其中U1(ξ,η) 為源場光場;U0(x0,y0) 為觀察面光場;λ為光束波長;z為源場到觀察面光場的距離;k為光束的波數(shù).由于其形式復(fù)雜,計(jì)算繁瑣,在實(shí)際模擬計(jì)算中常利用源場光場的傅里葉變換與傳遞函數(shù)傅里葉變換相乘之后做逆傅里葉變換來計(jì)算觀察面光場:

其中λ為光束波長;z為源場到觀察面光場的距離;k為光束的波數(shù).

在計(jì)算遠(yuǎn)場時(shí)使用夫瑯禾費(fèi)衍射公式,其傅里葉變換形式如下:

2.3 單次自相關(guān)儀脈寬測量模擬分析模型

單次自相關(guān)儀由于調(diào)試簡單、使用方便,目前是(高能量、低重頻)大型超短脈沖激光器上常用的測試脈寬的儀器.其基本原理如圖2 所示[13]: 待測激光一分為二成為兩束激光(兩束光的空-時(shí)特征認(rèn)為是一致的)、以一定的夾角入射到非線性晶體、在晶體中通過非共線和頻效應(yīng)產(chǎn)生二次諧波(此信號僅在兩束光空間和時(shí)間上均交疊的區(qū)域內(nèi)產(chǎn)生,并由兩束光夾角平分線方向出射),在重疊區(qū)域的每一點(diǎn),產(chǎn)生的二次諧波信號的強(qiáng)度S正比于每一路徑上局部光強(qiáng)I(t) 的乘積,即有

圖2 單次自相關(guān)測試原理及分析模型示意圖Fig.2.Schematic diagram of the single-shot autocorrelation principle and analytical model.

其中τ為距中心x距離處兩脈沖的相對延時(shí)的一半;?為兩束光夾角的一半;c為光速.該二次諧波的空間分布(沿X方向)即對應(yīng)于待測激光脈沖時(shí)間波形的自相關(guān)函數(shù),在激光脈沖時(shí)間波形已知的情況下可以得到待測激光的脈寬.空間強(qiáng)度分布的自相關(guān)半高寬WFHM(Δx) 和激光脈寬tp的關(guān)系如下:

其中k0為脈沖線型修正系數(shù)[14](即針對不同線型的脈沖時(shí)間波形,其自相關(guān)函數(shù)半高寬和自身半高寬的比值).

數(shù)值模擬時(shí)將兩束基頻光的光場分布用兩個(gè)矩陣表示: 矩陣的兩維分別代表空間維和時(shí)間維,矩陣值則代表某一空間點(diǎn)某一時(shí)刻的光強(qiáng);兩個(gè)矩陣旋轉(zhuǎn)一定角度(將矩陣與二維旋轉(zhuǎn)矩陣相乘)后交疊(代表兩束光以一定夾角射入晶體、在晶體中交疊),兩個(gè)矩陣交疊區(qū)對應(yīng)數(shù)值的乘積可表征該時(shí)刻產(chǎn)生的二次諧波信號強(qiáng)度,對時(shí)間維度積分(對應(yīng)圖2 中沿Z向積分)則可得到隨x變化的自相關(guān)信號(與通常實(shí)驗(yàn)中用CCD 采集的信號相對應(yīng)).

在兩軸單位相同時(shí),對空間進(jìn)行旋轉(zhuǎn)操作可以將二維旋轉(zhuǎn)矩陣左乘原坐標(biāo)列矩陣來得到在旋轉(zhuǎn)過后的坐標(biāo)系下同一位置對應(yīng)的新坐標(biāo)列矩陣,即

其中θ為順時(shí)針旋轉(zhuǎn)角度;x,y為旋轉(zhuǎn)前坐標(biāo)值(無量綱,并非實(shí)際長度);x′,y′為旋轉(zhuǎn)后的坐標(biāo)值.在我們的模擬分析模型中光場矩陣兩軸單位不同.當(dāng)兩軸單位不相同時(shí),兩軸單位間有一定比例關(guān)系,當(dāng)兩軸單位有kdy=dx時(shí),旋轉(zhuǎn)矩陣變?yōu)?/p>

因此,當(dāng)兩軸單位不同時(shí),使用(15)式即可完成旋轉(zhuǎn)操作.

結(jié)合前面的時(shí)空耦合畸變分析模型和單次自相關(guān)脈寬測試分析模型可以分析近場測試脈寬和遠(yuǎn)場真實(shí)脈寬的差異,進(jìn)而可以分析對比采用目前常規(guī)的評估/測算方法得到的聚焦峰值功率密度值與實(shí)際值之間的差異.

2.4 計(jì)算參數(shù)

本文中模擬分析使用的參數(shù)如表1 所列.

表1 計(jì)算參數(shù)Table 1. Parameters for calculation.

3 時(shí)空耦合畸變對單次自相關(guān)測試及聚焦功率密度評估的影響

3.1 擴(kuò)束透鏡組引入的時(shí)空耦合畸變

根據(jù)前面所述的分析計(jì)算模型及相關(guān)參數(shù),可以得到一束理想的寬帶短脈沖激光通過一個(gè)普通的擴(kuò)束透鏡組后產(chǎn)生的時(shí)空耦合畸變(見圖3,三維圖中縱坐標(biāo)以及顏色代表該處光強(qiáng)大小).圖3(d1)和圖3(d2)是激光經(jīng)過實(shí)際擴(kuò)束透鏡組(考慮透鏡組色差)并依據(jù)光束近場的中心點(diǎn)進(jìn)行了色散補(bǔ)償[15](在實(shí)踐中這是很常見的操作方法,通常是利用平行光柵對進(jìn)行色散補(bǔ)償)后的近、遠(yuǎn)場空-時(shí)分布,此時(shí)相當(dāng)于在整個(gè)光束口徑內(nèi)均依據(jù)中心點(diǎn)處的色散進(jìn)行譜相位調(diào)整(最終只能使中心點(diǎn)處的色散補(bǔ)償至較好狀態(tài)).

圖3 擴(kuò)束透鏡組引入的時(shí)空耦合畸變 (a1) 考慮透鏡組色差時(shí)遠(yuǎn)場光斑;(a2) 理想情況下的遠(yuǎn)場光斑;(b1) 考慮透鏡組色差時(shí)遠(yuǎn)場環(huán)圍能量曲線;(b2) 理想情況下遠(yuǎn)場環(huán)圍能量曲線;理想情況下近場(c1)及遠(yuǎn)場(c2)的光場時(shí)空分布;激光脈沖經(jīng)過透鏡組并依據(jù)近場中心點(diǎn)進(jìn)行色散補(bǔ)償后的近場(d1)及遠(yuǎn)場(d2)時(shí)空耦合畸變Fig.3.Spatiotemporal coupling distortion introduced by lens-pair: The far-field distribution with chromatic aberration of the lenspair (a1) &without chromatic aberration (a2);circled energy graph of the far-field with chromatic aberration of the lens-pair (b1) &without chromatic aberration (b2);the spatio-temporal distribution of the laser pulse in the near-field (c1) and far-field (c2) without chromatic aberration;The spatio-temporal coupling distortion in the near-field (d1) and far-field (d2) in case of the laser pulse passing through the lens-pair with dispersion compensation according to the near-field centroid.

從圖3(a)中可以看到,在寬帶條件下,透鏡組的色差會(huì)導(dǎo)致遠(yuǎn)場焦斑明顯增大,焦斑面積(光強(qiáng)大于最大值的部分)在理想情況下僅為 6.1 μm2,在透鏡組色差的影響下會(huì)擴(kuò)大至 1 86.3 μm2(擴(kuò)大了約30 倍);對應(yīng)的焦斑半徑分別為1.4 和 7.7 μm,如圖3(b)中紅色星標(biāo)所示;另外,激光脈沖經(jīng)過一個(gè)普通的擴(kuò)束透鏡組后產(chǎn)生了顯著的時(shí)空耦合畸變,如圖3(d)所示,初始僅十幾飛秒的激光脈沖,經(jīng)過透鏡組后在光束截面內(nèi)看,近場與中心點(diǎn)距離不同的位置產(chǎn)生了不同的延時(shí),邊緣和中心的相對延時(shí)達(dá)到了數(shù)百飛秒,各處的脈寬也明顯不一致,即便依據(jù)光束中心的色散量進(jìn)行了補(bǔ)償,和理想情況(圖3(c))相比,無論是近場還是遠(yuǎn)場依然存在較大的時(shí)空耦合畸變,遠(yuǎn)場脈寬也明顯增加,半高寬達(dá)到理想情況的10 倍以上.在透鏡組色差的影響下,輸出激光的聚焦功率密度下降至理想情況的1/300以下(焦斑面積擴(kuò)大了30 倍,脈寬變大了10 倍).

同時(shí),擴(kuò)束透鏡組色差導(dǎo)致的時(shí)空耦合畸變與光束口徑和光譜帶寬之間存在顯著的相關(guān)性.圖4(a)顯示了遠(yuǎn)場脈寬、焦斑面積和遠(yuǎn)場功率密度隨光束口徑的變化.圖4(a1)表明,隨著光束口徑增加,透鏡組色差會(huì)導(dǎo)致遠(yuǎn)場脈沖寬度明顯增加,而無色差的理想情況下遠(yuǎn)場脈寬不隨光束口徑改變;圖4(a2)表明考慮色差時(shí),遠(yuǎn)場焦斑面積幾乎不隨光束口徑改變,而無色差的理想情況下遠(yuǎn)場焦斑面積隨近場光束口徑的增大而減小,這是因?yàn)檠苌錁O限決定的艾里斑尺寸與近場光束口徑成反比;遠(yuǎn)場脈寬和焦斑面積隨光束口徑的改變導(dǎo)致了遠(yuǎn)場功率密度隨光束口徑發(fā)生變化,在考慮色差的影響時(shí),遠(yuǎn)場功率密度隨光束口徑增大而減小,而在理想情況(不考慮色差的影響)下,遠(yuǎn)場功率密度隨光束口徑的增加而增加,如圖4(a3)所示.圖4(b)顯示了遠(yuǎn)場脈寬、焦斑面積和遠(yuǎn)場功率密度隨光譜帶寬的變化,圖4(b1)表明,隨著帶寬增加,透鏡組色差會(huì)導(dǎo)致遠(yuǎn)場脈沖寬度略微增加,而無色差的理想情況下遠(yuǎn)場脈寬隨帶寬的增加而減小;圖4(b2)表明考慮色差時(shí),遠(yuǎn)場焦斑面積隨帶寬增加而明顯增加,而無色差的理想情況下遠(yuǎn)場焦斑面積幾乎不受激光帶寬影響;圖4(b3)表明理想情況下遠(yuǎn)場功率密度會(huì)隨帶寬的增加而增加,但是考慮色差的影響時(shí),遠(yuǎn)場功率密度卻隨帶寬的增加而減小.綜上,時(shí)空耦合畸變程度會(huì)隨著光束口徑和光譜帶寬的增加而增加,并進(jìn)一步導(dǎo)致遠(yuǎn)場能量的時(shí)間、空間集中度下降,使遠(yuǎn)場功率密度顯著降低.

圖4 考慮色差(藍(lán)色線)和不考慮色差(紅色線)時(shí)遠(yuǎn)場脈寬、焦斑面積和遠(yuǎn)場功率密度隨光束口徑和帶寬的變化 (a1) 遠(yuǎn)場脈寬隨光束口徑變化情況;(a2) 焦斑面積隨光束口徑變化情況;(a3) 遠(yuǎn)場功率密度隨光束口徑變化情況;(b1) 遠(yuǎn)場脈寬隨帶寬變化情況;(b2) 焦斑面積隨帶寬變化情況;(b3) 遠(yuǎn)場功率密度隨帶寬變化情況Fig.4.Variation of far-field pulse width,focal spot area and far-field power density with beam aperture and bandwidth (blue line:with chromatic aberration;red line: without chromatic aberration): (a1) The variation of far-field pulse with beam aperture;(a2) the variation of focal spot area with beam aperture;(a3) the variation of far-field power density with beam aperture;(b1) the variation of far-field pulse width with bandwidth;(b2) the variation of focal spot area with bandwidth;(b3) the variation of far-field power density with bandwidth.

3.2 時(shí)空耦合畸變對單次自相關(guān)法脈寬測試的影響

實(shí)際上,時(shí)空耦合畸變不僅會(huì)使激光的聚焦功率密度急劇下降,還會(huì)影響常規(guī)參數(shù)測試結(jié)果(以及據(jù)此對激光輸出性能進(jìn)行評估)的有效性,圖4是依據(jù)前述的單次自相關(guān)測試模型計(jì)算得到的脈寬測試結(jié)果與實(shí)際遠(yuǎn)、近場時(shí)間波形的對比(單次自相關(guān)測試中兩束光的夾角為設(shè)為5°).

通過模擬分析可以看到,擴(kuò)束透鏡組色差導(dǎo)致的時(shí)空耦合畸變使激光遠(yuǎn)場脈寬增加到了理想情況的10 倍以上(圖5(c1)和圖5(c2));同時(shí)時(shí)空耦合畸變的存在也使得激光脈沖時(shí)間特性的表征變得很復(fù)雜,通常人們所用的簡單的“脈寬”概念已經(jīng)遠(yuǎn)遠(yuǎn)不能表征其復(fù)雜的空-時(shí)分布,這種情況下利用單次自相關(guān)法在近場進(jìn)行脈寬測試無法反映真實(shí)的輸出激光“脈寬”(遠(yuǎn)場處激光脈沖的持續(xù)時(shí)間),通常情況下自相關(guān)儀測試值偏小,文中條件下,對比圖5(a3)和圖5(c1),可以看到測試值與真實(shí)值相比小了1 個(gè)量級,這一結(jié)果在一定程度上說明,當(dāng)時(shí)空耦合畸變較大時(shí),常規(guī)的依據(jù)單次自相關(guān)法測試近場脈寬用以評估遠(yuǎn)場聚焦功率密度的做法與實(shí)際值會(huì)有較大偏差,通常情況下,該方法會(huì)使聚焦功率密度評估值顯著偏高(文中的條件下超過1 個(gè)量級).另外,對比圖5(a)及圖5(b)可以看到,在有時(shí)空耦合畸變的條件下,采用單次自相關(guān)法在近場處測得的脈寬值甚至比理想情況下的還要略短,這是由于時(shí)空耦合畸變使兩束光在“倍頻晶體”中時(shí)間與空間均重疊的區(qū)域變小,產(chǎn)生的和頻信號也變窄,所以基于單次自相關(guān)儀的脈寬測試方法在激光脈沖具有時(shí)空耦合畸變的條件下可靠性會(huì)急劇下降.

圖5 單次自相關(guān)脈寬測試分析對比 (a1) 有色差時(shí)基頻光信號;(a2) 有色差時(shí)單次自相關(guān)倍頻信號(空-時(shí)分布);(a3) 有色差時(shí)單次自相關(guān)儀信號;(b1) 理想條件下的基頻信號;(b2) 理想條件下自相關(guān)倍頻信號空-時(shí)分布;(b3) 理想條件下單次自相關(guān)儀信號;(c1) 通過透鏡組后遠(yuǎn)場處(焦平面內(nèi))的積分通量時(shí)間波形;(c2) 通過理想無像差透鏡組時(shí)遠(yuǎn)場處的積分通量時(shí)間波形Fig.5.Analysis and comparison between the results from single-autocorrelation method and the actual far-field pulse shape: Fundamental frequency signal (a1),second harmonic signal (a2) and signal of an auto-correlator (a3) in case of the pulse passing through the lens-pair with chromatic aberration;fundamental frequency signal (b1),second harmonic signal (b2) and signal of an auto-correlator (b-3) in case of ideal condition without chromatic aberration;(c1) actual temporal shape of the pulse at the far field with chromatic aberration of lens-pair;(c2) actual temporal shape of the pulse at the far field without chromatic aberration of lens-pair.

4 結(jié)論

通過模擬分析可以看到,時(shí)空耦合畸變不僅會(huì)使激光脈沖的聚焦功率密度大幅降低(與理想情況相比一個(gè)普通的擴(kuò)束透鏡組會(huì)使遠(yuǎn)場峰值功率密度下降2 個(gè)量級),更重要的是它還會(huì)使目前一些常規(guī)的激光參數(shù)測量/評估手段失效(文中條件下實(shí)際遠(yuǎn)場處的脈寬與近場處用單次自相關(guān)儀測得的脈寬值差異超過了一個(gè)量級),給激光與物質(zhì)相互作用的規(guī)律性研究帶來困難,影響超快超強(qiáng)激光的應(yīng)用效果.

實(shí)際上,在一個(gè)大型超快超強(qiáng)激光系統(tǒng)中,除了擴(kuò)束透鏡組以外,展寬器、壓縮器、AOPDF(聲光光譜色散濾波器)、帶楔角的窗口玻璃或取樣元件等都可能引入時(shí)空耦合畸變[16],因此實(shí)際系統(tǒng)中的綜合畸變往往會(huì)比文中所述的僅由透鏡組引起的畸變復(fù)雜得多,所以,發(fā)展有效的時(shí)空耦合畸變測試及控制/補(bǔ)償技術(shù)是超快超強(qiáng)激光進(jìn)一步發(fā)展的關(guān)鍵.