彭宇豪，圣小珍，張皓迪，岳松濤

(1.上海工程技術(shù)大學(xué) 城市軌道交通學(xué)院, 上海 201620；2.西南交通大學(xué) 牽引動(dòng)力國(guó)家重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，四川 成都 610031)

隨著鐵路附近建筑用地的增加以及公眾對(duì)振動(dòng)和噪聲問(wèn)題認(rèn)識(shí)的提高，鐵路引起的環(huán)境振動(dòng)問(wèn)題受到人們的廣泛關(guān)注，成為影響高速鐵路和城市鐵路網(wǎng)可持續(xù)發(fā)展的重要問(wèn)題之一。因此開(kāi)展對(duì)環(huán)境振動(dòng)的研究十分必要，其中一個(gè)重要方面，就是鐵路環(huán)境振動(dòng)的預(yù)測(cè)。

已有許多研究者建立鐵路環(huán)境振動(dòng)預(yù)測(cè)模型。預(yù)測(cè)模型包括經(jīng)驗(yàn)?zāi)Ｐ汀?shù)值模型和解析模型。對(duì)軌道結(jié)構(gòu)和大地做一些簡(jiǎn)化，可以建立具有高計(jì)算效率的解析(或半解析)模型，通過(guò)這些解析模型的分析計(jì)算，揭示鐵路環(huán)境振動(dòng)的特性。Dieterman[1]認(rèn)為當(dāng)列車速度接近彈性半空間的臨界速度時(shí)，會(huì)激發(fā)大地的特征波，使大地的振動(dòng)水平顯著上升。文獻(xiàn)[2-4]基于傳遞矩陣法建立了固定和移動(dòng)荷載作用下環(huán)境振動(dòng)的解析模型，系統(tǒng)響應(yīng)在頻率-波數(shù)域中求解。軌道被簡(jiǎn)化成沿著縱向(軌道延伸方向)不變的結(jié)構(gòu)，土壤為水平分層結(jié)構(gòu)且服從線彈性假設(shè)。和振興[5]使用文獻(xiàn)[2-3]的方法，將軌道板假設(shè)成無(wú)限長(zhǎng)的梁，研究了板式軌道交通引起的環(huán)境振動(dòng)問(wèn)題。

現(xiàn)有的解析模型通常將軌道系統(tǒng)簡(jiǎn)化成沿著縱向不變的結(jié)構(gòu)，即2.5D結(jié)構(gòu)。但實(shí)際上鋼軌的周期離散支承、軌道板的分段澆筑或預(yù)制軌道板的鋪設(shè)，都使得軌道結(jié)構(gòu)是一個(gè)周期結(jié)構(gòu)。Hussein等[6]基于周期結(jié)構(gòu)理論考慮軌道板的離散分布，但分析僅針對(duì)于地下軌道交通。對(duì)鋪設(shè)在大地表面的高速鐵路，考慮軌道/大地結(jié)構(gòu)周期特性的地面板式軌道交通環(huán)境振動(dòng)預(yù)測(cè)模型還有待建立。同時(shí)，已有的預(yù)測(cè)模型將不連續(xù)的軌道板簡(jiǎn)化為連續(xù)無(wú)限長(zhǎng)的歐拉-伯努利梁，此簡(jiǎn)化對(duì)大地振動(dòng)的影響并未得到充分的研究。本文將軌道/大地系統(tǒng)作為一個(gè)無(wú)限長(zhǎng)的周期結(jié)構(gòu)，建立地面的板式軌道交通誘發(fā)的環(huán)境振動(dòng)預(yù)測(cè)模型，同時(shí)考慮鋼軌的離散支承和軌道板的離散分布。通過(guò)傅里葉變換、周期結(jié)構(gòu)理論和頻率-波數(shù)域中大地的動(dòng)柔度求解系統(tǒng)的響應(yīng)，其中邊界自由的軌道板的振動(dòng)使用模態(tài)疊加法表示，模態(tài)疊加系數(shù)在頻率-空間域中求解。通過(guò)將預(yù)測(cè)結(jié)果與已有模型預(yù)測(cè)結(jié)果進(jìn)行對(duì)比，明確了軌道板簡(jiǎn)化對(duì)環(huán)境振動(dòng)預(yù)測(cè)的影響。

1 軌道/大地系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)微分方程及對(duì)移動(dòng)簡(jiǎn)化荷載響應(yīng)的求解

已有研究表明，在軌道板下使用低剛度的減振墊，可以減少振動(dòng)向軌下系統(tǒng)的傳遞，控制高速列車運(yùn)行引起的環(huán)境振動(dòng)問(wèn)題[7-8]。本節(jié)針對(duì)這樣的減振型板式軌道建立運(yùn)動(dòng)微分方程并進(jìn)行求解。軌道/大地系統(tǒng)見(jiàn)圖1，包括鋼軌、軌道板和混凝土底座。鋼軌由離散的彈簧(扣件系統(tǒng))支承，軌道板下的減振層表示為連續(xù)分布的彈簧。鋼軌和混凝土底座分別簡(jiǎn)化為無(wú)限長(zhǎng)的鐵木辛柯梁和歐拉-伯努利梁，而邊界自由的軌道板則表示為有限長(zhǎng)的歐拉-伯努利梁。通常認(rèn)為，鋼軌在高頻激勵(lì)下會(huì)發(fā)生剪切變形，鐵木辛柯梁比歐拉-伯努利梁更適合于確定鋼軌在高頻下的動(dòng)力響應(yīng)，但在低頻下它們是等效的。對(duì)自由的標(biāo)準(zhǔn)60鋼軌的研究表明，歐拉-伯努利梁理論可以適用于大約300 Hz以下的振動(dòng)。然而，文獻(xiàn)[9]表明，由于鋼軌不是自由鋼軌，而是受到來(lái)自扣件的橫向力的作用，這些橫向力所產(chǎn)生的剪切變形使得歐拉-伯努利梁理論即使是在頻率很低時(shí)也會(huì)產(chǎn)生較大的誤差。本文認(rèn)為將鋼軌簡(jiǎn)化為鐵木辛柯梁比歐拉-伯努利梁更為合適。如圖1所示，軌道/大地系統(tǒng)在縱向是一個(gè)無(wú)限長(zhǎng)的周期結(jié)構(gòu)，周期為L(zhǎng)。假定每個(gè)軌道板上有K個(gè)扣件，扣件間距為l。第j個(gè)子周期位于[jL，(j+1)L]，包含了第j個(gè)軌道板，其中j=-∞,…,0,…,+∞。x軸的原點(diǎn)位于第0個(gè)子周期軌道板的左端。

圖1 軌道/大地系統(tǒng)示意圖

當(dāng)移動(dòng)速度為c，頻率為Ω的簡(jiǎn)諧激勵(lì)P0eiΩt作用在鋼軌上，鋼軌的振動(dòng)可表示為

(1)

將式(1)對(duì)x和t作傅里葉變換,得

(2)

式中：對(duì)x的傅里葉變換記為“-”，對(duì)應(yīng)波數(shù)β；對(duì)t的傅里葉變換標(biāo)記為“^”，對(duì)應(yīng)頻率f。

根據(jù)周期結(jié)構(gòu)理論可得[10-12]

(3)

式中：

β*=(Ω-2πf)/c

(4)

(5)

令

根據(jù)在轉(zhuǎn)動(dòng)方向上鋼軌墊片的動(dòng)剛度kψ=bs2kP/12(bs為墊片長(zhǎng)度)，并由式(5)可得頻率-波數(shù)域中鋼軌的位移為

(6)

將式(6)對(duì)波數(shù)β作傅里葉逆變換得到鋼軌的位移頻譜

式中：

βj=β*-2πj/L

(8)

第0個(gè)子周期內(nèi)軌道板的振動(dòng)位移可以通過(guò)模態(tài)疊加法表達(dá)為

(9)

其中,

φs(ξ)=cosh(λsξ)+cos(λsξ)-

Fs[sinh(λsξ)+sin(λsξ)]

Fs=[sinh(λsL)+sin(λsL)]/

[cosh(λsL)-cos(λsL)]s≥3

僅考慮軌道板的前S階模態(tài)，對(duì)應(yīng)的第S階固有頻率需滿足遠(yuǎn)大于大地振動(dòng)關(guān)注的頻率范圍(人體可感知的振動(dòng)為1～80 Hz，大地振動(dòng)導(dǎo)致的二次結(jié)構(gòu)噪聲為20～250 Hz)。

將式(9)代入式(7)可得

(10)

式中：

(11)

as(x,f)=

(12)

矩陣是未知的，由第0個(gè)子周期內(nèi)鋼軌在扣件位置處的位移頻譜組成，將在式(13)～式(34)中求解。

(13)

式中：

(14)

(15)

(16)

(17)

式(17)為鋼軌的位移頻譜，下面將用類似的方法求解混凝土底座的頻譜。首先定義矩形窗函數(shù)為

(18)

則在x∈(-∞,+∞)，混凝土底座的振動(dòng)微分方程可表示為

(19)

式中：EBIB為混凝土底座的彎曲剛度；mB為單位長(zhǎng)度混凝土底座的質(zhì)量；k1為單位長(zhǎng)度減振層的剛度；Fg(x,t)為大地對(duì)混凝土底座的作用力。

將式(19)對(duì)x和t作傅里葉變換并由式(2)得

(20)

(21)

式中：γ為y方向上的波數(shù)。

在y= 0處，大地表面和軌道混凝土底座的位移存在連續(xù)性

(22)

將式(22)代入式(20)得

(23)

式中：

(24)

將式(23)對(duì)波數(shù)β作傅里葉逆變換可得到混凝土底座的位移頻譜

(25)

對(duì)第0個(gè)子周期內(nèi)的軌道板(即j=0)，其振動(dòng)微分方程為

(26)

式中：ESIS為軌道板的彎曲剛度；mS為單位長(zhǎng)度軌道板的質(zhì)量。

將式(26)對(duì)t作傅里葉變換并代入式(25)(混凝土底座的位移頻譜)得

0≤x≤L

(27)

將式(27)兩邊同乘第m階振型函數(shù)φm(x)，并利用振型函數(shù)的正交性可得

(28)

式中：

(29)

(30)

將式(28)中的m由1取到S可得以下的線性代數(shù)方程組

(31)

令

C2qR

(32)

式(31)可簡(jiǎn)寫(xiě)為

(33)

根據(jù)式(13)和式(33)，可以得到軌道板的模態(tài)疊加系數(shù)

(34)

將式(34)代入式(17)，即可得到鋼軌的位移頻譜

(35)

式中：

根據(jù)式(11)～式(12)、式(14)～式(16)，式(35)可進(jìn)一步表達(dá)為

(36)

其中，

將式(36)對(duì)頻率f作傅里葉逆變換可得時(shí)間-空間域中大地的穩(wěn)態(tài)響應(yīng)，且根據(jù)式(4)，2πf=Ω-βc=ω，2πdf=-cdβ，大地的響應(yīng)最終可表示為(β*用β替代)

(37)

在隨荷載移動(dòng)的坐標(biāo)系中，將x方向的坐標(biāo)定義為x′=x-x0-ct。因此，式(37)變?yōu)?/p>

(38)

式中：x′=x-x0-ct為移動(dòng)坐標(biāo)系中x方向的坐標(biāo)，表示響應(yīng)點(diǎn)相對(duì)于移動(dòng)荷載的位置[10-12]；方括號(hào)中的項(xiàng)在表示移動(dòng)坐標(biāo)系中，頻率為Ω的單位移動(dòng)簡(jiǎn)諧激勵(lì)下鋼軌的位移導(dǎo)納，它是一個(gè)關(guān)于時(shí)間t的周期函數(shù)，周期為L(zhǎng)/c(即荷載通過(guò)一個(gè)子周期所需的時(shí)間)。

聯(lián)立式(20)～式(23)、式(34)，并對(duì)波數(shù)β和γ作傅里葉逆變換，得到大地表面的位移頻譜為

(39)

式中：

(40)

由于多普勒效應(yīng)，即使荷載以單個(gè)簡(jiǎn)諧頻率振動(dòng)，鋼軌和大地的頻譜都包含了一個(gè)范圍的頻率成分。對(duì)于已有的模型(將軌道/大地系統(tǒng)簡(jiǎn)化為2.5D結(jié)構(gòu))，軌道和大地的頻譜幅值關(guān)于x是獨(dú)立的[2-3]，而本文將軌道/大地系統(tǒng)作為一個(gè)周期結(jié)構(gòu)，鋼軌和大地的位移頻譜幅值則與位置坐標(biāo)x相關(guān)。

2 算例及分析

2.1 軌道結(jié)構(gòu)和大地參數(shù)

本節(jié)基于上述推導(dǎo)研究周期的軌道/大地結(jié)構(gòu)的臨界速度、大地頻譜以及鋼軌導(dǎo)納，并將結(jié)果與軌道板假設(shè)成連續(xù)無(wú)限長(zhǎng)梁時(shí)的結(jié)果對(duì)比，明確了軌道板簡(jiǎn)化對(duì)系統(tǒng)響應(yīng)的影響。采用的軌道參數(shù)見(jiàn)表1，其中減振層剛度參考文獻(xiàn)[14]，為k1=4×107N/m。

表1 軌道系統(tǒng)參數(shù)

大地參數(shù)見(jiàn)表2。由于僅考慮較低的頻率范圍(0～250 Hz)，經(jīng)過(guò)驗(yàn)算，關(guān)于j的無(wú)窮級(jí)數(shù)可以只考慮對(duì)j=-10,…,0,…,10的各項(xiàng)。對(duì)邊界自由的軌道板，考慮前18階模態(tài)，即S=18，對(duì)應(yīng)固有頻率為2 171 Hz，遠(yuǎn)高于大地振動(dòng)所分析的頻率范圍，能夠保證計(jì)算精度。

表2 大地參數(shù)

2.2 軸荷載臨界速度

不同速度的單位軸荷載作用下，剛性地基上周期的軌道系統(tǒng)中鋼軌最大位移-荷載速度曲線(上)及其頻散曲線(下，亮黃曲線)，見(jiàn)圖2。對(duì)于考慮軌道板離散的周期軌道結(jié)構(gòu)，存在多個(gè)峰值速度，而且隨著荷載速度的降低，峰值大小明顯降低同時(shí)曲線逐漸趨于平滑。圖2(b)中的頻散曲線存在曲線聚散(即兩條頻散曲線靠近又分開(kāi))現(xiàn)象，圖2(a)中峰值速度對(duì)應(yīng)的荷載-速度線(在頻散圖上滿足“頻率=波數(shù)×荷載速度/(2π)”的直線)總是穿過(guò)頻散曲線的聚散點(diǎn)(233 m/s)，或者與頻散曲線相切(111 m/s和71 m/s)。頻散曲線聚散現(xiàn)象在其他領(lǐng)域被廣泛地研究，它和系統(tǒng)一種類似共振的行為有關(guān)[15]。而在荷載-速度線與頻散曲線的切點(diǎn)(f0，k0)處，相速度為cp=2πf0/k0，群速度為cg=2π?f/?k∣(f0,k0)，且在切點(diǎn)處移動(dòng)荷載的速度c=cp=cg，此時(shí)相速度與群速度重疊，這通常是2.5D軌道/大地結(jié)構(gòu)臨界速度的產(chǎn)生機(jī)制[16]。圖3為移動(dòng)坐標(biāo)系下大地最大位移-荷載速度曲線，其中周期的軌道/大地結(jié)構(gòu)對(duì)應(yīng)的曲線也出現(xiàn)了多個(gè)峰值速度。236 m/s處的峰值與圖2(a)中233 m/s的峰值相對(duì)應(yīng)，主要是周期的軌道系統(tǒng)引起的。180 m/s左右的峰值是主要由大地導(dǎo)致的，但被軌道系統(tǒng)影響。將軌道板假設(shè)為連續(xù)無(wú)限長(zhǎng)的結(jié)構(gòu)在一定程度上加強(qiáng)了軌道/大地系統(tǒng)，故預(yù)測(cè)出的臨界速度(182 m/s)略高于軌道板離散時(shí)的結(jié)果(177 m/s)。周期的軌道/大地模型預(yù)測(cè)出了多個(gè)峰值速度，這與軌道板連續(xù)模型的結(jié)果存在明顯的差別。

圖2 剛性地基上周期軌道的鋼軌最大位移-荷載速度及頻散關(guān)系

圖3 大地表面最大位移-荷載速度曲線

2.3 移動(dòng)簡(jiǎn)諧荷載產(chǎn)生的振動(dòng)譜

為分析離散軌道板對(duì)系統(tǒng)響應(yīng)的影響，首先對(duì)剛性地基上的軌道板作模態(tài)分析，減振層用等效的彈簧表示。軌道板的前5階模態(tài)振型(彩色云圖)及其固有頻率見(jiàn)圖4，前兩階模態(tài)為剛體模態(tài)，軌道板在減振層上作剛性的平動(dòng)和轉(zhuǎn)動(dòng)，其余的模態(tài)為軌道板的彎曲模態(tài)。圖4中軌道板振型對(duì)應(yīng)的固有頻率皆位于大地振動(dòng)所關(guān)注的頻率范圍之內(nèi)。

圖4 軌道板模態(tài)及其固有頻率

在荷載速度100 m/s激勵(lì)頻率60 Hz的單位簡(jiǎn)諧激勵(lì)下，大地的頻譜見(jiàn)圖5。軌道板離散時(shí)大地頻譜曲線在31.7 Hz出現(xiàn)了額外的峰值，圖4中軌道板在33.4 Hz處也存在一彎曲模態(tài)。因此大地頻譜在31.7 Hz的峰值主要是減振層上自由軌道板的彎曲模態(tài)導(dǎo)致的。軌道板彎曲模態(tài)對(duì)鋼軌的響應(yīng)也有明顯的影響，將在2.4節(jié)詳細(xì)地分析。當(dāng)軌道板被假設(shè)成無(wú)限長(zhǎng)時(shí)，軌道/大地系統(tǒng)為波導(dǎo)結(jié)構(gòu)，在頻譜曲線上有兩個(gè)尖銳的峰值，這是多普勒效應(yīng)的典型特征。而實(shí)際上軌道板為離散結(jié)構(gòu)，即軌道/大地系統(tǒng)是周期結(jié)構(gòu)，具有不同的波導(dǎo)特性(存在通帶和阻帶)，故兩條頻譜曲線存在明顯的差別。

圖5 大地頻譜

圖6 鋼軌導(dǎo)納

2.4 軌道結(jié)構(gòu)和大地的頻響特性

移動(dòng)坐標(biāo)系下的鋼軌導(dǎo)納見(jiàn)圖6，其中x′=x0=0，c=0，t=0。圖6中在頻率為28、195 Hz的峰值處鋼軌振動(dòng)類似于一個(gè)二自由度系統(tǒng)，峰值頻率與二自由度系統(tǒng)的固有頻率相吻合。在14 Hz處的峰值主要由層狀大地的固有振動(dòng)引起的，但同時(shí)被軌道系統(tǒng)所影響。與軌道板離散的情況相比，將軌道板假設(shè)為無(wú)限長(zhǎng)時(shí)提高了軌道板的彎曲剛度，所以在14、28 Hz處軌道板離散時(shí)鋼軌導(dǎo)納具有更高的峰值。當(dāng)頻率提高到195 Hz時(shí)，鋼軌主要在鋼軌墊片上振動(dòng)，軌道板是連續(xù)或離散對(duì)鋼軌導(dǎo)納的影響不大。軌道板離散時(shí)，鋼軌導(dǎo)納在62、102 Hz有額外的峰值，圖4中軌道板在56.9、100.2 Hz也存在相應(yīng)的彎曲模態(tài)，所以鋼軌導(dǎo)納在62、102 Hz的峰值仍與軌道板的彎曲模態(tài)有關(guān)。軌道板被假設(shè)成無(wú)限長(zhǎng)時(shí)對(duì)鋼軌導(dǎo)納的影響會(huì)影響輪軌力的計(jì)算，進(jìn)而影響大地響應(yīng)的預(yù)測(cè)。

3 結(jié)論

本文基于傅里葉變換、周期結(jié)構(gòu)理論和頻率-波數(shù)域中大地的動(dòng)柔度建立了更接近實(shí)際結(jié)構(gòu)的地面板式軌道交通誘發(fā)的環(huán)境振動(dòng)預(yù)測(cè)模型，即考慮了鋼軌的離散支承和軌道板的離散分布，對(duì)比了本文模型與簡(jiǎn)化模型的對(duì)大地振動(dòng)預(yù)測(cè)的差別。已有的模型通常將軌道/大地系統(tǒng)簡(jiǎn)化為縱向均勻的2.5D結(jié)構(gòu)，而本文將其視為無(wú)限長(zhǎng)的周期結(jié)構(gòu)，以一減振型無(wú)砟軌道為例，通過(guò)將本文模型與簡(jiǎn)化模型的預(yù)測(cè)結(jié)果作對(duì)比，明確了將不連續(xù)軌道板假設(shè)成連續(xù)無(wú)限長(zhǎng)的歐拉-伯努利梁對(duì)臨界速度、大地頻譜和鋼軌導(dǎo)納預(yù)測(cè)存在以下影響：

(1)對(duì)于臨界速度，簡(jiǎn)化模型僅預(yù)測(cè)出了一個(gè)臨界速度，其產(chǎn)生機(jī)制為相速度與群速度的重疊，周期的軌道/大地結(jié)構(gòu)存在多個(gè)峰值速度(臨界速度)，其產(chǎn)生機(jī)制除了是相速度與群速度的重疊，還與頻散曲線的聚散現(xiàn)象有關(guān)。

(2)對(duì)于大地頻譜，簡(jiǎn)化模型中軌道/大地結(jié)構(gòu)是一個(gè)波導(dǎo)結(jié)構(gòu)，本文將其作為更符合實(shí)際的周期結(jié)構(gòu)，具有不同的波導(dǎo)特性(存在通帶和阻帶)，因此兩種模型預(yù)測(cè)的大地頻譜也會(huì)不同。離散軌道板的彎曲模態(tài)會(huì)導(dǎo)致大地的頻譜響應(yīng)出現(xiàn)相應(yīng)的峰值，如大地頻譜在31.7 Hz的峰值對(duì)應(yīng)軌道板在33.4 Hz處的彎曲模態(tài)。

(3)對(duì)于鋼軌導(dǎo)納，與簡(jiǎn)化模型相比，本文模型中邊界自由的軌道板的彎曲模態(tài)會(huì)也使鋼軌導(dǎo)納曲線出現(xiàn)相應(yīng)峰值，如鋼軌導(dǎo)納在62、106 Hz處的峰值，對(duì)應(yīng)軌道板在56.9、100.2 Hz的彎曲模態(tài)。