毛嘉煒，賀帥，劉昌儒，吳清文,4，徐振邦,4，謝宗武，母德強(qiáng)

(1.中國(guó)科學(xué)院，長(zhǎng)春光學(xué)精密機(jī)械與物理研究所，吉林長(zhǎng)春 130033；2.中國(guó)科學(xué)院大學(xué)，北京 100049；3.中國(guó)科學(xué)院，空間光學(xué)系統(tǒng)在軌制造與集成重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，吉林長(zhǎng)春 130033; 4.中國(guó)科學(xué)院大學(xué)材料與光電研究中心，北京 100049;5.哈爾濱工業(yè)大學(xué)機(jī)電工程學(xué)院，黑龍江哈爾濱 150001;6.長(zhǎng)春工業(yè)大學(xué)機(jī)電工程學(xué)院，吉林長(zhǎng)春 130012)

0 前言

隨著科學(xué)技術(shù)的不斷發(fā)展，各國(guó)在太空層面進(jìn)行了進(jìn)一步探索。但是太空環(huán)境有著微重力、高真空、高寒、大溫差、強(qiáng)輻射的特性，阻礙了對(duì)太空的進(jìn)一步探索，尤其是載人航天工程。在惡劣的空間環(huán)境下，人類(lèi)許多空間活動(dòng)很難完成，因此空間機(jī)械臂的研究成為太空探索的重要基礎(chǔ)。自1981年哥倫比亞號(hào)航天飛機(jī)在太空中首次采用機(jī)械臂以來(lái)，國(guó)際空間站(ISS)的加拿大臂(CANADARM2)、歐洲臂(ERA)、日本臂(JEMRMS)等在外太空操作中起到了非常重要的作用。隨科技的進(jìn)步，對(duì)于空間機(jī)械臂技術(shù)的需求越來(lái)越迫切，而且對(duì)其工作能力和性能、可靠性、安全性、壽命等方面也提出了越來(lái)越高的要求。

空間機(jī)械臂是一個(gè)機(jī)、電、熱、控一體化集成系統(tǒng)，建立準(zhǔn)確的運(yùn)動(dòng)學(xué)、動(dòng)力學(xué)模型和相關(guān)的仿真分析、實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證是實(shí)現(xiàn)機(jī)械臂功能的保障。機(jī)械臂在軌狀態(tài)要保證相應(yīng)的控制性能與運(yùn)動(dòng)精度，也要求確保機(jī)械臂的結(jié)構(gòu)剛度。其剛度特性是影響整體運(yùn)動(dòng)學(xué)的主要因素，為此對(duì)其在軌剛度進(jìn)行準(zhǔn)確模擬分析。目前，國(guó)內(nèi)對(duì)于空間機(jī)械臂剛度的分析方法和實(shí)驗(yàn)方法研究較少，也少有學(xué)者將柔度矩陣建模與機(jī)械臂構(gòu)型相結(jié)合，國(guó)外的相關(guān)資料也有限。MUSSA-IVADI和HOGAN給出了冗余度串聯(lián)機(jī)械臂的柔度矩陣和剛度矩陣。DIMENTBERG第一次運(yùn)用旋量理論求出剛體在平衡位置的剛度矩陣。趙朋飛針對(duì)已有剛度矩陣算法進(jìn)行重構(gòu)與優(yōu)化，但是該研究只是對(duì)串聯(lián)機(jī)械臂末端工具的剛度進(jìn)行了分析。陳少帥對(duì)諧波傳動(dòng)引起的剛度變化進(jìn)行分析。上述研究只考慮了諧波減速器與力矩傳感器等具有明顯柔性特征的部件的柔度，而忽略了其他部件的柔度。而空間機(jī)械臂具有高輕量化的特點(diǎn)，其他部件的柔度會(huì)引起更大的誤差，不能忽略，可以采用有限元分析的方法計(jì)算機(jī)械臂的整體柔度。

采用有限元計(jì)算機(jī)械臂在一種構(gòu)型下的柔度時(shí)，需要在有限元軟件中旋轉(zhuǎn)7個(gè)關(guān)節(jié)并重新進(jìn)行連接和計(jì)算，該過(guò)程約耗時(shí)4 h。而機(jī)械臂實(shí)際工作時(shí)的構(gòu)型有無(wú)窮多種，采用有限元分析對(duì)各個(gè)構(gòu)型進(jìn)行建模與分析工作量巨大且不切實(shí)際。因此，應(yīng)采用新的方法分析機(jī)械臂在不同姿態(tài)下的柔度。

針對(duì)上述情況，本文作者提出一種將經(jīng)典柔度理論與經(jīng)典機(jī)器人運(yùn)動(dòng)學(xué)理論相結(jié)合的計(jì)算方法，計(jì)算機(jī)械臂在各個(gè)位姿下的整體柔度矩陣，并據(jù)此預(yù)估機(jī)械臂抓取載荷的基頻。該方法充分考慮機(jī)械臂各部件的柔度影響，其理論分析與有限元分析計(jì)算的柔度偏差為3.4%、基頻偏差為1%，說(shuō)明了其理論計(jì)算方法的準(zhǔn)確性。利用該方法可將計(jì)算機(jī)械臂在一種構(gòu)型下的柔度矩陣的時(shí)間由4 h減小到10 ms，大大提高計(jì)算效率。

1 機(jī)械臂運(yùn)動(dòng)學(xué)建模

文中的研究對(duì)象是一個(gè)七自由度的空間機(jī)械臂,由2個(gè)臂桿、7個(gè)關(guān)節(jié)、2個(gè)末端執(zhí)行器、2臺(tái)手眼相機(jī)、2臺(tái)肘部相機(jī)組成。機(jī)械臂零位構(gòu)型如圖1所示，其零位時(shí)的坐標(biāo)系如圖2所示?；鴺?biāo)系{0}的原點(diǎn)位于基座末端作用器端面中心點(diǎn)，軸方向垂直于相機(jī)。末端坐標(biāo)系的原點(diǎn)位于末端作用器端面中心點(diǎn)，軸方向垂直于相機(jī)。相應(yīng)的D-H參數(shù)見(jiàn)表1,則末端相對(duì)基座的齊次變換矩陣為

表1 機(jī)械臂D-H參數(shù)

圖1 空間機(jī)械臂零位構(gòu)型

圖2 空間機(jī)械臂零位構(gòu)型坐標(biāo)系

(1)

(2)

機(jī)器人的正運(yùn)動(dòng)學(xué)即給定關(guān)節(jié)轉(zhuǎn)動(dòng)角度求解末端位姿(角度采用歐拉角321表示)。將各關(guān)節(jié)角度代入式(1)可以求得齊次變換矩陣,則相應(yīng)的末端位姿為

===

(3)

(4)

當(dāng)=±90°時(shí)

(5)

當(dāng)=90°時(shí)

=0,=arctan2(,)

(6)

當(dāng)=-90時(shí)

=0,=-arctan2(,)

(7)

2 柔度理論建模

2.1 單元柔度矩陣變換

圖3 單元柔度矩陣變換

(8)

其中：

(9)

(10)

(11)

(12)

點(diǎn)受到的力在坐標(biāo)系{0}下與在坐標(biāo)系{1}下關(guān)系式為

(14)

則：

(15)

對(duì)應(yīng)圖中單元，點(diǎn)受到的力向點(diǎn)等效時(shí)，在坐標(biāo)系{1}下的描述為

(16)

則：

(17)

(18)

從而推導(dǎo)出單元在坐標(biāo)系{0}下的柔度矩陣與在坐標(biāo)系{1}下的柔度矩陣的關(guān)系為

(19)

2.2 單元柔度矩陣

圖4 單元柔度矩陣模型

(20)

則有:

(21)

(22)

(23)

2.3 串聯(lián)單元柔度矩陣

圖5 單元串聯(lián)模型

(24)

其中：

(25)

(26)

(27)

(28)

(29)

(30)

所以串聯(lián)后點(diǎn)相對(duì)點(diǎn)的柔度矩陣為

(31)

2.4 鏡像單元柔度矩陣

圖6 鏡像單元模型

(32)

(33)

2.5 整機(jī)柔度矩陣

將個(gè)連桿的柔度矩陣串聯(lián),得到整機(jī)柔度矩陣。將相對(duì)連桿坐標(biāo)系的柔度矩陣轉(zhuǎn)換到世界坐標(biāo)系下，得到轉(zhuǎn)換后的柔度矩陣：

(34)

利用串聯(lián)柔度矩陣公式(31)，依次求得前個(gè)連桿串聯(lián)后的柔度矩陣：

(35)

3 機(jī)械臂剛度理論模型與實(shí)驗(yàn)對(duì)比

3.1 剛度矩陣?yán)碚擈?yàn)證

在軌工作狀態(tài)時(shí),機(jī)械臂需要抓取3 t貨物。為滿(mǎn)足機(jī)械臂的控制需求，需要分析其不同構(gòu)型下抓取3 t物體的基頻。因此，為驗(yàn)證柔度矩陣?yán)碚撃Ｐ偷臏?zhǔn)確性，對(duì)機(jī)械臂2種構(gòu)型進(jìn)行有限元分析，對(duì)應(yīng)有限元模型如圖7所示，其構(gòu)型參數(shù)見(jiàn)表2。采用柔度矩陣算法與有限元分析分別計(jì)算2種構(gòu)型下的柔度矩陣，結(jié)果如表3所示?？芍?，主對(duì)角值最大偏差為3.4%，該偏差主要來(lái)源于有限元D-H參數(shù)與理論D-H的參數(shù)偏差。同時(shí)，非對(duì)角線(xiàn)參數(shù)存在較大的偏差，是由于主對(duì)角線(xiàn)參數(shù)比其他項(xiàng)參數(shù)大幾個(gè)數(shù)量級(jí)，矩陣運(yùn)算時(shí)主對(duì)角線(xiàn)參數(shù)與非主對(duì)角線(xiàn)參數(shù)耦合導(dǎo)致的。

圖7 機(jī)械臂測(cè)試狀態(tài)下模型

表2 機(jī)械臂2種構(gòu)型下的關(guān)節(jié)角度 單位:(°)

表3 機(jī)械臂連桿柔度矩陣

采用柔度矩陣?yán)碚撃Ｐ瓦M(jìn)行在軌基頻分析時(shí)，機(jī)械臂的質(zhì)量難以精確，為此需要對(duì)機(jī)械臂質(zhì)量進(jìn)行相關(guān)等效分析。由于機(jī)械臂負(fù)載較大，機(jī)械臂自身質(zhì)量特性對(duì)在軌基頻的影響相對(duì)較小，將機(jī)械臂質(zhì)量的1/2等效到末端負(fù)載上。下面是對(duì)該等效方法的偏差估計(jì)。

則：

(36)

(37)

(38)

因此,將機(jī)械臂質(zhì)量的1/2等效到末端負(fù)載上的偏差可控制在3%左右，由于此計(jì)算方法考慮的是單自由度頻率，而實(shí)際機(jī)械臂采用多自由度柔度矩陣，計(jì)算結(jié)果會(huì)存在一定差異。選取表中2個(gè)典型構(gòu)型進(jìn)行理論計(jì)算與有限元分析，結(jié)果如表4所示。可知理論計(jì)算結(jié)果與有限元分析結(jié)果最大比值為1.01，產(chǎn)生該偏差的主要原因:(1)理論分析時(shí)機(jī)械臂質(zhì)量等效到負(fù)載上時(shí)存在一定誤差；(2)有限元中的D-H參數(shù)與機(jī)械臂實(shí)際的D-H參數(shù)存在一定偏差。

表4 機(jī)械臂基頻分析結(jié)果

3.2 實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證

為得到柔度矩陣?yán)碚撃Ｐ团c實(shí)驗(yàn)測(cè)試結(jié)果的偏差以驗(yàn)證此計(jì)算方法的準(zhǔn)確性，對(duì)機(jī)械臂2種構(gòu)型進(jìn)行測(cè)試，其構(gòu)型參數(shù)同表2。

基頻測(cè)試時(shí)將機(jī)械臂一端固定在模擬墻上，機(jī)械臂各主要單元由氣浮工裝實(shí)現(xiàn)重力卸載，在負(fù)載上施加一定的力使機(jī)械臂偏離平衡位置，同時(shí)用激光跟蹤儀記錄機(jī)械臂末端位移。

實(shí)驗(yàn)時(shí)增加了氣浮工裝的質(zhì)量、氣浮桁架的剛度等因素，因?yàn)槟M墻的質(zhì)量與剛度偏低，導(dǎo)致得到的基頻結(jié)果也偏低。通過(guò)測(cè)試實(shí)驗(yàn)得到的結(jié)果如表5所示。機(jī)械臂抓取物體時(shí)的柔度理論模型計(jì)算結(jié)果比實(shí)驗(yàn)測(cè)試結(jié)果偏高，柔度理論模型計(jì)算結(jié)果與測(cè)試結(jié)果之比為1.071 8，故柔度矩陣算法計(jì)算的基頻與實(shí)驗(yàn)結(jié)果的偏差為7.2%，說(shuō)明利用該算法能夠較準(zhǔn)確地計(jì)算機(jī)械臂的在軌基頻。

表5 模擬墻測(cè)試狀態(tài)下基頻分析結(jié)果

4 結(jié)論

本文作者提出一種基于柔度理論建模的計(jì)算方法，相較于常見(jiàn)柔度矩陣只考慮關(guān)節(jié)處柔度的分析方法，文中柔度矩陣?yán)碚摲椒紤]了機(jī)械臂各連桿中主要零件的柔性，并根據(jù)連桿柔度矩陣計(jì)算機(jī)械臂各個(gè)位姿下的整體柔度矩陣，然后將機(jī)械臂整體柔度矩陣用于機(jī)械臂的在軌基頻預(yù)估。柔度矩陣偏差為3.4%，理論分析基頻與有限元計(jì)算基頻偏差為1%，驗(yàn)證了所提出的柔度理論建模方法對(duì)機(jī)械臂在軌基頻計(jì)算的準(zhǔn)確性。而理論分析基頻與實(shí)驗(yàn)基頻偏差為7.2%，偏差主要來(lái)源于有限元仿真，但滿(mǎn)足工程上10%的偏差要求。相對(duì)于在采用有限元計(jì)算在軌基頻時(shí)需要建立各種構(gòu)型，柔度理論算法將柔度矩陣與機(jī)械臂構(gòu)型相結(jié)合，能快速計(jì)算機(jī)械臂在不同構(gòu)型下的基頻，具有工程應(yīng)用價(jià)值。