基于雙目標(biāo)規(guī)劃的連鑄切割在線優(yōu)化

劉 真，宋大浩

（安徽水利水電職業(yè)技術(shù)學(xué)院，安徽 合肥 231603）

0 引言

本文主要是針對(duì)2021年高教社杯全國(guó)大學(xué)生數(shù)學(xué)建模競(jìng)賽D題[1]進(jìn)行研究。連鑄是一種鋼水變?yōu)殇撆鞯纳a(chǎn)過(guò)程，鋼水需要連續(xù)從中間包澆入結(jié)晶器，鋼水與結(jié)晶器接觸的部分會(huì)凝固形成坯殼并按一定速度從結(jié)晶器拉出。然后鋼水會(huì)經(jīng)過(guò)二冷段進(jìn)行噴水冷卻并逐漸凝固成鋼坯。最后需要按照一定的尺寸要求對(duì)鋼坯進(jìn)行切割。在連鑄停澆時(shí)，會(huì)產(chǎn)生尾坯，尾坯的長(zhǎng)度與中間包中剩余的鋼水量及其他因素有關(guān)。因此，尾坯的切割也是連鑄切割的組成部分。

本文解決了題目的第一問(wèn)與第二問(wèn)，具體問(wèn)題如下：

問(wèn)題一：鋼坯的最優(yōu)切割方案

假定用戶的目標(biāo)值是9.5米，目標(biāo)范圍是9.0～10.0米，在滿足基本要求和正常要求的情況下對(duì)十條已知長(zhǎng)度的尾坯分別設(shè)計(jì)出其最優(yōu)切割方案，方案按“尾坯長(zhǎng)度、切割方案、切割損失”等內(nèi)容列表給出。十條尾坯長(zhǎng)度為109、93.4、80.9、72.0、62.7、52.5、44.9、42.7、31.6、22.7、14.5、13.7（單位：米）。

問(wèn)題二：鋼坯的實(shí)時(shí)最優(yōu)切割方案

結(jié)晶器每隔一段時(shí)間將會(huì)發(fā)生異常從而產(chǎn)生一段報(bào)廢鋼坯段，當(dāng)結(jié)晶器發(fā)生異常時(shí)給出實(shí)時(shí)的最優(yōu)切割方案：（1）在鋼坯第一次出現(xiàn)報(bào)廢段，給出此段鋼坯的切割方案；（2）在出現(xiàn)新的報(bào)廢段后給出新一段鋼坯的切割方案和當(dāng)前鋼坯切割的調(diào)整方案，或聲明不調(diào)整。

假設(shè)結(jié)晶器出現(xiàn)異常的時(shí)刻在0.0、45.6、98.6、131.5、190.8、233.3、 266.0、270.7和327.9（單位：分鐘），用戶目標(biāo)值是 9.5米，目標(biāo)范圍是 9.0～10.0米。在滿足基本要求和正常要求的條件下，按“初始切割方案、調(diào)整后的切割方案、切割損失”等內(nèi)容列表給出這些時(shí)刻具體的最優(yōu)切割方案。

1 鋼坯的最優(yōu)切割方案

1.1 目標(biāo)函數(shù)

由于我們?cè)谠O(shè)計(jì)切割方案時(shí)需要考慮到切割損失以及用戶目標(biāo)值兩個(gè)因素，所以需要建立雙目標(biāo)規(guī)劃模型來(lái)求解優(yōu)化問(wèn)題。而對(duì)目標(biāo)的分析優(yōu)先考慮切割損失，其次才是用戶目標(biāo)值。因此給出目標(biāo)函數(shù)：

（1）使得切割損失是最少的，其中SS為切割損失

（2）使得切割方案是最令人滿意的

上述CZ為切割后鋼坯長(zhǎng)度與用戶要求長(zhǎng)度之間的差值，差值越小越能滿足用戶，x為切割鋼坯的長(zhǎng)度，z為0-1變量用于選中x，n為用戶給定的目標(biāo)值。i是一個(gè)大于等于最優(yōu)結(jié)果下能夠切割出的鋼坯段數(shù)量。

1.2 約束條件

對(duì)題目中的相關(guān)約束如基本要求、正常要求以及題目隱含條件羅列以下四點(diǎn)進(jìn)行分析：

（1）切割后的鋼坯長(zhǎng)度必須在4.8～12.6米之間，用x表示切割后的鋼坯長(zhǎng)度：即x∈[4.8，12.6]。

（2）鋼坯長(zhǎng)度是8.0～11.6米，長(zhǎng)度不在此范圍的鋼坯將需要進(jìn)行離線二次切割，長(zhǎng)度若小于8.0米則全部報(bào)廢即SS=SS+x，長(zhǎng)度若大于11.6米即SS=SS+x-11.6。

（3）目標(biāo)值是 9.5米，目標(biāo)范圍是9.0～10.0米，度不在此范圍的鋼坯將會(huì)產(chǎn)生損失，長(zhǎng)度x若小于9.0米則全部報(bào)廢即SS=SS+x，長(zhǎng)度x若大于10米即SS=SS+x-10。

（4）鋼坯的切割必須從工作起點(diǎn)開(kāi)始，切割機(jī)切割所需時(shí)長(zhǎng)3分鐘，返回起點(diǎn)需要1分鐘，共計(jì)一個(gè)工作流程需要4分鐘，鋼坯行進(jìn)速度為1米/分鐘，所以鋼坯長(zhǎng)度x需要滿足x≥4米才能使切割機(jī)切割時(shí)及時(shí)返回。

1.3 符號(hào)說(shuō)明

SS含義為切割損失；CZ含義為切割后鋼坯與用戶要求的長(zhǎng)度之差值；x含義為當(dāng)前鋼坯對(duì)象所切割出的小鋼坯（單位：米）；n含義為用戶目標(biāo)區(qū)間的中間值（單位：米）；L含義為當(dāng)前切割方案的設(shè)計(jì)對(duì)象（單位：米）；Z含義為0-1變量，是否加入切割計(jì)劃內(nèi)；c含義為0-1變量，表示報(bào)廢段的存在位置；Lup含義為鋼坯的有效區(qū)間上界，超過(guò)該區(qū)間為冗余；Llow含義為鋼坯的有效區(qū)間下界，超過(guò)該區(qū)間為冗余。

1.4 模型構(gòu)建

模型一：

1.5 模型求解

以109米鋼坯為例，由于是雙目標(biāo)規(guī)劃所以這里采用序貫解法[2]（序貫解法（Sequential Decision）是按時(shí)間順序進(jìn)行求解，是一種動(dòng)態(tài)的決策方式，可用于隨機(jī)性或不確定性動(dòng)態(tài)系統(tǒng)最優(yōu)化），利用lingo軟件實(shí)現(xiàn)模型一的求解，通過(guò)目標(biāo)函數(shù)（1）得出切割損失最少可以降低到0，再通過(guò)這個(gè)基準(zhǔn)值作為約束條件去實(shí)現(xiàn)目標(biāo)函數(shù)（2）可以得出具體的切割方案見(jiàn)表1。

表1 各鋼坯切割方案

如果發(fā)現(xiàn)切割方案里的鋼坯存在著不在用戶要求范圍之內(nèi)的鋼坯，如對(duì)尾坯長(zhǎng)度為62.7米的鋼坯進(jìn)行切割后，還要進(jìn)行離線二次切割，所有需要調(diào)整的見(jiàn)表2。

表2 調(diào)整方案

2 實(shí)時(shí)最優(yōu)切割方案

2.1 結(jié)晶器異常的處理

針對(duì)異常而建立的實(shí)時(shí)切割方案可以理解為在發(fā)生異常時(shí)及時(shí)對(duì)異常點(diǎn)到切割點(diǎn)或者是上一個(gè)異常點(diǎn)的這段新鋼坯段構(gòu)建新的切割方案，即實(shí)時(shí)切割方案。

那么利用已知的異常發(fā)生時(shí)間，根據(jù)拉坯速度、結(jié)晶器距切割點(diǎn)距離等要素計(jì)算出需要進(jìn)行計(jì)算的各段鋼坯長(zhǎng)度見(jiàn)表3（按時(shí)間順序標(biāo)序號(hào)）。

表3 異常鋼坯段長(zhǎng)度

在問(wèn)題二中結(jié)晶器會(huì)不定時(shí)發(fā)生異常并產(chǎn)生報(bào)廢段，所以需要考慮產(chǎn)生出的報(bào)廢段出現(xiàn)在何時(shí)切割的鋼坯內(nèi)最優(yōu)，所以對(duì)原切割損失SS的約束條件進(jìn)行修改得出：

c(i)是一個(gè)選擇變量,確定出這個(gè)報(bào)廢段在哪一段鋼坯內(nèi)，其中i是一個(gè)大于等于最優(yōu)結(jié)果下能夠切割出的鋼坯段數(shù)量。并且c(i)的和應(yīng)該等于1，又c(i)如果等于1，那么z(i)也應(yīng)該等于1。所以添加約束如下：

2.2 模型構(gòu)建

根據(jù)上述處理修改模型一構(gòu)建如下：

模型二：

2.3 模型求解

以60米長(zhǎng)鋼坯為例，利用lingo軟件實(shí)現(xiàn)模型得出結(jié)果，首先通過(guò)對(duì)目標(biāo)函數(shù)（1）求解可得損失最低為0，再將其作為約束條件對(duì)目標(biāo)函數(shù)（2）計(jì)算求解得出：

初始切割方案：10米*3，9.7米、10.8米、9.5米各一段。

調(diào)整方案：其中10.8米長(zhǎng)鋼坯不在用戶范圍內(nèi),因而需要切除0.8米鋼坯產(chǎn)生損失，但又因?yàn)榻Y(jié)晶器本身也會(huì)產(chǎn)生一個(gè)0.8米報(bào)廢段，所以可以使結(jié)晶器在產(chǎn)生0.8米報(bào)廢段時(shí)恰好也報(bào)廢需要切除的鋼坯。其他鋼坯切割方案求解相同（見(jiàn)表4和表5）。

表4 實(shí)時(shí)生成的各段尾坯的切割方案

表5 實(shí)時(shí)生成的各段尾坯的調(diào)整方案

3 結(jié)語(yǔ)

本文的求解模型對(duì)于切割類型題具有一定的適用性，如鋼管下料、易拉罐下料以及板材切割問(wèn)題等。對(duì)于雙目標(biāo)規(guī)劃，若目標(biāo)之間分先后、主次，那么本文模型也具有通用性。