寧波市北侖中學(xué)

竺吳輝 范東暉

1 引言

隨著評(píng)價(jià)范式的轉(zhuǎn)型，在“為了學(xué)習(xí)的評(píng)價(jià)”的教學(xué)評(píng)價(jià)理念下，以學(xué)生為主體的評(píng)價(jià)方式被越來越多的研究者和教師所關(guān)注.《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)(2017年版)》(以下簡(jiǎn)稱《標(biāo)準(zhǔn)》)指出：評(píng)價(jià)既要關(guān)注學(xué)生學(xué)習(xí)的結(jié)果，更要重視學(xué)生學(xué)習(xí)的過程.開發(fā)合理的評(píng)價(jià)工具，將知識(shí)技能的掌握與數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)的達(dá)成有機(jī)結(jié)合，建立目標(biāo)多元、方式多樣、重視過程的評(píng)價(jià)體系[1].數(shù)學(xué)建模活動(dòng)是一類重“過程”，強(qiáng)調(diào)“活動(dòng)”的學(xué)習(xí)模式，部分教師可能會(huì)直接跳過這塊內(nèi)容，將時(shí)間投入到可以有效增加分?jǐn)?shù)的模塊上，這與素質(zhì)教育的初衷是相悖的.本文中結(jié)合數(shù)學(xué)學(xué)業(yè)質(zhì)量水平的三個(gè)維度和四個(gè)方面，以“測(cè)量學(xué)校內(nèi)外建筑物的高度”的數(shù)學(xué)建?；顒?dòng)為例，對(duì)模型建立、模型求解以及模型檢驗(yàn)三個(gè)模塊構(gòu)建了綜合量化評(píng)價(jià)表，闡釋了對(duì)“形成性評(píng)價(jià)”的理解和教學(xué)實(shí)踐.

2 研究基礎(chǔ)

2.1 數(shù)學(xué)建模素養(yǎng)的內(nèi)涵

《標(biāo)準(zhǔn)》中指出：數(shù)學(xué)建模是對(duì)現(xiàn)實(shí)問題進(jìn)行數(shù)學(xué)抽象，用數(shù)學(xué)語言表達(dá)問題、用數(shù)學(xué)方法構(gòu)建模型解決問題的素養(yǎng)[1].數(shù)學(xué)建模過程如圖1所示，主要包括：在實(shí)際情境中從數(shù)學(xué)的角度發(fā)現(xiàn)問題、提出問題，分析問題、建立模型，確定參數(shù)、計(jì)算求解，檢驗(yàn)結(jié)果、改進(jìn)模型，最終解決實(shí)際問題.若現(xiàn)實(shí)結(jié)果符合實(shí)際，直接將模型應(yīng)用于現(xiàn)實(shí)問題(步驟7)；若不滿足實(shí)際情況(轉(zhuǎn)步驟6)，重復(fù)之前的流程，直到模型滿足實(shí)際情況為止.

從數(shù)學(xué)建模定義的描述來看，其內(nèi)涵包含三個(gè)要素[2]：一是對(duì)現(xiàn)實(shí)問題的數(shù)學(xué)抽象，二是用數(shù)學(xué)語言表達(dá)問題，三是用數(shù)學(xué)方法建構(gòu)模型解決問題.因此，數(shù)學(xué)建模是構(gòu)建現(xiàn)實(shí)世界和數(shù)學(xué)世界的重要橋梁，在經(jīng)歷完整建模流程的基礎(chǔ)上，進(jìn)而發(fā)展“四能”，達(dá)到“三會(huì)”.它不僅是一個(gè)數(shù)學(xué)知識(shí)應(yīng)用的問題，在解決問題的過程中還蘊(yùn)含著方法、思想、價(jià)值判斷與選擇，乃至數(shù)學(xué)的精神和態(tài)度.

2.2 形成性評(píng)價(jià)的內(nèi)涵

評(píng)價(jià)最重要的意圖不是為了證明學(xué)生學(xué)得有多好，而是為了幫助學(xué)生更好地了解自身的學(xué)習(xí)情況，改進(jìn)自身的學(xué)習(xí)方法，促進(jìn)和激勵(lì)學(xué)生高效學(xué)習(xí).形成性評(píng)價(jià)并非只注重過程，不注重結(jié)果，而是更注重從被評(píng)價(jià)者的需要出發(fā)，重視學(xué)習(xí)的過程，重視學(xué)生在學(xué)習(xí)中的體驗(yàn)與成長(zhǎng).評(píng)價(jià)的過程和學(xué)生學(xué)習(xí)的過程交互在一起，這種關(guān)注“過程”和“發(fā)展”的價(jià)值取向，是形成性評(píng)價(jià)的理念基礎(chǔ).

3 素養(yǎng)水平劃分與兩項(xiàng)評(píng)價(jià)原則

《標(biāo)準(zhǔn)》中將每一個(gè)數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)都劃分為三個(gè)水平，并對(duì)每一個(gè)水平通過情境與問題、知識(shí)與技能、思維與表達(dá)、交流與反思這四個(gè)方面進(jìn)行表述.量化方式可參考文獻(xiàn)[3],結(jié)合每個(gè)水平的具體表現(xiàn)，構(gòu)建數(shù)學(xué)建模核心素養(yǎng)的評(píng)價(jià)方案(見表1)，此評(píng)價(jià)方案需提前告知學(xué)生，讓學(xué)生明確努力與評(píng)價(jià)的方向.

表1 基于三個(gè)維度的數(shù)學(xué)建模評(píng)價(jià)方案(部分)

《標(biāo)準(zhǔn)》同時(shí)也指出，在具體評(píng)價(jià)數(shù)學(xué)建模素養(yǎng)水平層次時(shí)，還需遵循滿意原則和加分原則.“滿意”原則是針對(duì)“最優(yōu)化”原則提出來的，在復(fù)雜多變的建模活動(dòng)中，大部分問題是沒有最優(yōu)解的，學(xué)生只需根據(jù)自己的知識(shí)儲(chǔ)備以及學(xué)習(xí)能力，獲得一個(gè)基本符合要求的結(jié)果即可.而“加分原則”可以理解為針對(duì)數(shù)學(xué)建模過程的完整性、數(shù)學(xué)建模方法的創(chuàng)新性、模型的創(chuàng)新性、語言表達(dá)的準(zhǔn)確性等方面進(jìn)行適當(dāng)加分.

4 案例呈現(xiàn)

筆者選取了人教版普通高中數(shù)學(xué)教科書必修第二冊(cè)第54頁拓廣探索中的第23題作為案例開展數(shù)學(xué)建?；顒?dòng).考慮到新高一學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)建模的整個(gè)環(huán)節(jié)比較陌生，本文中重點(diǎn)闡述學(xué)生在“建模內(nèi)循環(huán)”(即建模、解模、驗(yàn)?zāi)Ｈ齻€(gè)環(huán)節(jié))過程中的行為表現(xiàn)，并給予恰當(dāng)?shù)男纬尚栽u(píng)價(jià).

4.1 分析問題構(gòu)建模型

本次數(shù)學(xué)建?；顒?dòng)課僅考慮高度問題，匯總之后大致可分為3類測(cè)量對(duì)象，如表2.

表2 測(cè)量對(duì)象與特點(diǎn)

第一類對(duì)象的高度問題本文不考慮.對(duì)于高度不可測(cè)的問題，高中學(xué)生很容易聯(lián)想到利用三角形的知識(shí)來解決，但是當(dāng)遇到水平距離不可測(cè)時(shí)，需要小組實(shí)踐，考慮通過什么方式測(cè)定其對(duì)應(yīng)高度，并完成表3.(總評(píng)成績(jī)=學(xué)生評(píng)分×40%+教師評(píng)分×60%.)

表3 測(cè)量方案評(píng)價(jià)表

小組合作(準(zhǔn)備階段)：

(1)2～3名學(xué)生一個(gè)單位，自由分組，討論本小組的測(cè)量目標(biāo)、小組成員的具體分工、需要準(zhǔn)備的測(cè)量工具.(下發(fā)表2和表3，讓學(xué)生明確努力的方向.)

(2)小組成員采用“頭腦風(fēng)暴”的形式集思廣益，充分討論，對(duì)需要測(cè)量的對(duì)象給出不同的測(cè)量方案.測(cè)量方案可要求盡可能多一些，通過討論或?qū)嵺`后再來確定最后的測(cè)量方案.確定任意一種方案的具體實(shí)施細(xì)節(jié)，弄清楚要測(cè)量哪些數(shù)據(jù)，哪些因素會(huì)使測(cè)量結(jié)果“失真”.

不管是測(cè)量學(xué)校內(nèi)旗桿的高度或者是樹的高度，從數(shù)學(xué)角度來看，本質(zhì)上是一個(gè)解三角形問題.因此，可以將一個(gè)高度測(cè)量問題化歸為解三角形的問題，這類“模型”的核心是測(cè)量一個(gè)(或幾個(gè))“角”和“距離”.以測(cè)量本校旗桿的高度為例，呈現(xiàn)學(xué)生的討論成果，如圖2所示.

圖 2 四種測(cè)量方案

上述四種測(cè)量方案的計(jì)算都較為簡(jiǎn)潔，方案一、二、三對(duì)觀測(cè)點(diǎn)與被測(cè)物之間的水平距離必須可測(cè).與方案一、三相比，方案二、四[4]在計(jì)算過程中更容易產(chǎn)生測(cè)量和計(jì)算誤差，根據(jù)實(shí)際情況要進(jìn)行適當(dāng)?shù)恼{(diào)整修正.

師生活動(dòng)(討論階段)：

教學(xué)與評(píng)價(jià)是促進(jìn)學(xué)生有效學(xué)習(xí)的“雙通道”.因此，在實(shí)施實(shí)地測(cè)量之前，每個(gè)小組需委派一名發(fā)言人對(duì)本小組的測(cè)量方案進(jìn)行必要的說明，其他小組成員以及任課教師根據(jù)該組成員的匯報(bào)情況對(duì)其進(jìn)行評(píng)分(見表3).

模型建立環(huán)節(jié)是十分重要的一個(gè)步驟，關(guān)乎著整個(gè)建模活動(dòng)是否能夠正常進(jìn)行.小組匯報(bào)與互評(píng)工作，首要目標(biāo)是讓所有參與數(shù)學(xué)建模活動(dòng)的成員明確自己的分工，明晰建模研究的方向.其次，教師和小“評(píng)委”可以大致了解整個(gè)大團(tuán)隊(duì)會(huì)涉及哪些模型來測(cè)量高度，通過聆聽匯報(bào)，準(zhǔn)確依據(jù)評(píng)價(jià)方案給予評(píng)分，并結(jié)合“滿意原則”和“加分原則”適當(dāng)調(diào)整分?jǐn)?shù).例如，某團(tuán)隊(duì)在匯報(bào)過程中，給出了3種解決方案，且有明確的符號(hào)說明，并給出了合理的解釋，但未提前預(yù)設(shè)操作過程可能會(huì)遇到的各類問題.根據(jù)滿意原則，學(xué)生已經(jīng)達(dá)到了理想情況，評(píng)分屬于8～10分檔，但學(xué)生并沒有對(duì)模型進(jìn)行比較，也未提出操作過程中可能存在的問題，因此它不滿足加分原則，最終教師評(píng)分判定為8分.最后，這種“互掐”式的互評(píng)模式必然會(huì)讓所有同學(xué)的思路更為開闊，思維更加嚴(yán)謹(jǐn).

4.2 確定參數(shù) 計(jì)算求解

小組合作(測(cè)量階段)：

在測(cè)量過程中，通過有效的測(cè)量策略減少系統(tǒng)誤差是非常必要的.系統(tǒng)誤差可分為：方法誤差、儀器誤差以及操作誤差等.其中儀器誤差是不可控的，但是方法誤差和操作誤差卻可以通過理性分析與多次測(cè)量，以達(dá)到降低誤差的效果.

小組合作(計(jì)算階段)：

利用小組構(gòu)建的模型，完成測(cè)量報(bào)告，并用多種形式展示小組的成果和創(chuàng)意.通過實(shí)踐觀察與詢問，發(fā)現(xiàn)某小組成員在測(cè)量過程中，沒有考慮到測(cè)量誤差，但給出了相應(yīng)的測(cè)算結(jié)果，故其滿足滿意原則；在實(shí)際測(cè)量過程中，學(xué)生能根據(jù)實(shí)際情況進(jìn)行有效的模型與方法選擇，故其滿足加分原則.因此，教師對(duì)該組評(píng)分判定為6分.

4.3 檢驗(yàn)結(jié)果 評(píng)估模型

旗桿的實(shí)際測(cè)量高度為16.81 m，某團(tuán)隊(duì)對(duì)方案二、三進(jìn)行計(jì)算及穩(wěn)定性分析，其中ΔH表示通過模型計(jì)算獲得的旗桿高度與實(shí)際高度的絕對(duì)誤差，ΔH*表示當(dāng)測(cè)量數(shù)據(jù)發(fā)生變化時(shí)高度的相對(duì)變化量(取正)，觀察模型的穩(wěn)定性，如表4.

表4 模型二、三的穩(wěn)定性分析

通過后續(xù)的討論，該小組學(xué)生得到如下結(jié)論：(1)在測(cè)量過程中，測(cè)量長(zhǎng)度所帶來的誤差要小于量角器所帶來的誤差.這是由于學(xué)生的操作不規(guī)范以及儀器的精度不夠?qū)е碌?，建議減少引入角度變量或選用精度較高的量角儀器.(2)通過二個(gè)方案的測(cè)算結(jié)果，方案三更接近真實(shí)值，且該模型的穩(wěn)定性明顯優(yōu)于方案二.該組成員對(duì)自身建立的模型不僅給出了穩(wěn)定性分析，還從分析的結(jié)論中得出一些有用的信息,但不足之處是未說明模型的適用范圍，因此教師評(píng)分可判定為9分.

5 教學(xué)思考

5.1 形成性評(píng)價(jià)幫助學(xué)生的目標(biāo)設(shè)定

學(xué)生在學(xué)習(xí)過程中不斷接近或突破自己預(yù)設(shè)的學(xué)習(xí)目標(biāo)時(shí)，他們的自我效能感和內(nèi)在興趣都將得以激發(fā)，從而進(jìn)一步增強(qiáng)其學(xué)好數(shù)學(xué)的信心.因此，目標(biāo)設(shè)定是決定學(xué)習(xí)表現(xiàn)和結(jié)果的關(guān)鍵環(huán)節(jié).在本次數(shù)學(xué)建?；顒?dòng)過程中，學(xué)生一直圍繞評(píng)價(jià)方案表，有目的性地開展活動(dòng)，操作起來也就更為順暢了.在數(shù)學(xué)建?；顒?dòng)開展的過程中，若不事先設(shè)定好目標(biāo)，大部分學(xué)生會(huì)迷失方向，這樣數(shù)學(xué)建?；顒?dòng)的效果就大打折扣，而且容易挫傷學(xué)生的積極性.當(dāng)然教師和學(xué)生理解的目標(biāo)應(yīng)當(dāng)是匹配和重合的，這樣學(xué)生才能夠主動(dòng)將來自同伴和教師的反饋信息與自己的目標(biāo)聯(lián)系起來.

5.2 形成性評(píng)價(jià)增強(qiáng)學(xué)生的自我監(jiān)控

自我監(jiān)控是指記錄或評(píng)價(jià)自己的行為，通過記錄和評(píng)價(jià)等手段影響未來行為上的一系列變化.形成性評(píng)價(jià)過程中發(fā)現(xiàn)的問題，更能引起學(xué)生的注意力，進(jìn)一步促使學(xué)生思考自身的學(xué)習(xí)行為以及策略方法是否得當(dāng).在本次數(shù)學(xué)建?；顒?dòng)中，當(dāng)團(tuán)隊(duì)完成自己的評(píng)價(jià)方案時(shí)，會(huì)將當(dāng)前自身的表現(xiàn)水平與標(biāo)準(zhǔn)進(jìn)行比較，通過采取適當(dāng)?shù)男袆?dòng)來縮小兩者之間的差距.同伴間的相似性，能夠用更同質(zhì)化的語言進(jìn)行解釋和建議，讓學(xué)生看到不同的看法和策略，共同探討策略的運(yùn)用與問題的解決，還能將同伴的理解轉(zhuǎn)化為自己學(xué)習(xí)的評(píng)價(jià)，進(jìn)而對(duì)自己的學(xué)習(xí)方式進(jìn)行修正和補(bǔ)充.

5.3 形成性評(píng)價(jià)發(fā)展學(xué)生的高階思維

高階學(xué)習(xí)過程表現(xiàn)為學(xué)生在基于真實(shí)任務(wù)或復(fù)雜問題的情境中，為達(dá)到高層次的學(xué)習(xí)目標(biāo)，積極主動(dòng)、堅(jiān)持不懈開展建構(gòu)性學(xué)習(xí)活動(dòng)，與同伴建立情感支持，進(jìn)行協(xié)作、交流、分享，不斷地反思和調(diào)節(jié)自己的學(xué)習(xí)，經(jīng)歷分析、發(fā)現(xiàn)、構(gòu)想、歸納、評(píng)價(jià)、創(chuàng)造等思維經(jīng)驗(yàn)積累的過程.在解決問題的過程中，不管是建模、解模、驗(yàn)?zāi)５娜魏我粋€(gè)環(huán)節(jié)，都需要同學(xué)們積極地合作，通過深度的思考、嚴(yán)謹(jǐn)?shù)奶接?、精確的測(cè)量、精準(zhǔn)的計(jì)算才能最終有所收獲.在自評(píng)與互評(píng)的過程中，發(fā)展學(xué)生的批判性思維、創(chuàng)新性思維與反思性評(píng)價(jià)思維.