巧用轉(zhuǎn)化思想 解答數(shù)學(xué)難題

林亞額

(福建省石獅市華僑中學(xué) 362700)

轉(zhuǎn)化思想是初中數(shù)學(xué)中的一種重要思想.在轉(zhuǎn)化思想的指引下可使得看似難以下手的問題順利的得以突破.授課中應(yīng)充分認(rèn)識到轉(zhuǎn)化思想的重要性，做好轉(zhuǎn)化思想的灌輸以及應(yīng)用示范.

1 一般與特殊的轉(zhuǎn)化

一般與特殊的轉(zhuǎn)化是指在考慮問題時(shí)將一般的情境特殊化，更加方便的尋找相關(guān)角度，線段之間的關(guān)系，以達(dá)到快速求解問題的目的.如解題中的特殊值法、特殊位置法均是該轉(zhuǎn)化方法的具體體現(xiàn).教學(xué)中為使得學(xué)生準(zhǔn)確的找到特殊值、特殊位置，提高解題效率，應(yīng)結(jié)合學(xué)生所學(xué)，做好經(jīng)典例題的剖析.

例1如圖1，正方形ABCD的邊長為1，在對角線BD上存在一點(diǎn)E，且BE=BC，P為CE上任意一點(diǎn)，且滿足PQ⊥BC于點(diǎn)Q，PR⊥BE于點(diǎn)R，則PQ+PR的值為( ).

圖1

解析該題為動點(diǎn)問題，采用常規(guī)思路解題的難度較大.由“P為CE上任意一點(diǎn)”，可將P點(diǎn)的位置特殊化，即取P點(diǎn)為EC的中點(diǎn)，問題便很快突破.授課中可為學(xué)生講解以下突破思路：

2 局部與整體的轉(zhuǎn)化

局部與整體的轉(zhuǎn)化可使得看似較為復(fù)雜的式子變得較為簡單，有效的降低計(jì)算的復(fù)雜度.其中整體代換、換元法是初中數(shù)學(xué)解題中常用的局部與整體轉(zhuǎn)化方法.教學(xué)中為使學(xué)生體會、掌握該轉(zhuǎn)化方法，既要注重例題的講解，又要組織其進(jìn)行專題訓(xùn)練.如可要求學(xué)生結(jié)合所學(xué)解答以下習(xí)題：

例2若x-2y-2=0，x2-4y2+4m=0(0

解析該題涉及三個(gè)參數(shù)，看似難度較大.事實(shí)上通過局部與整體的轉(zhuǎn)化，不難求解.解答該題要求學(xué)生先認(rèn)真觀察要求解的問題，通過對要求解的問題進(jìn)行整理，構(gòu)建與已知條件的聯(lián)系，而后通過局部向整體的轉(zhuǎn)化求解.

∵x-2y-2=0，∴x-2y=2①，

又∵x2-4y2+4m=0，∴4m=4y2-x2=(2y+x)(2y-x)=-2(2y+x)，∴x+2y=-2m②，

2mx-x2-4my-4y2-4xy=(2mx-4my)-(x2+4xy+4y2)=2m(x-2y)-(x+2y)2，

將①②整體代入，原式=4m-4m2=-(2m-1)2+1，又∵0

3 數(shù)與形的轉(zhuǎn)化

數(shù)與形之間有著密切的聯(lián)系，之間的轉(zhuǎn)化能有效的突破相關(guān)數(shù)學(xué)難題.教學(xué)中為使學(xué)生積累豐富的數(shù)與形轉(zhuǎn)化經(jīng)驗(yàn)，提高其在解題中的應(yīng)用靈活性，應(yīng)注重講解數(shù)與形轉(zhuǎn)化的思路，如繪制圖形、建立坐標(biāo)系等都均屬于數(shù)與形轉(zhuǎn)化的范疇.同時(shí)，做好相關(guān)例題的篩選，提高教學(xué)的針對性，使學(xué)生在聽課中進(jìn)一步深化對數(shù)與形轉(zhuǎn)化的認(rèn)識與理解.

例3如圖2，坐標(biāo)軸上存在A、B、C三點(diǎn)，其中AO=BO=CO=1，過點(diǎn)A、O、C作圓D，其中E是圓D上任意一點(diǎn)，連接CE，BE，則CE2+BE2的最大值為( ).

圖2

解析解答該題應(yīng)注重挖掘隱含條件，該題涉及到坐標(biāo)系，實(shí)際上暗示運(yùn)用數(shù)與形的轉(zhuǎn)化進(jìn)行求解.解答時(shí)應(yīng)借助點(diǎn)的坐標(biāo)，運(yùn)用數(shù)與形的轉(zhuǎn)化尋找相關(guān)參數(shù)之間的內(nèi)在關(guān)系，以達(dá)到順利突破的目的.

根據(jù)題意可設(shè)E點(diǎn)的坐標(biāo)為(m，n)，則根據(jù)題意可得B、C的坐標(biāo)分別為(-1，0)、(1，0)，使用坐標(biāo)不難表示出CE2+BE2=(m+1)2+n2+(m-1)2+n2=2(m2+n2)+2.又∵m2+n2表示點(diǎn)E到原點(diǎn)距離的平方，因此，當(dāng)其最大時(shí)點(diǎn)E距離原點(diǎn)最遠(yuǎn)，又∵點(diǎn)E在圓D上，因此，滿足題意的點(diǎn)E為OD連線和圓D的交點(diǎn).∵AO=OC=1，∴∠DOC=45°，∵此時(shí)OE為圓D的直徑，∴OC=CE=1，即m=n=1，∴CE2+BE2的最大值為2×2+2=6，選擇C項(xiàng).

4 方程與函數(shù)的轉(zhuǎn)化

方程與函數(shù)緊密聯(lián)系，兩者間的轉(zhuǎn)化是初中數(shù)學(xué)的熱門考點(diǎn).教學(xué)中應(yīng)注重引導(dǎo)學(xué)生將一次方程和一次函數(shù)、二次方程和二次函數(shù)對應(yīng)起來，為實(shí)現(xiàn)兩者之間的靈活轉(zhuǎn)化做好鋪墊.同時(shí)，圍繞學(xué)生的現(xiàn)有知識儲備以及教學(xué)的重點(diǎn)知識，創(chuàng)設(shè)新穎的問題情境，鼓勵(lì)學(xué)生在課堂上討論、解答.

解析問題要求三次方程根的取值范圍，看似無從下手，但從已知條件中可獲得啟發(fā).通過認(rèn)真審題，吃透題意，不難找到解題思路，即，將要求解的方程進(jìn)行整理、轉(zhuǎn)化成函數(shù)圖象的交點(diǎn)問題.

5 陌生與熟悉的轉(zhuǎn)化

在初中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中，通常是從陌生、淺顯的了解逐漸熟悉和深入，是一個(gè)循序漸進(jìn)的過程，幫助學(xué)生解答難題，利用轉(zhuǎn)化思想，將陌生題目轉(zhuǎn)化為熟悉題目，降低解題難度系數(shù)，完成數(shù)學(xué)難題解答.

再如，已知a是方程x2+x-1=0的一個(gè)根，則代數(shù)式a3+2a2+2018=( ).對于此題，學(xué)生都知道a2+a-1=0難以轉(zhuǎn)化，并不知道如何求解.在解題中，其關(guān)鍵就是對已知條件和問題進(jìn)行轉(zhuǎn)化、變形.在解題中，讓學(xué)生對已知條件進(jìn)行觀察，構(gòu)建已知條件和問題解答的聯(lián)系.根據(jù)已知可以得出a2+a-1=0，所以a2+a=1，因此，a3+2a2+2018=a3+a2+a2+2018=a(a2+a)+a2+2018，從而得出a+a2+2018，求解得出答案是2019.

6 抽象與具體的轉(zhuǎn)化

在初中數(shù)學(xué)解題中，針對一些困難問題，引導(dǎo)學(xué)生利用轉(zhuǎn)化思想，將抽象問題具體化轉(zhuǎn)化，激發(fā)學(xué)生聯(lián)想能力，將數(shù)學(xué)難題一一拆解，理解題目意思，分析條件關(guān)系和解題思路，正確解答數(shù)學(xué)難題.

例5已知，如圖3所示，在△ABC中，AD=DB，DF和AC相交，交點(diǎn)是E，和BC延長線交于點(diǎn)F，求證：AE·CF=EC·BF.

圖3

解析在幾何問題解答中，求證兩條線段積等于另外兩條線段積，題目較為抽象，引導(dǎo)學(xué)生利用轉(zhuǎn)化思想，做出相應(yīng)的輔助線，將圖形具體化轉(zhuǎn)化，轉(zhuǎn)變成學(xué)生常見的圖形，找出正確的解題思路.在解題中，先讓學(xué)觀察圖形，找出存在的相似三角形，利用相似三角形的性質(zhì)解題，之后，讓學(xué)生畫出輔助線，使得圖像更加形象具體，在DE上找出點(diǎn)G，使得CG∥AB，將圖形轉(zhuǎn)化成相似三角形，利用相似三角形性質(zhì)證明.在初中數(shù)學(xué)解題中，對于有些抽象的數(shù)學(xué)難題，引導(dǎo)學(xué)生創(chuàng)新解題方式，利用轉(zhuǎn)化思想進(jìn)行圖象轉(zhuǎn)化，使得題目更加具體、直觀，明確問題解題思路，提高學(xué)生解題能力.

轉(zhuǎn)化思想在初中數(shù)學(xué)解題中有著廣泛的應(yīng)用，該思想本身并不難理解，但要想靈活應(yīng)用于解題中，不僅需要學(xué)生認(rèn)真聽講，牢固掌握相關(guān)的理論，把握轉(zhuǎn)化思想的精髓，而且需要引導(dǎo)學(xué)生做好專題訓(xùn)練以及該思想在解題中的應(yīng)用反思、總結(jié)，把握不同題型的轉(zhuǎn)化思路，在以后的解題中少走彎路，迅速破題.