劉 煌

(廣東省梅縣東山中學(xué) 514017)

近年來，有不少學(xué)者指出，數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的生成機制，數(shù)學(xué)原理和概念是數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的形成的主載體，數(shù)學(xué)活動是數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)形成的主路徑.因此，數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)在教學(xué)活動中的落地生根，必須要深入理解當(dāng)堂課程的數(shù)學(xué)原理和概念的內(nèi)涵和構(gòu)成要素有哪些，所體現(xiàn)的核心素養(yǎng)有哪些，隨后才能結(jié)合具體的學(xué)生特點，創(chuàng)設(shè)具體的教學(xué)情景，提出具體的數(shù)學(xué)問題.

今年，筆者在“直線與平面平行的判定”的核心片段設(shè)計過程中，對教學(xué)實施過程進行了反思，談?wù)勛约旱目捶?

1 對原理與概念理解

本課內(nèi)容“直線與平面平行的判定”，取自《普通高中數(shù)學(xué)必修第二冊》人教A版(2019)第八章《立體幾何初步》的第五節(jié)《空間直線、平面的平行》第二課時.《立體幾何初步》這一章，是對義務(wù)教育階段“空間與圖形”課程的延續(xù)與發(fā)展，內(nèi)容在編寫上，是典型的《課程標(biāo)準(zhǔn)》對立體幾何的教學(xué)要求：先整體觀察，再抽象辯證，從整體到局部，從具體到抽象，從直觀想象到邏輯推理的學(xué)習(xí)過程，設(shè)置了“直觀感知—操作確認(rèn)—思辯論證”的研究過程，引導(dǎo)學(xué)生體會研究空間圖形的方法，關(guān)注基本圖形，從基本圖形再到復(fù)雜圖形，逐步形成研究和解決空間圖形問題的思路和方法，幫助培養(yǎng)學(xué)生直觀想象、數(shù)學(xué)抽象、邏輯推理的素養(yǎng).

2 對學(xué)生最近發(fā)展區(qū)的分析

學(xué)生通過本章前面內(nèi)容學(xué)習(xí)，掌握了平面的三個基本事實及其推論，對平面的“平”和“無限延展”的特征有一定的直觀感知，掌握了以直線與平面的公共點個數(shù)來區(qū)分線面關(guān)系的判斷方法.但這些位置關(guān)系的判斷都是對現(xiàn)實生活當(dāng)中的實例和簡單立體圖形(如長方體)的直觀想象，沒有進行演繹推理和邏輯論證，容易產(chǎn)生現(xiàn)實問題與數(shù)學(xué)問題的脫節(jié)，而從線面平行證明開始，對邏輯論證的要求陡然提升.直觀想象到邏輯推理的轉(zhuǎn)換必不可少，如何順暢的進行轉(zhuǎn)換和過渡就是本節(jié)的核心和難點.

3 教學(xué)核心和難點的設(shè)計

3.1 從對生活模型直接觀察到直觀圖形的理念作圖

在復(fù)習(xí)回顧環(huán)節(jié)，先回顧直線與平面的三種位置關(guān)系及直線與直線的平行關(guān)系，引出本節(jié)課研究的內(nèi)容.在這個環(huán)節(jié)，平面的“平”、直線的“直”以及兩者的無限延展，在生活當(dāng)中是容易找到實物模型進行觀察的，如教室的地板、黑板、門面等可以看作是平面，日光燈管、窗簾橫桿、門框的邊緣等可以看作是直線，這些模型對于學(xué)生來說非常熟悉，容易理解.但是要將空間圖形畫到紙面上，即在二維平面的紙面上作出三維模型，就需要借助“理念作圖”，把線、面的“平”、“直”、“無限延展”、“平行”加以分解、組合刻畫在直觀圖上.章建躍博士認(rèn)為，只有通過規(guī)范的直觀圖作圖和特征描述，學(xué)生才能學(xué)會有效運用平面幾何知識去理解空間本質(zhì).刻畫線面平行關(guān)系的直觀圖應(yīng)作圖如圖1.

圖1 圖2

在直觀圖的作圖中，平面的“平”可由平行四邊形來展現(xiàn)，通俗的是將空間中的平面略微向左前方傾斜，從觀察者的角度就會展現(xiàn)為平行四邊形，如同水面一樣的擴散，學(xué)生可以輕松的理解“無限延展”.直觀圖上展現(xiàn)線面平行關(guān)系，是“直”的直線a平行于“無限延展”的平面的某一條直觀圖邊緣b.根據(jù)最近發(fā)展區(qū)理念，展開新的問題要基于學(xué)生已經(jīng)掌握的知識，學(xué)生通過觀察直線與邊緣的平行，更容易從直觀的邊緣上平行聯(lián)想到線與面的平行.不貼切的作圖則會提升學(xué)生的認(rèn)知困難，如圖2，對于教師來說并不難理解，但對初學(xué)者就未必.

3.2 從對生活模型的直接觀察到數(shù)學(xué)模型的歸納抽象

在課堂引入環(huán)節(jié)，不同版本的教材設(shè)計了形式多樣的直接觀察欄目，如對門扇繞門框轉(zhuǎn)動、硬紙板繞桌面轉(zhuǎn)動、日光燈與天花板的位置等等，旨在引導(dǎo)學(xué)生通過“直觀感知”和“操作確認(rèn)”，歸納出線面平行判定定理.事實上在筆者的實際課堂實踐中，發(fā)現(xiàn)幾個問題：一是活動環(huán)節(jié)的指向性難明確，學(xué)生無法從實物的眾多要素中提煉出教師的真實意圖；二是從實物模型直接歸納出判定定理的過程銜接不順暢，梯度偏大.故筆者采用遞進原則，即實物模型(無限特征)—抽象概括(有限特征)—數(shù)學(xué)模型(概念特征)，以書頁翻動過程中，書頁的邊緣與桌面平行為例，引導(dǎo)學(xué)生抽象概括共同的本質(zhì)屬性，使定理的發(fā)現(xiàn)更自然.

APOS理論認(rèn)為學(xué)習(xí)過程要經(jīng)過“活動”、“過程”、“對象”和“圖式”四個階段，概念的形成，通過“活動”、“過程”抽象為“對象”，慢慢自主建構(gòu)概念的圖式結(jié)構(gòu)，最后形成系統(tǒng)化、模塊化的體系.對生活模型的歸納抽象是學(xué)生把生活化、具體化的問題逐步引向深入，強化學(xué)生對空間概念和定理本質(zhì)的理解，培養(yǎng)數(shù)學(xué)抽象、歸納推理的數(shù)學(xué)素養(yǎng)的必由之路，這個過程需要逐步推進，不能跳躍進行.

3.3 從空間到平面的降維，從無限到有限的轉(zhuǎn)化

在歸納推導(dǎo)定理環(huán)節(jié)，首先要明確探究“直線與平面平行”判定定理的核心思想是降維，是把空間問題降維為平面問題，無限問題轉(zhuǎn)換為有限問題的過程，這兩個轉(zhuǎn)換思想會貫穿于整個立體幾何學(xué)習(xí)的全過程.平面的特征是“無限延展”的“平”，在歸納判定定理的過程當(dāng)中如何讓“有限”來承載，直線與平面的平行關(guān)系是三維空間關(guān)系，如何用平面的直線與直線的平行關(guān)系來解決，筆者的思考有下面的三點.

(1)線面平行的定義是核心.如前文所言，概念和定理是數(shù)學(xué)素養(yǎng)的根源，教學(xué)活動絕不能脫離基本原理.通過設(shè)問，讓學(xué)生體會到根據(jù)已有的知識和經(jīng)驗，無法解決由直線和平面的“無限延展”性所帶來的判斷難點，即無法通過無限的延展或無限次的檢驗來判斷直線與平面沒有公共點，引發(fā)認(rèn)知沖突，從而引出需要新的判定方法的必要性，引導(dǎo)學(xué)生從直觀想象轉(zhuǎn)向思辨論證.

(2)貼近最近發(fā)展區(qū)，將空間降維到平面，將平面降維到直線，無限的線轉(zhuǎn)化為特定的線.根據(jù)建構(gòu)主義“數(shù)學(xué)教學(xué)活動必須建立在學(xué)生的認(rèn)知進展水平和已有的知識經(jīng)驗基礎(chǔ)之上”的教學(xué)思想，從學(xué)生已經(jīng)學(xué)習(xí)過具有“無限性”的線線平行，引導(dǎo)學(xué)生用好基本事實3推論：平行直線在同一平面內(nèi)，就將空間問題回歸到了平面問題，將線線平行的判斷與線面的平行判斷產(chǎn)生了直接聯(lián)系，問題迎刃而解.

筆者引導(dǎo)學(xué)生把平面α看作是由直線b的平移形成的軌跡，線動成面，判斷平面外的直線a與平面的平行，就可以轉(zhuǎn)換為判斷直線a與平面內(nèi)的直線b的軌跡的平行.由學(xué)生前面學(xué)習(xí)到的基本事實4：a∥b,b∥c?a∥c，對一條直線與無數(shù)條直線平行的判斷，可以轉(zhuǎn)化為僅需要判斷直線a與直線b的平行就足夠了.

(3)思辨論證，撥云見日，展現(xiàn)數(shù)學(xué)的嚴(yán)密性.學(xué)生要將具有三個要素的定理完整的表達出來有一定的難度，從動態(tài)的模型到靜態(tài)的數(shù)學(xué)對象轉(zhuǎn)換是較大的思維挑戰(zhàn).為此，筆者設(shè)計了兩個問題幫助學(xué)生歸納判斷定理的三個要素：①是否可以用“平面α外的直線a與平面α內(nèi)的直線b沒有公共點”替代“平面α外的直線a與平面α內(nèi)的直線b平行”？②是否“與平面α內(nèi)的直線b平行的直線平行于平面α”？在這兩個問題的處理上，筆者未進行復(fù)雜的反證法論證，而是將復(fù)雜的數(shù)學(xué)模型再重新回歸到生活模型，用一支筆扎穿了A4紙(展示異面直線)、將教室門推緊(展示線在平面內(nèi))，學(xué)生立即會意.這一論證過程簡潔明快，不是由教師直接將定理條件生硬的讓學(xué)生記憶和理解，而是從思辨論證的過程中，讓定理自然的生長在學(xué)生已有經(jīng)驗和知識之上，從而提高學(xué)生的幾何論證思維的嚴(yán)密性.

4 反思感悟

數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的落地要根植于數(shù)學(xué)概念和原理.無論設(shè)計怎么樣的教學(xué)活動，都應(yīng)始終將概念和原理貫穿于情景發(fā)生、認(rèn)知沖突、思辨論證的過程中，要極力避免淺表化的課堂活動.看起來學(xué)生熱熱鬧鬧地參與課堂，實質(zhì)上僅僅是參與了游戲，并沒有使用到數(shù)學(xué)思維、數(shù)學(xué)交流和數(shù)學(xué)推理.

數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的落地要融合在學(xué)生主動發(fā)現(xiàn)和思考的數(shù)學(xué)活動中.進行數(shù)學(xué)概念教學(xué)，如本例的線面平行判定定理就屬于概念教學(xué)，必須讓學(xué)生深度參與到數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)的過程，通過不斷設(shè)置與概念相關(guān)的觀察任務(wù)、抽象概括問題、定理論證要求，引導(dǎo)學(xué)生觀察、抽象、辯證，將思維逐步引向深入，讓空間問題平面化、無限化有限的思維在學(xué)生認(rèn)知的最近發(fā)展區(qū)自然地延伸，強化學(xué)生對空間本質(zhì)和定理本質(zhì)的理解.

數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的落地要符合學(xué)生的認(rèn)知規(guī)律和層級.如本例教學(xué)要符合先直觀想象，后數(shù)學(xué)抽象，再進行邏輯推理的遞進的過程，而實際教學(xué)中，我們常常重視直觀想象和邏輯推理而忽略數(shù)學(xué)抽象，以至于跳躍式的從生活模型直達概念和定理建構(gòu)，不僅讓活動的開展和概念的發(fā)生顯得突兀，不利于學(xué)生有效參與課堂，也容易讓數(shù)學(xué)概念脫離生活場景.“數(shù)學(xué)來源于生活”，讓學(xué)生感受數(shù)學(xué)的高度概括、簡潔直觀的美也是課堂不可或缺的部分.

作為教師，引導(dǎo)學(xué)生進行深度的學(xué)習(xí)，主動的、真實發(fā)生的去建構(gòu)一個過程連貫、邏輯清晰的知識脈絡(luò)，是讓核心素養(yǎng)在課堂上落地的必由之路.