I-WP型極小曲面空心多孔結(jié)構(gòu)設(shè)計與力學(xué)性能分析

杜義賢，孫鵬飛，付君健,2+，田啟華,2，周祥曼,2，陶 然

(1.三峽大學(xué) 機(jī)械與動力學(xué)院，湖北 宜昌 443002；2.三峽大學(xué) 水電機(jī)械設(shè)備設(shè)計與維護(hù)湖北省重點實驗室，湖北 宜昌 443002；3.長江三峽通航管理局，湖北 宜昌 443002)

0 引言

多孔結(jié)構(gòu)具有優(yōu)越的力學(xué)性能[1]和良好的減震及吸能效應(yīng)[2-3]，且結(jié)構(gòu)類型繁多[4-5]，其周期性分布的點陣結(jié)構(gòu)可作為新型機(jī)械防撞結(jié)構(gòu)的優(yōu)良載體，在船舶、航天及車輛等領(lǐng)域具有廣泛的應(yīng)用。例如，船舶過閘與閘門發(fā)生碰撞將對人員、設(shè)備和航道產(chǎn)生巨大的安全威脅，且閘門檢修時間長、費用高。因此，設(shè)計和安裝防撞系統(tǒng)對閘門的安全防護(hù)具有重要意義。理想的防撞系統(tǒng)要求防撞結(jié)構(gòu)具有高能量吸收率和一定的承載能力，對結(jié)構(gòu)進(jìn)行創(chuàng)新性設(shè)計可有效滿足防撞結(jié)構(gòu)的力學(xué)性能需求。

三周期極小曲面是平均曲率為零的曲面，作為新型多孔結(jié)構(gòu)，由特定數(shù)學(xué)函數(shù)描述[5-6]，可設(shè)計性強(qiáng)，受到國內(nèi)外研究人員的廣泛關(guān)注。由于其優(yōu)良的承載能力、吸能特性[7]、導(dǎo)熱性和導(dǎo)電性[8]，在多功能承載、抗沖擊、熱交換、電力傳輸?shù)阮I(lǐng)域具有較好的應(yīng)用前景。增材制造技術(shù)的發(fā)展解決了多孔結(jié)構(gòu)的制造難題，推動了三周期極小曲面多孔結(jié)構(gòu)性能特性的研究?；谌芷跇O小曲面的可設(shè)計性，采用梯度設(shè)計和混合設(shè)計，可實現(xiàn)三周期極小曲面多孔結(jié)構(gòu)的創(chuàng)新設(shè)計。例如，在三周期極小曲面函數(shù)中引入線性函數(shù)，可生成梯度多孔結(jié)構(gòu)，相比于均勻多孔結(jié)構(gòu)，具有更優(yōu)的吸能特性[9]。不同類型三周期極小曲面之間的混合設(shè)計，可構(gòu)成具有新型結(jié)構(gòu)特征的多孔結(jié)構(gòu)。在各向同性屬性條件下，混合型三周期極小曲面多孔結(jié)構(gòu)的彈性性能較其單一多孔結(jié)構(gòu)更優(yōu)[10]，且體積模量更逼近Hashin-Shtrikman理論極限[11]。綜上可知，梯度設(shè)計和混合設(shè)計可有效獲得新型多孔結(jié)構(gòu)，但梯度設(shè)計側(cè)重于提升結(jié)構(gòu)吸能特性，混合設(shè)計則側(cè)重于提升多孔結(jié)構(gòu)整體性能。

空心設(shè)計屬于一種多孔結(jié)構(gòu)的混合設(shè)計方法，以多孔結(jié)構(gòu)為基礎(chǔ)結(jié)構(gòu)，去除內(nèi)部材料，得到了空心多孔結(jié)構(gòu)[12]，且其壓縮和剪切強(qiáng)度優(yōu)于多孔結(jié)構(gòu)。例如，體積分?jǐn)?shù)為0.3%～5.8%的金字塔空心多孔點陣結(jié)構(gòu)的壓縮和剪切強(qiáng)度可達(dá)相同體積分?jǐn)?shù)多孔點陣結(jié)構(gòu)的3倍～5倍[13]。對于結(jié)構(gòu)面外壓縮強(qiáng)度，空心多孔結(jié)構(gòu)是相同體積分?jǐn)?shù)下多孔結(jié)構(gòu)的兩倍以上[14-15]?？招亩嗫捉Y(jié)構(gòu)的高性能取決于其幾何特征，由于其具有大量的細(xì)長構(gòu)件和曲面特征，在受到外壓力時，其失效機(jī)制轉(zhuǎn)變?yōu)榍Х€(wěn)，而結(jié)構(gòu)的屈曲失穩(wěn)極限取決于其幾何構(gòu)型。相對于相同體積分?jǐn)?shù)的多孔結(jié)構(gòu)，其空心多孔結(jié)構(gòu)的界面慣性矩更大，具有良好的抗屈曲性能[16]。此外，空心多孔結(jié)構(gòu)因內(nèi)部空間較大，在受到?jīng)_擊載荷時能吸收更多的能量[9,17]。由以上研究可知，空心設(shè)計可有效提升多孔結(jié)構(gòu)的力學(xué)性能和吸能特性。

目前，三周期極小曲面多孔結(jié)構(gòu)力學(xué)性能的研究側(cè)重于Gyroid型多孔結(jié)構(gòu)，而對其他類型三周期極小曲面多孔結(jié)構(gòu)的研究較少。I-WP型三周期極小曲面多孔結(jié)構(gòu)具有高剪切模量，但其壓縮強(qiáng)度相對較低[18]，吸能特性研究較少。因此，開展I-WP型三周期極小曲面空心多孔結(jié)構(gòu)設(shè)計和力學(xué)性能研究，提升其壓縮強(qiáng)度和吸能特性，有助于豐富極小曲面多孔結(jié)構(gòu)的力學(xué)內(nèi)涵與工程應(yīng)用。本文設(shè)計了I-WP型空心多孔結(jié)構(gòu)，采用數(shù)值均勻化法[19]、有限元法和物理實驗方法，研究了空心多孔結(jié)構(gòu)的等效屬性、靜態(tài)力學(xué)性能、壓縮和吸能特性。

1 I-WP型空心多孔結(jié)構(gòu)設(shè)計

本文基于I-WP型極小曲面進(jìn)行空心多孔結(jié)構(gòu)設(shè)計。I-WP型極小曲面屬于體心立方結(jié)構(gòu)，呈現(xiàn)出中心收縮，空間上向8個頂點伸出支撐。I-WP型極小曲面具有如下優(yōu)點：①結(jié)構(gòu)可設(shè)計性強(qiáng)，具有較高的比強(qiáng)度[20]；②增材制造工藝性好，具備自支撐能力，便于清除粉末。

極小曲面的數(shù)學(xué)表達(dá)式是一種三維隱式水平集函數(shù)[18]，在I-WP型極小曲面函數(shù)中引入水平參數(shù)t，可控制I-WP型極小曲面體積分?jǐn)?shù)的變化。

(1)

式中：L為極小曲面單胞的邊長，F(xiàn)(x,y,z)為極小曲面數(shù)學(xué)表達(dá)式，x，y，z為高維空間的物理坐標(biāo)。對于I-WP型極小曲面，-25≤t1≤15，對應(yīng)體積分?jǐn)?shù)為0～1。

根據(jù)水平集函數(shù)的定義，可得到極小曲面的實體區(qū)域。

(2)

式中：Ω表示曲面實體區(qū)域，?Ω表示曲面邊界，D表示包含實體區(qū)域和曲面邊界的空間，I-WP型極小曲面多孔結(jié)構(gòu)如圖1所示。

為了設(shè)計I-WP型空心多孔結(jié)構(gòu)，定義兩個I-WP型極小曲面，水平參數(shù)分別取t1和t2，得到如圖2a和圖2b所示的兩個極小曲面多孔結(jié)構(gòu)。將兩個極小曲面多孔結(jié)構(gòu)作為基礎(chǔ)結(jié)構(gòu)，通過差集布爾運算，得到I-WP型空心多孔結(jié)構(gòu)FH的數(shù)學(xué)表達(dá)式。差集布爾運算的數(shù)學(xué)表達(dá)式[21]為式(3)，布爾運算過程如圖2所示。

FH=min(F(x,y,z,t2),-F(x,y,z,t1))。

(3)

在布爾運算中，令t2

由于極小曲面在空間3個方向上都滿足周期性，通過陣列可得到更多周期數(shù)量的極小曲面多孔結(jié)構(gòu)，如圖4所示為體積分?jǐn)?shù)為0.25的4×4×4均布多孔結(jié)構(gòu)。

2 多孔結(jié)構(gòu)彈性性能分析

2.1 有限元分析

為了對比分析I-WP型空心多孔結(jié)構(gòu)與基礎(chǔ)結(jié)構(gòu)在線彈性范圍內(nèi)的壓縮強(qiáng)度，分別對體積分?jǐn)?shù)為0.25、0.4、0.6，幾何尺寸為10 mm×10 mm×10 mm的I-WP型空心單胞和基礎(chǔ)結(jié)構(gòu)單胞進(jìn)行有限元仿真分析。結(jié)構(gòu)材料為PA2200，彈性模量為741 MPa，泊松比為0.3，屈服強(qiáng)度為54 MPa。如圖5所示，單胞下表面約束，上表面施加均布載荷，采用四面體單元進(jìn)行網(wǎng)格劃分。

為保證仿真結(jié)果的準(zhǔn)確性，將多孔結(jié)構(gòu)水平集函數(shù)導(dǎo)出為STL模型，對表面進(jìn)行光滑處理，生成規(guī)整的表面網(wǎng)格。每種體積分?jǐn)?shù)的多孔結(jié)構(gòu)進(jìn)行10組仿真實驗，載荷施加方式如下：當(dāng)體積分?jǐn)?shù)為0.25時，載荷初始值為10 N，每次以10 N遞增；當(dāng)體積分?jǐn)?shù)為0.4時，載荷初始值為50 N，每次以50 N遞增；當(dāng)體積分?jǐn)?shù)為0.6時，載荷初始值為200 N，每次以200 N遞增。

體積分?jǐn)?shù)為0.25、0.4和0.6時初始載荷作用下的應(yīng)變云圖如圖6所示，由圖6可知，I-WP型空心多孔結(jié)構(gòu)的變形更小。圖7所示為空心多孔結(jié)構(gòu)和基礎(chǔ)結(jié)構(gòu)在體積分?jǐn)?shù)為0.25、0.4和0.6時的應(yīng)變—載荷圖，由圖7可知，在線彈性范圍內(nèi)，結(jié)構(gòu)應(yīng)變與載荷呈線性關(guān)系。在相同靜態(tài)載荷下，I-WP型空心多孔結(jié)構(gòu)的應(yīng)變值明顯小于相同體積分?jǐn)?shù)的基礎(chǔ)結(jié)構(gòu)，且I-WP型空心多孔結(jié)構(gòu)的應(yīng)變—載荷曲線的斜率更小，說明I-WP型空心多孔結(jié)構(gòu)具有更好的抗壓縮能力。

2.2 宏觀等效彈性屬性分析

數(shù)值均勻化法主要用于微觀多孔結(jié)構(gòu)的宏觀等效性能評估，揭示空心多孔結(jié)構(gòu)的宏觀等效力學(xué)特性。為進(jìn)一步說明I-WP型空心多孔結(jié)構(gòu)的性能優(yōu)勢，采用數(shù)值均勻化法，計算I-WP型空心多孔結(jié)構(gòu)和基礎(chǔ)結(jié)構(gòu)的等效彈性矩陣。

多孔結(jié)構(gòu)等效彈性張量CH的表達(dá)式為：

(4)

式中：|V|表示單胞的體積，Ve表示單元e的體積，I表示六階單位矩陣，Be表示單元應(yīng)變—位移矩陣，χe表示包含單元位移向量，De表示單元本構(gòu)矩陣。

為求解多孔結(jié)構(gòu)的位移場χ，構(gòu)建均勻化平衡方程的矩陣形式[21]：

Kχ=f。

(5)

其中：全局剛度矩陣

(6)

應(yīng)變載荷

(7)

其中應(yīng)變ε中包含6個應(yīng)變分量：ε11=(1,0,0,0,0,0)T，ε22=(0,1,0,0,0,0)T，ε23=(0,0,1,0,0,0)T，ε12=(0,0,0,1,0,0)T，ε23=(0,0,0,0,1,0)T，ε13=(0,0,0,0,0,1)T。

基于I-WP型極小曲面的高度對稱性，其等效彈性矩陣可以簡化為：

(8)

根據(jù)式(9)，可以使用等效彈性矩陣中的分量C11和C12來計算等效體積模量

KH=(C11+2C12)/3。

(9)

(10)

兩種I-WP型曲面結(jié)構(gòu)的歸一化等效體積模量對比數(shù)據(jù)如圖8所示。圖中數(shù)據(jù)結(jié)果表明，I-WP型空心多孔結(jié)構(gòu)在任意體積分?jǐn)?shù)下的歸一化等效體積模量均高于其基礎(chǔ)結(jié)構(gòu)。

如圖9所示為空心多孔結(jié)構(gòu)和基礎(chǔ)結(jié)構(gòu)在不同體積分?jǐn)?shù)下的彈性模量曲面，由曲面形狀和數(shù)值可知，I-WP型空心多孔結(jié)構(gòu)具有高度對稱性，在6個正方向的模量明顯高于基礎(chǔ)結(jié)構(gòu)。

3 多孔結(jié)構(gòu)壓縮與吸能特性分析

3.1 多孔結(jié)構(gòu)壓縮實驗

為分析I-WP空心多孔結(jié)構(gòu)的壓縮和吸能特性，進(jìn)一步驗證有限元分析的準(zhǔn)確性，選擇兩種多孔結(jié)構(gòu)進(jìn)行物理實驗。將體積分?jǐn)?shù)為0.25的空心多孔結(jié)構(gòu)和基礎(chǔ)結(jié)構(gòu)進(jìn)行增材制造成型，選EOS-P760型3D打印機(jī)，采用選擇性激光燒結(jié)(Selective Laser Sintering, SLS)[22]技術(shù)，PA2200材料，打印了尺寸為40 mm×40 mm×40 mm多孔結(jié)構(gòu)樣件。增材制造樣件如圖10所示，左側(cè)為I-WP型基礎(chǔ)結(jié)構(gòu)，右側(cè)為I-WP型空心多孔結(jié)構(gòu)。

選用型號為WDW-100E的微機(jī)控制電子式萬能試驗機(jī)，對增材制造樣件進(jìn)行壓縮實驗。在壓縮實驗過程中，多孔結(jié)構(gòu)置于實驗臺，上表面施加5 mm/min的沖擊載荷，加載時間為370 s，通過視頻記錄完整的實驗壓縮過程。

3.2 多孔結(jié)構(gòu)壓縮性能分析

為分析多孔結(jié)構(gòu)在特定相對密度下的壓縮性能，采用Gibson-Ashby模型[23]描述了多孔結(jié)構(gòu)彈性模量、屈服強(qiáng)度、致密化應(yīng)變與相對密度之間的關(guān)系：

(11)

(12)

(13)

式中：ES、ρS和σS分別表示多孔結(jié)構(gòu)的彈性模量、密度和屈服強(qiáng)度；EB、ρB和σB分別表示基體材料的彈性模量、密度和屈服強(qiáng)度；εD表示多孔結(jié)構(gòu)在致密化階段的初始應(yīng)變值以及多孔結(jié)構(gòu)實際吸收能量的應(yīng)變極限值。在達(dá)到致密化應(yīng)變之后，結(jié)構(gòu)將以應(yīng)力轉(zhuǎn)移為代價繼續(xù)吸收能量。通過擬合壓縮測試結(jié)果計算恒定參數(shù)C1、C2、n、m和β。

多孔結(jié)構(gòu)單位體積吸收的能量表達(dá)式為：

(14)

壓縮實驗過程如圖11所示，按應(yīng)變分為5個階段：0%、15%、30%、45%和60%。分析壓縮過程可知，在發(fā)生致密化之前，多孔結(jié)構(gòu)每一層同時發(fā)生變形，呈現(xiàn)均勻變化。圖12所示為通過實驗數(shù)據(jù)繪制的兩種結(jié)構(gòu)的應(yīng)力—應(yīng)變曲線，通過分析可得到兩種結(jié)構(gòu)的彈性模量、屈服強(qiáng)度、致密化應(yīng)變和單位體積吸收的能量，具體數(shù)值如表1所示。

表1 力學(xué)性能和吸能特性參數(shù)

表1數(shù)據(jù)表明，I-WP型空心多孔結(jié)構(gòu)的彈性模量和屈服強(qiáng)度明顯高于基礎(chǔ)結(jié)構(gòu)，在數(shù)值上分別為2.03、1.93倍。I-WP型空心多孔結(jié)構(gòu)開始發(fā)生致密化的百分制應(yīng)變?yōu)?4.3%，相比其基礎(chǔ)結(jié)構(gòu)高6%，說明空心多孔結(jié)構(gòu)具有更長的平臺應(yīng)力期。取n=2、m=3/2[24]，基于實驗數(shù)據(jù)，可以得到系數(shù)C1、C2和β的值，具體數(shù)值如表2所示。根據(jù)Gibson-Ashby理論，C1、C2和β的取值范圍分別為0.1～4、0.25～0.35和1.4～2.0。由表2中的結(jié)果可知，I-WP型空心多孔結(jié)構(gòu)C2的取值超出了Gibson-Ashby理論給出的范圍，表明其平臺強(qiáng)度高于Gibson-Ashby理論預(yù)測的平臺強(qiáng)度，因此，相對于其基礎(chǔ)結(jié)構(gòu)，空心多孔結(jié)構(gòu)具有更高的平臺強(qiáng)度。

表2 Gibson-Ashby系數(shù)

3.3 多孔結(jié)構(gòu)吸能特性分析

多孔結(jié)構(gòu)吸能特性取決于單位體積所吸收的總能量。當(dāng)結(jié)構(gòu)被壓實后，可通過式(14)計算出結(jié)構(gòu)從初始點到開始致密化過程中，單位體積所吸收的總能量，其數(shù)值大小即為壓縮過程中應(yīng)力對應(yīng)變的積分，單位體積的能量—應(yīng)變曲線如圖13所示。由圖13可知，在結(jié)構(gòu)發(fā)生致密化之前，I-WP型空心多孔結(jié)構(gòu)單位體積吸收的能量—應(yīng)變曲線的斜率更大，具備更優(yōu)的吸能特性。

將結(jié)構(gòu)單位體積吸收的能量WN和應(yīng)力σ對結(jié)構(gòu)彈性模量EB歸一化處理，分別得到歸一化能量和歸一化應(yīng)力，兩者間的數(shù)值變化關(guān)系如圖14所示。將圖14中的曲線劃分為Ⅰ、Ⅱ和Ⅲ三個階段，分別對應(yīng)結(jié)構(gòu)在壓縮過程中的線彈性階段、平臺應(yīng)力階段和開始致密化至完全壓實的階段。在階段Ⅰ中，曲線呈現(xiàn)線性變化，能量吸收速度較快，結(jié)構(gòu)處于線彈性范圍內(nèi);在階段Ⅱ中，屈服強(qiáng)度出現(xiàn)波動，結(jié)構(gòu)發(fā)生破壞，但吸收的能量還在持續(xù)增加，結(jié)構(gòu)處于平臺應(yīng)力階段;在階段Ⅲ中，結(jié)構(gòu)從開始致密化到被壓實，依舊在持續(xù)吸收能量，吸收過程出現(xiàn)明顯轉(zhuǎn)折，結(jié)構(gòu)應(yīng)力急劇上升。

4 結(jié)束語

本文基于I-WP型三周期極小曲面，采用布爾運算設(shè)計了I-WP型空心多孔結(jié)構(gòu)。數(shù)值均勻化法和有限元法分析結(jié)果表明，I-WP型空心多孔結(jié)構(gòu)較其基礎(chǔ)結(jié)構(gòu)具有更高的等效體積模量和更強(qiáng)的靜態(tài)承載能力。壓縮試驗揭示了I-WP型空心多孔結(jié)構(gòu)還具有優(yōu)良的壓縮和吸能特性。通過本文研究，提升了I-WP型極小曲面多孔結(jié)構(gòu)的壓縮強(qiáng)度和吸能特性，豐富了極小曲面多孔結(jié)構(gòu)力學(xué)內(nèi)涵與防撞領(lǐng)域的工程應(yīng)用。

考慮到空心極小曲面多孔結(jié)構(gòu)優(yōu)異的力學(xué)性能，未來的研究工作將重點探索極小曲面空心多孔結(jié)構(gòu)的失效機(jī)理、幾何特征與力學(xué)性能間的耦合規(guī)律，為防撞領(lǐng)域中多孔結(jié)構(gòu)定制化設(shè)計提供借鑒。