關(guān)于薄壁曲梁與直梁解析解的進(jìn)一步討論1)

趙迎港 楊宇威 趙穎濤 高 陽 王敏中

*(北京理工大學(xué)宇航學(xué)院，北京 100081)

?(中國農(nóng)業(yè)大學(xué)理學(xué)院，北京 100083)

**(北京大學(xué)工學(xué)院，北京 100871)

平面問題是反映彈性力學(xué)求解思想的一類典型問題，其求解通常可以轉(zhuǎn)化為Airy應(yīng)力函數(shù)的求解問題。解決此類問題通常采用半逆解法，即首先假設(shè)Airy應(yīng)力函數(shù)的形式，再根據(jù)邊界條件求解Airy應(yīng)力函數(shù)的精確表達(dá)，從而得到區(qū)域內(nèi)的應(yīng)力場和應(yīng)變場。

對于研究薄壁曲梁與直梁（即矩形橫截面的寬度b遠(yuǎn)小于高度h，如圖1(a)所示）的平面應(yīng)力問題，兩類問題Ariy應(yīng)力函數(shù)的假設(shè)形式以及邊界條件的提法都有很多的相似之處，其解也具有相似性。從圖1可以看出，直梁的應(yīng)力分量σx（圖1(b)）和曲梁的應(yīng)力分量σθ（圖1(c)）的分布幾乎完全相同。

圖1 純彎曲情形下的直梁和曲梁的應(yīng)力

對于有限尺寸（高度h有限）的薄壁曲梁，當(dāng)其曲率半徑和橫截面尺寸之比趨于無窮時(shí)，則其幾何特征將會(huì)無限逼近于直梁，理論上其應(yīng)力結(jié)果也會(huì)無限逼近于直梁受力的結(jié)果。本文從薄壁曲梁彎曲問題的解析解出發(fā)，通過對曲梁曲率半徑和其橫截面高度之比取極限，最后推導(dǎo)出直梁彎曲的結(jié)果，不僅可以說明兩個(gè)問題在應(yīng)力函數(shù)假設(shè)以及邊界條件處理上的相似性，也可以幫助讀者理解直和曲的辯證統(tǒng)一關(guān)系。

1 薄壁曲梁和直梁問題的提法

本文研究了薄壁曲梁與直梁受到彎矩M、剪切力Q、拉力P的作用時(shí)，其應(yīng)力分布之間的關(guān)系，其中直梁與曲梁的幾何構(gòu)型及受力狀況如圖2所示。

圖2 曲梁與直梁受力示意圖

那么，曲梁（極坐標(biāo)系下）和直梁（直角坐標(biāo)系下）問題的完整提法可分別寫為

其中U為Airy應(yīng)力函數(shù)。顯然二者的提法完全相似，其結(jié)果也應(yīng)該具有一定的相關(guān)性。

為了方便研究二者的關(guān)系，假設(shè)曲梁中線的長度L與曲梁的橫截面尺寸（高度）h不發(fā)生變化。當(dāng)曲梁中線的曲率半徑和梁的高度之比趨于無窮，即R/h→∞時(shí)，曲梁的幾何特征將會(huì)無限趨近于直梁（如圖3所示），曲梁的受力問題也應(yīng)無限趨近于直梁。下面對這兩種桿件在特定載荷作用下的解析解分別進(jìn)行討論。為了方便推導(dǎo)，本文有時(shí)也會(huì)用曲梁的內(nèi)徑或外徑與梁的高度之比趨于無窮來描述該極限過程，即用a/h→∞或b/h→∞代替R/h→∞。

圖3 極限過程示意圖

2 曲桿和直桿在特定載荷下的解析解對比

2.1 純彎曲情形（ P =Q=0,M/=0 ）

如圖2(a)所示，僅有力偶矩M時(shí)，可以得到薄壁曲梁的應(yīng)力場和位移場分別為[1-2]

對曲梁的曲率半徑（外徑、內(nèi)徑）取極限，各參量的關(guān)系為

首先對分母N進(jìn)行計(jì)算有

然后對正應(yīng)力σr取極限，為了方便計(jì)算，記

則式（1a）括號(hào)內(nèi)的項(xiàng)可化簡為

當(dāng)a→ ∞時(shí)，正應(yīng)力σr可化為

同樣，可以計(jì)算正應(yīng)力σθ在a→ ∞時(shí)的極限。首先對式（1b）括號(hào)內(nèi)的項(xiàng)化簡可得

那么

綜合式（1c）、式（3）和式（4）可知，當(dāng)a→∞，純彎曲作用下薄壁曲梁的應(yīng)力場σr,σθ,τrθ分別退化為

此即為薄壁直梁純彎曲時(shí)應(yīng)力場的解

下面討論位移場和中性軸的特征。

由式（2b）可以看出，曲梁任一截面的位移相當(dāng)于繞曲率中心轉(zhuǎn)動(dòng)了一個(gè)角度。也就是說曲梁在純彎曲狀態(tài)下和直梁一致，也滿足平截面假設(shè)[2]。

記曲梁的中性軸方程為r=r0，由方程（1b）可知中性軸滿足方程

此方程為超越方程，無解析解，我們可以通過數(shù)值方法對其求解。定義R/h為曲梁的相對曲率半徑，其中R=(a+b)/2 為曲梁的中軸線半徑，根據(jù)式（7）的解可以畫出中性軸的相對位置 (r0-a)/h隨R/h的變化關(guān)系，如圖4所示。從圖中可看出，當(dāng)相對曲率半徑增大時(shí)，中性軸的位置也由靠近內(nèi)徑的一側(cè)向曲梁中線靠近，當(dāng)R/h→∞時(shí)，曲梁也退化為直梁，中性軸的位置趨近于直梁的軸線，也就是 (r0-a)/h→0.5 。

圖4 曲梁中性軸位置的變化趨勢

由薄壁曲梁和直梁的應(yīng)力場、位移場和中性軸的對比分析可知，在純彎曲情形下，薄壁直梁可視為薄壁曲梁在曲率半徑趨于無限大時(shí)的特殊情形。

2.2 剪力情形（ P =0,Q/=0,M=0 ）

當(dāng)僅有切向力Q時(shí)，可以得到薄壁曲梁的應(yīng)力場為[1-2]

同上，對曲梁的曲率半徑（外徑、內(nèi)徑）取極限，各參量的關(guān)系如下所示

相似的計(jì)算可得

而式（8a）的部分項(xiàng)可化簡為

當(dāng)a→ ∞時(shí)，正應(yīng)力σr可化為

同樣，考察正應(yīng)力σθ在a→ ∞時(shí)的極限。對式（8b）中的部分項(xiàng)化簡可得 ? ?

那么

最后考察剪應(yīng)力τrθ。式（8c）中的部分項(xiàng)可化簡為

取極限可得

綜合式（9）～式（11）可知，當(dāng)a→∞，僅有剪力Q彎曲作用下薄壁曲梁的應(yīng)力場σr,σθ,τrθ分別退化為

此即為薄壁直梁在剪力Q作用下的解

也就是說，僅有剪力Q作用下，薄壁直梁亦可視為薄壁曲梁在曲率半徑趨于無窮大時(shí)的特殊情形。

2.3 僅有法向力P的情形（ P /=0,Q=0,M=0 ）

當(dāng)僅有法向力P時(shí)，可以得到薄壁曲梁的應(yīng)力場為[1-2]

對曲梁的曲率半徑（外徑、內(nèi)徑）取極限，各參量的關(guān)系如下所示

參照2.2節(jié)剪應(yīng)力的結(jié)果，可以得出

考慮r方向應(yīng)力的第一部分有

第二部分

綜合式（14a）、式（17）和式（18），可以得到

而后，考慮θ方向上應(yīng)力的第一部分

第二部分

結(jié)合式（20）和式（21），可得

也即，在僅有拉伸作用P的情況下，薄壁曲梁的解退化為

這與直桿單向拉伸的結(jié)果一致。

3 結(jié)論

本文對薄壁曲梁與直梁端部受力問題進(jìn)行了對比分析，結(jié)果表明，曲梁彎曲的解析解在曲率半徑與橫截面尺寸之比趨于無窮時(shí)，可以退化為直梁受力彎曲的解析解，這也說明薄壁直梁的受力問題可視為薄壁曲梁在曲率半徑趨于無限大時(shí)的退化情形。這不僅可以幫助讀者更好地理解彈性力學(xué)平面問題中極坐標(biāo)解法和直角坐標(biāo)解法的內(nèi)在聯(lián)系，也從側(cè)面說明了曲和直之間的辯證關(guān)系。同時(shí)，本文的討論也可以給我們更多啟示，即對于區(qū)域邊界為圓或者圓弧的力學(xué)問題，其結(jié)果在曲率半徑趨于無窮的時(shí)候，應(yīng)當(dāng)可以退化為平直邊界的情形。