單種群兩階段競爭模型的能控性、能觀測性及狀態(tài)反饋分析

侯云艷，華志強，黃玉潔，程 研，陳麗瑩

(內(nèi)蒙古民族大學 數(shù)理學院，內(nèi)蒙古 通遼028000)

棉鈴蟲是一種嚴重危害棉花生長的害蟲，它導致棉花大量減產(chǎn).近年來，棉鈴蟲在棉花作物上發(fā)生危害的趨勢明顯加重[1].棉鈴蟲廣泛地分布于我國各地，是一種鉆蛀性害蟲，主要發(fā)生在棉花的蕾鈴期.據(jù)相關(guān)數(shù)據(jù)統(tǒng)計，我國每年棉田因棉鈴蟲原因損害15%～20%，對我國農(nóng)業(yè)發(fā)展有很大影響.棉花是民生中不可或缺的產(chǎn)品，是基本的民生需求.為了保證我國棉花的穩(wěn)定生產(chǎn)，對生物種群以及生態(tài)環(huán)境進行定量分析并增加適當?shù)纳锟刂疲ＷC生態(tài)系統(tǒng)的平衡和生物種群的生存具有重要的理論意義和實際意義.卓義峰與慕嘉[2]通過對具有捕獲率的一類捕食-食餌模型進行分析，討論了系統(tǒng)的穩(wěn)定性.高旭[3]討論具有種間競爭的捕食-食餌模型，通過對模型進行定性分析得到了最適合的捕食者和食餌數(shù)量，從而使生態(tài)系統(tǒng)達到動態(tài)平衡.此外，國內(nèi)外還有許多學者對不同模型進行定性分析[4-8]，得到使生物種群存在的必要條件，從而最終實現(xiàn)生態(tài)系統(tǒng)的動態(tài)平衡.

20世紀40年代，Volterra利用現(xiàn)代生態(tài)學理論通過微分方程建立了兩種群競爭共生模型：

(1)

其中x和y為兩種群在t時刻的種群密度.由于不同種群之間存在著相互作用、相互影響，種群x在成長的過程中不但會受到自身的作用，也會受到種群y對其的影響.設β11為種群x自身的密度制約，β22為種群y自身的密度制約；β12為種群y對種群x的影響，β21為種群x對種群y的影響.

近年來，生態(tài)問題日益突出，因此不斷有學者將Volterra模型進行推廣，對模型進行理論研究并賦予實際意義，通過對模型的定性分析，更清晰地描述了系統(tǒng)的動態(tài)行為.自20世紀70年代起，種群動力學理論研究迅速發(fā)展，闡述了一些生物現(xiàn)象，并給出了許多有效的生態(tài)數(shù)學理論.常見的種群動力學模型有：Lotka-Volterra模型、時滯模型、功能反應模型、反應擴散模型以及年齡結(jié)構(gòu)模型[9-12].生物種群間的關(guān)系是生物數(shù)學理論重要的一部分，種群之間的主要關(guān)系是捕食與被捕食、競爭和共生.本文通過不同時期兩階段的競爭和共生關(guān)系建立生物數(shù)學模型，研究單種群不同時期兩階段的平衡關(guān)系、能控性和能觀測性以及系統(tǒng)狀態(tài)反饋的能控性.

1 建構(gòu)生物模型及模型假設

在Volterra模型原理的基礎上，考慮種群x劃分為不同時期的2個階段，種群x不同時期2個階段存在競爭和共生的關(guān)系.現(xiàn)根據(jù)生物數(shù)學理論建立模型，并做如下假設：

1) 種群z在相對分布均勻的空間生存，空間上不涉及遷入和遷出的情況.

2) 種群z在生活空間上一直有較為穩(wěn)定的資源供給，且種群z1、z2內(nèi)部個體有均勻的機會獲得資源供給.

3) 種群z在空間上的結(jié)構(gòu)相對穩(wěn)定，種群兩階段不同時期的增長速率相對一致.

4) 種群z自身的密度制約對個體的影響程度是均等的.

假設r1、r2為種群z的z1、z2階段的死亡率，d1表示z1向z2轉(zhuǎn)化的轉(zhuǎn)化率，a11、a22為種群z的z1、z2階段相互之間的影響，a12、a21為種群z的z1、z2階段各自的密度制約.為了方便起見，令-b1為種群z的z1階段的死亡率與z1向z2轉(zhuǎn)化的轉(zhuǎn)化率之和，-b2為種群z的z2階段的死亡率，即-b1=r1+d1,-b2=r2.故基于Volterra模型建立一種群兩階段競爭共生模型如下：

(2)

由Volterra模型可知:①a11<0,a22<0，因為種群z的z1,z2階段是競爭關(guān)系.②a12<0,a21<0，因為種群z的z1,z2階段是密度制約.③ 0≤r1≤1,0≤r2≤1,0≤d1≤1.

2 模型分析

2.1 模型平衡點分析

定理1 如果a11b2-a21b1,a22b1-a12b2,a11a22-a12a21同號時，則系統(tǒng)存在唯一的正平衡點.

證明令

將微分方程組轉(zhuǎn)化成：

解得

綜上，系統(tǒng)存在4個平衡點：

2.2 平衡點穩(wěn)定性分析

由穩(wěn)定的Routh-Hurwitz條件p>0,q>0，其中p=-gs1-fs2,q=detJ.

綜上可知，系統(tǒng)中種群z兩階段z1(t)、z2(t)相互作用，可以達到種群z不同時期兩階段共存的穩(wěn)定的平衡狀態(tài).

2.3 系統(tǒng)的能控性、能觀測性

故系統(tǒng)可以寫成：

(3)

現(xiàn)對系統(tǒng)增加控制，并給定輸出：

(4)

(5)

2.4 系統(tǒng)的能控性判定

接下來給出系統(tǒng)的能控性判定定理3和系統(tǒng)能觀測性判定定理4.

定理3 如果系統(tǒng)(5)中a′+c′≠0或b′+d′≠0時，rank[BAB]=2，則系統(tǒng)是完全能控的.

證明

顯然系統(tǒng)(5)的能觀測矩陣rank(Uc)=2，由引理1知系統(tǒng)(5)是完全能控的.

定理4 如果系統(tǒng)(5)中a′+c′≠0或b′+d′≠0時，rank(U0)=2，則系統(tǒng)是完全能觀測的.

證明

當系統(tǒng)(5)中a′+c′≠0或b′+d′≠0時，rank(U0)=2，由引理2知系統(tǒng)是完全能觀測的.

2.5 系統(tǒng)經(jīng)過狀態(tài)反饋后的能控性分析

狀態(tài)反饋是現(xiàn)代控制理論中特殊的一種控制方式，狀態(tài)變量能夠反映系統(tǒng)內(nèi)部特征，從而對系統(tǒng)變量進行狀態(tài)反饋，能更有效地改善系統(tǒng)的內(nèi)部性能.狀態(tài)反饋即將系統(tǒng)(5)的狀態(tài)發(fā)出的信號作為系統(tǒng)的反饋量.現(xiàn)在系統(tǒng)(5)中引入反饋控制律：

其中v為2維控制輸入向量，K為2×2狀態(tài)反饋增益矩陣，L為2×2非奇異實常數(shù)矩陣.經(jīng)過狀態(tài)反饋的系統(tǒng)狀態(tài)空間表達式為

(6)

定理5 對于任何實常數(shù)矩陣K，當系統(tǒng)(5)中c′+d′≠0時，系統(tǒng)(6)也是完全能控的.

證明系統(tǒng)(5)的能控性矩陣為Uc=[EAEA2E].系統(tǒng)(6)的能控性矩陣為

綜上可得，當系統(tǒng)(5)中c′+d′≠0時，系統(tǒng)(6)也是完全能控的.

3 數(shù)值模擬

為了研究在自然生物背景下，模型(2)與模型(5)的生物意義.通過收集實驗數(shù)據(jù)，利用Matlab對模型(2)與模型(5)進行數(shù)值模擬.在系統(tǒng)的生物意義下，通過對單種群競爭模型(2)施加控制，將單種群競爭模型(2)轉(zhuǎn)變?yōu)榫€性時不變系統(tǒng)(5)，從而最終實現(xiàn)生態(tài)系統(tǒng)的動態(tài)平衡.現(xiàn)對模型(2)、模型(5)取4組參數(shù)：

其中圖1～4中的圖(a)為模型(2)取4組參數(shù)時，模型(2)的z1、z2兩階段的種群數(shù)量隨時間的變化關(guān)系.圖1～4中的圖(b)為通過對單種群競爭模型(2)施加控制，將單種群競爭模型(2)轉(zhuǎn)變?yōu)榫€性時不變系統(tǒng)(5)，模型(5)的階躍函數(shù)隨時間變化的時間響應圖.

通過對模型(2)和模型(5)取多組相同的參數(shù)，可以發(fā)現(xiàn)當棉鈴蟲z1階段的死亡率加轉(zhuǎn)化率大于棉鈴蟲z2階段的死亡率時，模型(2)兩條曲線無交點且逐漸趨于0，模型(5)經(jīng)過對系統(tǒng)施加控制后逐漸趨于穩(wěn)定但趨于穩(wěn)定較慢；當棉鈴蟲z1階段的死亡率加轉(zhuǎn)化率小于棉鈴蟲z2階段的死亡率時，模型(2)兩條曲線有交點且逐漸趨于零，模型(5)經(jīng)過對系統(tǒng)施加控制后逐漸趨于穩(wěn)定且趨于穩(wěn)定較快.圖1～4均有較明顯的生物意義，雖然趨于穩(wěn)定的速度與程度不同，但最終都實現(xiàn)了系統(tǒng)的可控性.

(a) 種群數(shù)量圖 (b) 時間響應圖 (a) 種群數(shù)量圖 (b) 時間響應圖圖1 模型(2)與模型(5)取第1組參數(shù)結(jié)果 圖2 模型(2)與模型(5)取第2組參數(shù)結(jié)果

(a) 種群數(shù)量圖 (b) 時間響應圖 (a) 種群數(shù)量圖 (b) 時間響應圖圖3 模型(2)與模型(5)取第3組參數(shù)結(jié)果 圖4 模型(2)與模型(5)取第4組參數(shù)結(jié)果

4 結(jié)語

生態(tài)問題已經(jīng)逐漸成為當前的焦點問題，本文根據(jù)Volterra模型以及生物學背景建立單種群競爭模型，通過對單種群不同時期兩階段進行分析，得出系統(tǒng)的穩(wěn)定點及能控、能觀測的條件.通過對系統(tǒng)施加控制，將種群模型轉(zhuǎn)化為線性時不變系統(tǒng)，實現(xiàn)種群的能控性，從而可知，對種群施加控制來實現(xiàn)生態(tài)系統(tǒng)平衡有重要的作用.