級數(shù)收斂性的可視化

雍龍泉

(陜西理工大學 數(shù)學與計算機科學學院， 陜西 漢中 723000)

級數(shù)在近似計算、電工學、信號處理、經(jīng)濟學等領(lǐng)域具有重要的應用，級數(shù)也可以看成是泰勒展開式的逆向應用[1]。判別級數(shù)是否收斂的方法較多：針對正項級數(shù)，有比較判別法、柯西判別法等；針對交錯級數(shù)，主要采用萊布尼茨判別法[2-3]。從理論上證明級數(shù)收斂性的文獻較多[4-6]，本文不從理論研究級數(shù)的收斂性，而是借助數(shù)學軟件繪制級數(shù)前n項和的曲線，從直觀上觀察級數(shù)的收斂性。

1 正項級數(shù)

表1 例1對應的MATLAB數(shù)值計算、符號求和命令的代碼

圖1 例1級數(shù)的收斂過程

表2 例2對應的MATLAB數(shù)值計算、符號求和命令的代碼

圖2 例2級數(shù)的收斂過程

表3 例3對應的MATLAB數(shù)值計算、符號求和命令的代碼

表4 例3級數(shù)的部分和、真實值e及絕對誤差

圖3 例3級數(shù)的收斂過程 圖4 絕對誤差圖

圖5 例4級數(shù)的前200項和 圖6 例4級數(shù)的前2000項和

圖7 例4級數(shù)的前10 000項和 圖8 例4級數(shù)的前100 000項和

2 交錯級數(shù)

表5 例5對應的MATLAB數(shù)值計算、符號求和命令的代碼

表6 例6對應的MATLAB數(shù)值計算、符號求和命令的代碼

圖10 例6級數(shù)的收斂過程

表7 例7對應的MATLAB數(shù)值計算、符號求和命令的代碼

圖11 例7級數(shù)的收斂過程

3 結(jié)語

上面幾個例子從可視化角度展示了級數(shù)收斂或發(fā)散的過程。需要強調(diào)的是，MATLAB符號求和運算函數(shù)symsum盡管調(diào)用方便[7]，但是運算非常耗時(同等條件下耗時是數(shù)值計算的50～100倍)，若采用MATLAB數(shù)值計算，則耗時不到1 s。因此應盡可能少用MATLAB系統(tǒng)自帶的符號運算函數(shù)，以便提高計算效率。