張浩然

（濟(jì)寧市黃淮水利勘測(cè)設(shè)計(jì)院，山東 濟(jì)寧 272000）

0 引言

水利工程是關(guān)系國(guó)計(jì)民生的重大項(xiàng)目，在經(jīng)濟(jì)快速發(fā)展的今天，我國(guó)水利工程已由零起步，并逐步適應(yīng)經(jīng)濟(jì)社會(huì)體制的改革與發(fā)展，水利行業(yè)的管理監(jiān)督體制也日益健全和完善[1-4]。但目前一些水利工程測(cè)量還采用傳統(tǒng)的水平測(cè)量法，耗費(fèi)大量物力、財(cái)力、人力。GPS 是一種應(yīng)用在測(cè)繪、導(dǎo)航、天文、通信等諸多領(lǐng)域的測(cè)控技術(shù)，具有自動(dòng)、快速、準(zhǔn)確等特點(diǎn)。GPS 高程測(cè)量技術(shù)廣泛應(yīng)用于工程建設(shè)的全過(guò)程，可提高工程的工作效率，所以研究 GPS 高程測(cè)量技術(shù)在水利水電工程中的應(yīng)用勢(shì)在必行[5-8]。

因水利工程項(xiàng)目的設(shè)計(jì)、施工、竣工驗(yàn)收，以及安全運(yùn)營(yíng)檢測(cè)與環(huán)境監(jiān)測(cè)階段都需要準(zhǔn)確及時(shí)的高精度測(cè)量結(jié)果，所以國(guó)內(nèi)專家對(duì)此進(jìn)行了大量研究，將 GPS 高程分析應(yīng)用于水利工程中，解決傳統(tǒng)儀器測(cè)量誤差較高的問(wèn)題。但 GPS 高程測(cè)量為大地高，與我國(guó)現(xiàn)行的標(biāo)準(zhǔn)高程體系有很大不同，需將大地高轉(zhuǎn)換為正常高，但轉(zhuǎn)換過(guò)程中會(huì)出現(xiàn)高程異常，因此需采用擬合方程對(duì)已知的高程進(jìn)行異常處理。由于高程擬合過(guò)程中會(huì)出現(xiàn)誤差現(xiàn)象，目前有多種擬合公式，但適用于水利工程的擬合方法卻不太多。彭光林[9]通過(guò)對(duì)水利測(cè)繪發(fā)展現(xiàn)狀的研究發(fā)現(xiàn)，GPS 高程擬合過(guò)程中，控制網(wǎng)測(cè)量、平面擬合、曲面擬合和精度評(píng)測(cè)是產(chǎn)生誤差并影響精度的主要原因。陰學(xué)軍[10]研究了 GPS 高程測(cè)量在水利水電工程中的應(yīng)用，發(fā)現(xiàn)只需要采用合理的數(shù)據(jù)處理模型，便可滿足常規(guī)生產(chǎn)的需要。賀圓圓等[11]研究了擬合方程在工程測(cè)量中的應(yīng)用，并提出高程擬合中需要注意的有關(guān)問(wèn)題。綜上所述，本研究對(duì) GPS 高程測(cè)量技術(shù)在水利工程測(cè)量領(lǐng)域中的應(yīng)用進(jìn)行高程精度擬合研究，尋找適用水利測(cè)量方面的擬合方法，以更好地服務(wù)于水利工程建設(shè)。

1 常見(jiàn)高程系統(tǒng)

1.1 常見(jiàn)高程系統(tǒng)類型

1.1.1 大地高系統(tǒng)

大地高是一個(gè)幾何數(shù)字，沒(méi)有任何物理上的意義。大地高是地球點(diǎn)沿參考橢球面法線至參考橢球面的距離，用H表示。

1.1.2 正高系統(tǒng)

正高系統(tǒng)指從地球某一點(diǎn)上的鉛垂線到地球水準(zhǔn)面的直線距離，用Hg表示。正高的物理意義明確，但由于關(guān)系到地殼的質(zhì)量和密度，因此暫時(shí)還不能準(zhǔn)確求出。

1.1.3 正常高系統(tǒng)

正常高高程系統(tǒng)是以地面水平面作為參考平面的高程體系，用h表示。我國(guó)建立了以正常高為統(tǒng)一計(jì)算標(biāo)準(zhǔn)的高程體系，1956年黃海高程體系及 1985年國(guó)家高程標(biāo)準(zhǔn)是我國(guó)水利工程建設(shè)中常用的常規(guī)高程系統(tǒng)。

1.2 高程系統(tǒng)轉(zhuǎn)換關(guān)系

由于橢球面與地球水準(zhǔn)面不一致， 地球某點(diǎn)P沿鉛垂線投射到似大地水準(zhǔn)面的點(diǎn)為P0，P0在法線上投射在橢球面上的點(diǎn)為Q0，PP0的距離是Hg，P0Q0的距離是N（地球水準(zhǔn)面間距），則H=Hg+N。地球上的球形面和地面水平面的高度差為高程異常，用ζ表示，則H=h+ζ。實(shí)際應(yīng)用中，由于地球似大地水準(zhǔn)面的精細(xì)程度分布不均，且具有一定的幾何相關(guān)性，所以高程擬合仍是一種較為普遍的方法，GPS 高程擬合是一種求解 GPS 高程問(wèn)題的數(shù)學(xué)方法。大地高與正常高之間的幾何關(guān)系如圖1所示。

圖1 大地高與正常高之間的幾何關(guān)系

2 高程擬合方法

高程擬合方法主要有多項(xiàng)式和多面函數(shù)2類擬合方法，其中多項(xiàng)式擬合分為二次和三次多項(xiàng)式擬合。

2.1 二次多項(xiàng)式擬合法

根據(jù) GPS 測(cè)得的大地高和水平測(cè)量結(jié)果的正常高計(jì)算高程異常ζ，公共點(diǎn)坐標(biāo)可用二次多項(xiàng)式公式表示：

式中：x，y分別為 GPS 各公共點(diǎn)的平面坐標(biāo)；a0，a1，…，a5為擬合待定參數(shù)，若測(cè)區(qū)內(nèi)有n（n＞ 6）個(gè)控制點(diǎn)，且已知他們的高程異常為ξi（i= 1，2，…，n），則擬合系數(shù)a0，a1，a2，a3，a4，a5可由區(qū)域已知點(diǎn)上的高程異常通過(guò)最小二乘原理求定。

如果有m個(gè)共同點(diǎn)，設(shè)i= 1，2，…，m，則可以得到m個(gè)方程。利用m個(gè)未知數(shù)，通過(guò)m個(gè)方程求出唯一確定的系數(shù)，由此得出二次多項(xiàng)式。但在實(shí)際測(cè)量計(jì)算中，需要額外的觀測(cè)數(shù)據(jù)求最或然值。用最小二乘法求多項(xiàng)式的系數(shù)，通常需要m＞ 6，離差公式如下：

式中：V常稱為離差；L為擬合值，L= [ζ1，ζ2，…，ζn]T；x= [a0，a1，a2，a3，a4，a5]T；A為離差的系數(shù)矩陣A，可表示為

假設(shè)參與擬合的點(diǎn)數(shù)為n，由式（1）可列出以下誤差方程：

由此可知，V= [v1，v2，…，vn]T，vn為第n個(gè)擬合點(diǎn)的離差，由式（3）得出矩陣A。

2.2 三次多項(xiàng)式擬合法

三次多項(xiàng)式公式為

通過(guò)平差原理，列出的離差方程式如下：

設(shè)i= 1，2，…，n，在存在n個(gè)擬合的情況下，各個(gè)矩陣表示為

根據(jù)最小二乘原理，最終得到：

2.3 多面函數(shù)擬合

多面函數(shù)擬合法廣泛應(yīng)用在水準(zhǔn)面差異、大地測(cè)量、重力異常擬合、垂直曲線偏移、地殼縱向變化等方面?；舅悸窞椋喝绻魏我粋€(gè)規(guī)則的、不規(guī)則的、連續(xù)的曲面都可用若干單一的平面（單數(shù)值的數(shù)學(xué)平面）進(jìn)行疊加，則在任何一個(gè)點(diǎn)處的高程異常值都可描述為

式中：αj為待定系數(shù)；ζ（x，y）為坐標(biāo)（x，y）所對(duì)應(yīng)的高程異常值；Q（x，y，xj，yj）為用來(lái)進(jìn)行插值運(yùn)算的一個(gè)簡(jiǎn)單的數(shù)學(xué)平面，也稱為多個(gè)平面的核函數(shù)；n為一個(gè)簡(jiǎn)單的數(shù)學(xué)平面上的重疊平面的層數(shù)，數(shù)值等于一個(gè)區(qū)塊擴(kuò)展區(qū)域中的參與點(diǎn)數(shù)目。通常，核函數(shù)Q（x，y，xj，yj）是一種正的雙曲線函數(shù)，即：

式中：j= 1，2，…，n，表示選定的結(jié)點(diǎn)編號(hào)，整體上有n個(gè)結(jié)點(diǎn)；δ為圓滑因子，也稱光滑因子，用來(lái)對(duì)核函數(shù)進(jìn)行調(diào)整，通常δ取一小正數(shù)或零。

對(duì)于正雙曲面核函數(shù)，擬合精度隨著光滑因子的增大而提高；對(duì)于倒雙曲面核函數(shù)，光滑因子存在極大值，超過(guò)這個(gè)值，擬合精度就會(huì)降低。對(duì)于相同的光滑因子，正雙曲面的擬合結(jié)果優(yōu)于倒雙曲面。

如果有m個(gè)符合點(diǎn)，則高程異常值計(jì)算公式為

將式（11）用矩陣形式表示，即：

式中：α為對(duì)應(yīng)不同結(jié)點(diǎn)的αj形成的矩陣；MQ為Qi j構(gòu)成的矩陣，…，m；j= 1，2，…，n），則

在m=n的情況下，方程（12）的解是唯一的；

當(dāng)m＞n時(shí)，可得離差方程：

根據(jù)最小二乘原理，可得到待估參數(shù)α的最小二乘解從而得到權(quán)陣P。

3 高程擬合應(yīng)用實(shí)例

在水利工程測(cè)量中，利用常規(guī)的高程測(cè)量方法在特殊環(huán)境地區(qū)進(jìn)行測(cè)量，高程是很難測(cè)量出來(lái)的。而我國(guó)水利工程建筑物所處的環(huán)境比較特性，大部分水利工程的建設(shè)地點(diǎn)都位于山高谷狹、植被茂密、交通不便、國(guó)家水準(zhǔn)標(biāo)點(diǎn)稀缺的地方，所以在水利水電規(guī)劃、大型水利設(shè)施建設(shè)中，第一層平面控制網(wǎng)通常使用 GPS 進(jìn)行測(cè)量。而 GPS 高程擬合在水利工程中的應(yīng)用適用于高山區(qū)，效果較好。為了將 GPS 高程擬合應(yīng)用于實(shí)際 GPS 高程測(cè)量中，需要分析擬合的準(zhǔn)確性，并進(jìn)行適當(dāng)?shù)臏y(cè)試和設(shè)計(jì)。

某特大型水電站水庫(kù) Ⅲ 級(jí) GPS 測(cè)控網(wǎng)絡(luò)在一條河流上，由于地勢(shì)的特殊性，這里山高谷狹，最大高度差為2500m。在整個(gè)測(cè)區(qū)內(nèi)均勻布設(shè)12個(gè)水平面，對(duì)這12個(gè)水平面進(jìn)行 GPS 觀測(cè)，可以獲得 WGS-84 坐標(biāo)系內(nèi)12個(gè)控制點(diǎn)的高程，先將D01，D03，D05，D07，D09，D11，D12 等作為已知資料，再將 D02，D04，D06，D08，D10 等高程異常點(diǎn)進(jìn)行擬合。通過(guò) 3種高程擬合方法，先將 GPS 測(cè)出的控制點(diǎn)的x，y坐標(biāo)代入公式中計(jì)算，為減小計(jì)算誤差，通過(guò)6個(gè)具有代表性的未知數(shù)值，列6個(gè)方程，求得待定系數(shù)的大小，再求得每個(gè) GPS 控制點(diǎn)的擬合高程異常值，最后依次求出擬合差值。3種方法擬合的結(jié)果如表1所示。

表1 各擬合方法的對(duì)比

從表1 可以看出，相同的點(diǎn)采用不同的擬合方法得到的擬合差值有很大差別：通過(guò)二次多項(xiàng)式擬合的差值最大值為 3.20 cm，最小差值為 1.45 cm，平均差值為 2.54 cm；三次多項(xiàng)式擬合差值最大值為 1.29 cm，最小差值為 0.01 cm，平均差值為 0.22 cm；多面函數(shù)擬合差值最大值為 1.89 cm，最小差值為 0.17 cm，平均差值為 0.51 cm。

為減小偶然誤差，對(duì)某水利工程 Ⅳ 級(jí) GPS 控制網(wǎng)聯(lián)測(cè)了12個(gè)水準(zhǔn)高程點(diǎn)，最大高差為2100m。該工程處于相對(duì)平坦的丘陵地帶，海拔高度位于 25～55 m 之間，總項(xiàng)目中包括5條分散的干渠和3個(gè)村鎮(zhèn)。擬合所選的公共點(diǎn)點(diǎn)號(hào)為 01～12，12 個(gè)點(diǎn)分布均勻，可覆蓋整個(gè)測(cè)區(qū)，與上述實(shí)例計(jì)算過(guò)程一致。3種擬合方法的結(jié)果對(duì)比如表2所示。

表2 各擬合方法的對(duì)比

從表2 可以看出：通過(guò)二次多項(xiàng)式擬合的差值最大值為 6.35 cm，最小差值為 0.21 cm，平均差值為 1.53 cm；三次多項(xiàng)式擬合差值最大值為 2.01 cm，最小差值為 0.09 cm，平均差值為 0.32 cm；多面函數(shù)擬合差值最大值為 3.62 cm，最小差值為 0.13 cm，平均差值為 0.30 cm。

綜合2個(gè)實(shí)例，對(duì) 3種擬合方法擬合結(jié)果進(jìn)行比較，表明三次多項(xiàng)式法比二次多項(xiàng)式、多面函數(shù)法的擬合效果更佳。三次曲面擬合，相比二次曲面擬合具有更高的擬合精度和較少的水利測(cè)量工作。對(duì)于陸地距離較遠(yuǎn)，以及跨河、海島等情況，GPS 擬合高程能較好地解決擬合差值問(wèn)題。GPS 擬合高程技術(shù)能有效減少水準(zhǔn)測(cè)量時(shí)間，保證控制精度，大大提高工作效率。

4 結(jié)語(yǔ)

GPS 高程向正常高轉(zhuǎn)換的精度與水準(zhǔn)連測(cè)點(diǎn)的位置分布和點(diǎn)的個(gè)數(shù)有重要關(guān)系，這也影響轉(zhuǎn)換精度。采用同一種擬合方法，不同點(diǎn)位的擬合精度也是有差異的，所以測(cè)量時(shí)，應(yīng)盡量使測(cè)點(diǎn)分布在測(cè)區(qū)周圍，并包含整個(gè)測(cè)區(qū)。

通過(guò)對(duì) 3種擬合方法的擬合差值的最大、最小及平均值進(jìn)行比較得出：與二次多項(xiàng)式、多面函數(shù)的擬合方法相比較，三次多項(xiàng)式擬合方法更適用于水利工程測(cè)繪中，這與文獻(xiàn)4和5等研究結(jié)果一致。

需要注意的是，由于轉(zhuǎn)換方法的精度有限，GPS 在水利建設(shè)中的應(yīng)用還存在一定的不足之處。GPS 監(jiān)測(cè)水平位移的精度較高，而監(jiān)測(cè)垂直位移的精度相對(duì)較低，比水平位移的監(jiān)測(cè)精度約低 40%，在平原地區(qū)小范圍內(nèi)，GPS 高程的精度只能達(dá)到等外水準(zhǔn)的要求。這種狀況使得在水利工程勘測(cè)階段、高精度變形監(jiān)測(cè)中，還難以利用 GPS 同時(shí)精確測(cè)定水平和垂直位移。利用 GPS 建立各類控制網(wǎng)時(shí)，高程控制仍應(yīng)用常規(guī)的幾何水準(zhǔn)測(cè)量方法測(cè)定，也可以采用 GPS 水準(zhǔn)、曲面擬合的方法（如修正的 BP 網(wǎng)絡(luò)擬合）提高 GPS 高程測(cè)量的精度。如果變形監(jiān)測(cè)不考慮高程系統(tǒng)的差別而只考慮相鄰2次的高差變化，則直接使用大地高差，精度會(huì)有進(jìn)一步改善。雖然在水利測(cè)量中進(jìn)行常規(guī)測(cè)繪，能夠達(dá)到一定的應(yīng)用需求，但在一些高精度的水利測(cè)量中，并不能完全滿足精度要求。因此，研究更精確的轉(zhuǎn)換模型，為更多水利測(cè)繪用戶提供方便，是未來(lái)研究的一個(gè)重要課題。