多模態(tài)原子力顯微鏡的空氣壓膜阻尼效應

趙 陽，黃強先

（1. 安徽建筑大學 電子與信息工程學院，安徽 合肥 230601；2. 合肥工業(yè)大學 儀器科學與光電工程學院，安徽 合肥 230009）

1 引 言

原子力顯微鏡（Atomic Force Microscopy，AFM）具有原子尺寸量級的高分辨率，是納米技術(shù)研究的重要工具，被廣泛用于納米尺度成像、測量和操縱等領域［1-7］。AFM 微懸臂工作在輕敲模式時，其探針針尖保持輕敲在試樣表面，此時微懸臂與試樣表面間距離非常小。在微懸臂的周期性振動過程中，它與試樣間隙的氣體相應地流入或流出，產(chǎn)生一定的壓膜阻尼效應。由于微懸臂對力的敏感傳遞以及阻尼效應對于懸臂動態(tài)特性的影響［8］，空氣壓膜阻尼效應不能被忽略?？諝庾枘釋ξ冶鄣膭討B(tài)特性參數(shù)有較大影響，從而會進一步影響懸臂的測量特性。

Hoummady 觀察到空氣壓膜阻尼效應的實驗現(xiàn)象［9］：當懸臂下方放置和不放置試樣時微懸臂的振幅會有一定的偏移；改變微懸臂試樣間的距離，其振幅和諧振頻率皆會相應地偏移。Gunther 針對掃描探針顯微鏡中的音叉臂振動中空氣阻尼進行了研究［10］，將探針末端和被測試樣間的阻尼簡化為球體和平板間的阻尼模型，分析了振動過程中音叉臂末端的探針和試樣間產(chǎn)生的空氣阻尼，對于振動過程中音叉臂和試樣間的空氣阻尼則未做探討。Leveque，Girard 等結(jié)合基于連續(xù)梁系統(tǒng)的歐拉-伯努利方程和流體力學理論分析了微懸臂探針低頻振動時的空氣阻尼效應［11］，進而分析了微懸臂受到的大氣阻尼效應對振動幅值的影響，而振動過程中阻尼對于阻尼系數(shù)和品質(zhì)因數(shù)的影響則未加分析。Zheng Wei 團隊進一步分析了不同形狀的微懸臂在壓膜阻尼影響下品質(zhì)因數(shù)的變化［12］。

以上研究皆為基礎諧振模態(tài)下壓膜阻尼的影響，未考慮壓膜阻尼對于微懸臂高階諧振模態(tài)的影響。Ashok Kumar Pandey 仿真了不同階次諧振模態(tài)下微懸臂的空氣壓膜阻尼系數(shù)［13］，對于同一懸臂的一階、二階、三階諧振模態(tài)下的空氣壓膜阻尼系數(shù)進行實驗，結(jié)果表明，隨著諧振階次的提高，其空氣壓膜阻尼對于微懸臂的影響相應減小，品質(zhì)因數(shù)相應增加。但是，其測量的品質(zhì)因數(shù)其實是包含微懸臂振動與大氣摩擦所引起的阻尼和壓膜阻尼之和，且未對壓膜阻尼對于微懸臂振動狀態(tài)的影響做進一步的研究和分析。

本文基于歐拉-伯努利梁方程和雷諾方程對微懸臂的阻尼效應進行分析，研究基礎諧振模態(tài)和高階諧振模態(tài)微懸臂的壓膜阻尼效應對微懸臂動態(tài)特性參數(shù)、動態(tài)AFM 測量特性的影響，并圍繞系統(tǒng)的阻尼效應進行了實驗測試。

2 壓膜阻尼效應

AFM 微懸臂示意圖如圖1 所示。矩形懸臂為均質(zhì)等截面，其長度、寬度和厚度分別為L，b和W，密度為ρ，微懸臂的彈性模量為E，微懸臂的截面面積為A（A=Wb），截面慣性矩為I（I=W3b/12）。

圖1 微懸臂-試樣簡化模型示意圖Fig.1 Schematic of simplified cantilever and sample model

由于探針尺寸、質(zhì)量和微懸臂相比數(shù)值微小，故本文忽略探針的作用，將運動的矩形微懸臂簡化為矩形平板。忽略慣性效應且不考慮微懸臂在橫向的位移，微懸臂和試樣間空氣壓膜效應可用雷諾方程表示為：

其中：x為懸臂長度方向，y為微懸臂寬度方向；p為板間氣體壓膜壓強，μ為氣體黏度系數(shù)，h為臂與試樣間變化的距離，即流體膜的厚度。由于微懸臂振動頻率遠小于壓膜阻尼的中介頻率［14］，兩板間的氣體視為不可壓縮氣體，同時忽略溫度變化，可將式（1）簡化為：

進一步推導出壓膜阻尼系數(shù)為：

考慮動態(tài)AFM 微懸臂在大氣環(huán)境下振動時，存在著微懸臂振動和大氣摩擦產(chǎn)生的能量耗散以及壓膜阻尼效應產(chǎn)生的能量耗散。設空氣對微懸臂振動導致附加阻尼系數(shù)為γair，則分布的外阻尼力為，f（x，t）為微懸臂受到的z向力。微懸臂振動方程為：

其中：

式中：A0為微懸臂振動的振幅值，各階諧振模態(tài)的特征參數(shù)αn可由特征方程求出。

設Zi（t）為AFM 微懸臂的第i階振型，?i（t）為相應的廣義坐標，則利用振型正交性質(zhì)，并對所得方程進行解耦［15］可得AFM 懸臂第n階振動在廣義坐標下的微分方程：

式中：cair為微懸臂所受的總阻尼系數(shù)，是微懸臂壓膜阻尼系數(shù)和微懸臂內(nèi)部能量耗散引起的阻尼系數(shù)之和。將一階諧振模態(tài)的α1=1.875，二階諧振模態(tài)的α2=4.694 代入式（9）計算，可得二階諧振模態(tài)和一階諧振模態(tài)微懸臂的阻尼比的關(guān)系為：

由此可見，和基礎諧振模態(tài)相比，處于二階諧振模態(tài)的微懸臂探針，其阻尼比相應地下降，從而減小了阻尼對于微懸臂振動狀態(tài)的影響。

由于微懸臂工作在近諧振點處，其最大動力位移（即振幅）與靜力位移之比為動力放大系數(shù)δ，即：

其中γ為微懸臂諧振系統(tǒng)的阻尼比。可見微懸臂的振動幅值由阻尼比決定。在微懸臂和試樣接近的過程中，二者距離的改變會導致其阻尼比的變化，進而導致微懸臂振幅的變化。因此，可以通過觀察懸臂振幅的變化來觀察壓膜阻尼的變化情況。

3 實驗結(jié)果及分析

3.1 實驗系統(tǒng)

基于AFM 工作原理，自制了多模態(tài)原子力顯微鏡［16］。該系統(tǒng)可以工作于接觸模式、非接觸模式，以及輕敲模式。輕敲模式下，系統(tǒng)可工作于基礎諧振模態(tài)或者高階諧振模態(tài)下。系統(tǒng)示意圖如圖2 所示。采用具有較高諧振頻率的壓電陶瓷片勵振微懸臂，微懸臂變形檢測系統(tǒng)采用光杠桿法檢測其Z向變形信息。

圖2 多模態(tài)原子力顯微鏡系統(tǒng)示意圖Fig. 2 Functional block diagram of multi-mode AFM

探針-樣品逼近系統(tǒng)由遠距離逼近系統(tǒng)和近距離逼近系統(tǒng)兩部分組成，位于多模態(tài)原子力顯微鏡系統(tǒng)的基座部分。測頭及基座部分如圖3 所示。遠距離逼近系統(tǒng)通過精密微型直流電機驅(qū)動螺旋測微頭旋轉(zhuǎn)實現(xiàn)探針和試樣的大范圍、遠距離逼近。逼近系統(tǒng)采用千分尺頭，可保證逼近過程的平穩(wěn)性；逼近選用微型直流電機、減速箱減速方式。直流電機通過聯(lián)軸器與千分尺頭相連接，帶動千分尺頭旋轉(zhuǎn)，沿著導桿的方向上下運動，實現(xiàn)探針針尖與樣品臺Z方向距離的精密調(diào)節(jié)。

圖3 測頭及基座實物Fig.3 Head and base of multi-mode AFM system

近距離逼近系統(tǒng)由封裝在基座內(nèi)部工作臺下方的三維壓電陶瓷掃描器組成，采用兩段單管型壓電掃描器控制三維位移量?？刂破渲幸粋€未四分的壓電陶瓷管，分別在其內(nèi)、外壁施加電壓，產(chǎn)生軸向伸縮，從而提供Z向位移，實現(xiàn)探針-試樣間距離的小范圍、近距離逼近。

3.2 壓膜阻尼對懸臂品質(zhì)因數(shù)的影響

選擇Budget Sensor 的ContAl 探針，使用公稱彈性常數(shù)為3 N/m 的微懸臂，微懸臂的幾何尺寸（長，寬，高）為225 μm×28 μm×3 μm。激勵懸臂工作于一階諧振模態(tài)及二階諧振模態(tài)，一階諧振頻率為82.30 kHz，二階諧振頻率為522.40kHz。保持其他條件不變，僅改變微懸臂-試樣間距離，每次距離改變后進行掃頻測試，通過幅頻特性曲線中的諧振中心頻率及半功率帶寬計算品質(zhì)因數(shù)。

懸臂與試樣間距離控制的具體實現(xiàn)過程為：先給Z向壓電陶瓷外壁供120 V 電壓，其伸長量約為2 μm；然后，驅(qū)動電機轉(zhuǎn)動帶動試樣工作臺逼近懸臂，直至探針近似輕敲至試樣表面，此時停止電機，撤去Z向壓電陶瓷電壓，則探針-試樣間距離為2 μm。以此為起始位置，通過給樣品臺中的Z向壓電陶瓷的內(nèi)外壁施加不同電壓使其產(chǎn)生一定的變形量，從而改變微懸臂和試樣表面間的距離。

品質(zhì)因數(shù)測量數(shù)據(jù)如表1 所示。整個測試過程，探針-試樣逐漸遠離，使用電感測微儀測量其間距離約從2 μm 逐漸增加至10 μm。當探針試樣間距離減小時，壓膜阻尼效應會導致一階諧振微懸臂品質(zhì)因數(shù)的明顯降低，且隨著距離的減小，其壓膜阻尼相應增加，品質(zhì)因數(shù)總減小量達到未受壓膜阻尼時品質(zhì)因數(shù)的18%。而二階諧振微懸臂在探針試樣間距離減小的過程中，品質(zhì)因數(shù)沒有明顯的規(guī)律性變化。

表1 壓膜阻尼影響下品質(zhì)因數(shù)測試數(shù)據(jù)Tab. 1 Test data of quality factor with squeeze film damping

3.3 壓膜阻尼效應對AFM 測量特性的影響

3.3.1 基礎諧振模態(tài)下壓膜阻尼效應

在微懸臂與樣品間距離為20～2 μm 區(qū)間進行了逼近并連續(xù)測試懸臂振幅。采用公稱彈性常數(shù)為0.2 N/m 的探針，幾何尺寸（長，寬，高）為450 μm×50 μm×2 μm。使用相同的光強，分別驅(qū)動微懸臂工作于接觸模式和一階諧振模態(tài)的輕敲模式，測試微懸臂在此范圍內(nèi)向試樣表面逼近過程中的力曲線。圖4（a）與圖4（b）分別為接觸模式和輕敲模式下得到的測試曲線。

圖4 0.2 N/m 懸臂遠距離逼近力曲線Fig.4 Approach curves of 0.2 N/m cantilever

在接觸模式下，微懸臂無振動，向試樣表面靠近，在逼近過程中其偏轉(zhuǎn)量并未發(fā)生變化，說明在逼近過程中沒有受到外力的作用。而動態(tài)輕敲模式下，微懸臂處于近諧振狀態(tài)，振動頻率為15.43 kHz。當微懸臂和試樣表面距離較遠（大于15 μm）時，逼近過程中微懸臂振動幅值基本不變；當微懸臂和試樣表面間距離進一步減小時，微懸臂振動幅值隨著微懸臂和試樣表面間距離的減小而顯著減小。整個逼近過程中振幅減小量約為180 mV，微懸臂自由振幅為870 mV，減小量達到微懸臂自由振幅的20.6%。

由于范德華力的作用區(qū)域在1 μm 以內(nèi)，實驗中的微懸臂與試樣間距離是超出范德華力作用范圍的，接觸模式的測試反映了逼近過程中沒有其他外力的作用，輕敲模式下逼近過程中微懸臂受到的力應為由于微懸臂振動引起的壓膜阻尼力。

實驗還使用公稱彈性常數(shù)為3 N/m 的探針，在相同的實驗條件下進行了壓膜阻尼特性測試，測試結(jié)果如圖5（a）所示。

圖5 基礎諧振模態(tài)下3 N/m 懸臂的逼近力曲線Fig.5 Approach curves of 3 N/m cantilever in fundamental resonance mode

從圖5（a）可以看到，其逼近力曲線的變化規(guī)律和0.2 N/m 微懸臂相同，微懸臂自由振幅為3 250 mV，振幅減小量約為250 mV，約占微懸臂自由振幅的7.8%。進一步進行近距離的力曲線測試，結(jié)果如圖5（b）所示，可以看到，在微懸臂受到范德華力作用而振幅快速減小之前，隨著微懸臂和試樣間距離的減小，微懸臂振幅持續(xù)減小，減小量約為200 mV。

由實驗結(jié)果可見，微懸臂處于基礎諧振模態(tài)下，當針尖距離試樣表面較近時（15 μm 以內(nèi)），微懸臂的振動會產(chǎn)生壓膜阻尼效應，隨著微懸臂試樣間距離的減小，微懸臂的總阻尼系數(shù)和阻尼比增加，使微懸臂的動力放大系數(shù)減小，進而導致微懸臂振幅相應減小。同時，寬度較大的微懸臂受到的壓膜阻尼影響更大，當微懸臂-試樣間距離從20 μm 減小到2 μm，寬度為28 μm 的3 N/m微懸臂在接近過程中振幅減小了約7.8%，而寬度為50 μm 的0.2 N/m 微懸臂在接近過程中振幅減小了約20.6%。微懸臂與試樣間距離和微懸臂寬度是影響壓膜阻尼的主要因素。

3.3.2 高階諧振模態(tài)下壓膜阻尼效應

仍使用公稱彈性常數(shù)為3 N/m 的探針，驅(qū)動微懸臂工作于二階諧振模態(tài)，其他實驗條件保持和一階諧振模態(tài)實驗相同，測試微懸臂逼近力曲線，測試結(jié)果如圖6 所示。

圖6 二階諧振模態(tài)下3 N/m 懸臂的逼近力曲線Fig.6 Approach curve of 3 N/m cantilever in second-order resonant mode

由圖6 可知，二階諧振模態(tài)下的微懸臂在20 μm 范圍內(nèi)逼近過程中其幅值并無發(fā)生明顯的變化，直至它受到范德華力作用而快速減小，說明在逼近過程中幾乎沒有受到外力的作用。高階振動模式時，可以克服空氣阻尼作用和流體力阻尼作用的交迭，由微懸臂振動過程中引起的空氣阻尼作用占主導，而流體力的阻尼作用可以忽略。由此可見，相較于基礎諧振模態(tài)，高階諧振模態(tài)更有利于輕敲式AFM 減小阻尼對于測試的影響。

AFM 在工作于基礎諧振模態(tài)下掃描試樣形貌測試的過程中，微懸臂和試樣間的距離非常小，附加產(chǎn)生的空氣壓膜阻尼效應則會引起微懸臂所受總阻尼的增加，進而引起微懸臂品質(zhì)因數(shù)的減小。對于AFM 而言，其微懸臂品質(zhì)因數(shù)的減小一方面會導致懸臂最小可探測力梯度的增加，AFM 測量分辨率的降低；另一方面會引起懸臂響應時間的增加，AFM 掃描速度的減小。由此可見，壓膜阻尼效應的產(chǎn)生會直接影響懸臂動態(tài)特性及AFM 系統(tǒng)的測量特性。

4 結(jié) 論

本文對動態(tài)AFM 微懸臂的空氣壓膜阻尼特性進行了研究，分析了影響空氣壓膜阻尼的因素以及空氣壓膜阻尼對于AFM 系統(tǒng)測量特性的影響?；诙嗄B(tài)原子力顯微鏡系統(tǒng)，進行了幅值反饋模式下的基礎和高階諧振模態(tài)微懸臂及AFM 系統(tǒng)測量特性的實驗研究。測試結(jié)果表明，當微懸臂下方有試樣且距離較近（10 μm 以內(nèi)）時，基礎諧振模態(tài)微懸臂品質(zhì)因數(shù)會由于壓膜阻尼的影響而明顯降低，且隨著微懸臂和試樣間距離的減小，其壓膜阻尼相應增加，品質(zhì)因數(shù)總減小量達到未受壓膜阻尼時品質(zhì)因數(shù)的18%。在微懸臂振幅測試中，所采用的兩種微懸臂振幅均有明顯減小。當微懸臂-試樣間距離從20 μm減小到2 μm，寬度為28 μm 的3 N/m 微懸臂在接近過程中振幅減小了約7.8%，而寬度為50 μm的0.2 N/m 微懸臂在接近過程中振幅減小了約20.6%。可見，微懸臂試樣間距離和懸臂寬度是影響壓膜阻尼的主要因素。壓膜阻尼引起了微懸臂品質(zhì)因數(shù)和振幅的明顯下降，并進一步影響懸臂動態(tài)特性及AFM 系統(tǒng)測量特性。

在相同的實驗條件下，高階諧振模態(tài)微懸臂品質(zhì)因數(shù)及振幅沒有發(fā)生明顯的變化，說明采用高階諧振模態(tài)可以有效地減少壓膜阻尼對系統(tǒng)測量特性的影響。本文的研究為進一步研究動態(tài)AFM 的阻尼效應提供了理論和實驗基礎。