寇巧媛，袁 杰

(新疆大學(xué)電氣工程學(xué)院，新疆 烏魯木齊 830047)

1 引言

蜂擁行為是指大規(guī)模個體利用環(huán)境信息和簡單規(guī)則實現(xiàn)群體行為的現(xiàn)象。近年來，多智能體的蜂擁行為引起了諸如生物、物理、社會科學(xué)、計算機科學(xué)和控制工程等許多領(lǐng)域研究人員的關(guān)注[1]。多智能體系統(tǒng)協(xié)同控制主要包括一致性研究和蜂擁控制[2,3]研究。1987年，Reynolds[4]提出了鳥群蜂擁行為模型，其中包含了分離、聚合和避免碰撞3條基本規(guī)則。在Reynolds模型的基礎(chǔ)上，多種基于理想條件的蜂擁控制算法被相繼提出[5,6]。這些算法較好地實現(xiàn)了多智能體的位置一致和速度趨同。但是，由于多智能體系統(tǒng)本身具有非線性、網(wǎng)絡(luò)拓?fù)淝袚Q特性和通信延遲等問題[7]，容易使協(xié)同現(xiàn)象退化甚至造成系統(tǒng)不穩(wěn)定。因此，越來越多的研究人員將目光投向解決多智能體系統(tǒng)的實際應(yīng)用上[8]。文獻[9]研究了具有有向固定拓?fù)鋱D上的高階不確定非線性多智能體系統(tǒng)一致性問題。文獻[10]利用拉普拉斯矩陣的性質(zhì)和改進的包含控制，將一般線性多智能體系統(tǒng)控制問題轉(zhuǎn)化為離散時間線性切換系統(tǒng)的穩(wěn)定性問題。文獻[11]研究了定向交互拓?fù)湎路謹(jǐn)?shù)階多智能體系統(tǒng)的分布式控制，提出了具有絕對阻尼和通信時延的控制規(guī)律。文獻[12]考慮了具有非周期性間歇通信拓?fù)涞木€性多智能體系統(tǒng)的一致性，利用兩跳鄰居信息設(shè)計了間歇通信拓?fù)淇刂埔?guī)律。文獻[13]利用人工勢函數(shù)和狀態(tài)觀測器設(shè)計控制方案，解決具有外部干擾的多智能體系統(tǒng)蜂擁問題。動態(tài)多智能體系統(tǒng)的通信時延問題已經(jīng)引起了許多研究人員的關(guān)注[14,15]。文獻[16]研究了復(fù)雜環(huán)境下固定通信時延多智能體的蜂擁控制。文獻[17]研究了具有通信時延的多智能體系統(tǒng)的蜂擁控制問題，其只考慮了速度信息的時滯，并沒有考慮位置信息的時滯。

當(dāng)網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)不連通時，系統(tǒng)將具有不同的網(wǎng)絡(luò)延遲[17]。因此在實際應(yīng)用中，不僅要考慮網(wǎng)絡(luò)信息阻塞引起的未知通信時延，還要考慮異構(gòu)拓?fù)湓斐傻臅r延。此外，在目前諸多研究中，通信時延上限均作為已知條件使用，尚未有研究人員研究在復(fù)雜環(huán)境中存在時變通信時延的不確定非線性二階多智能體系統(tǒng)的蜂擁控制。

針對上述問題，本文在具有時變通信時延的不確定非線性二階多智能體系統(tǒng)中利用魯棒自適應(yīng)算法設(shè)計了滿足速度匹配和位置跟隨的控制規(guī)律，使多智能體系統(tǒng)實現(xiàn)蜂擁行為；同時利用Lyapunov-Krasovskii方法構(gòu)造能量函數(shù)，證明了采用本文提出的控制規(guī)律能確保多智能體系統(tǒng)網(wǎng)絡(luò)始終連通，群體速度收斂于虛擬領(lǐng)導(dǎo)者的速度，智能體之間不會發(fā)生碰撞，并且當(dāng)通信延遲滿足一定要求時多智能體系統(tǒng)趨于穩(wěn)定；最后通過實驗驗證了本文設(shè)計的魯棒自適應(yīng)算法能夠?qū)崿F(xiàn)二階多智能體系統(tǒng)的蜂擁控制，在保證位置跟隨和速度匹配的同時，增強了二階多智能體系統(tǒng)的抗干擾能力。

2 預(yù)備知識

2.1 基本定義

令R,R+,Rd,RN×N分別代表一維實空間、一維正實空間、d維實向量和N×N維實矩陣。Id表示d維的單位矩陣。r表示智能體的傳感器半徑，R表示智能體的交互半徑，‖·‖1表示1范數(shù)，‖·‖表示2范數(shù)，即歐氏距離。

2.2 圖論知識

3 控制規(guī)律設(shè)計和穩(wěn)定性證明

3.1 不確定非線性二階多智能體系統(tǒng)運動學(xué)模型

在d維噪聲環(huán)境中，由N個節(jié)點組成的二階多智能體系統(tǒng)包含了一個虛擬領(lǐng)導(dǎo)者(運動學(xué)模型中下標(biāo)為0)和N-1個智能體(運動學(xué)模型中下標(biāo)為1,2,…,N-1)。第i個智能體運動學(xué)模型描述如式(1)所示：

(1)

其中,初始值表示如式(2)所示:

(qi,pi)(0)=:(qi0,pi0),i=1,…,N-1

(2)

(3)

非線性動力學(xué)函數(shù)f(·)和擾動φ(·)滿足局部Lipschitz連續(xù)條件[16]，即對于所有的p1(t)，p2(t)∈Rd且θ,γ為非負(fù)常數(shù),滿足式(4)：

(4)

假設(shè)1初始G(0)是連通圖。

假設(shè)2虛擬領(lǐng)導(dǎo)者的控制規(guī)律輸入是有界的，即?κ>0，使得‖f(p0(t))+φ(p0(t))‖<κ<∞。

3.2 控制規(guī)律設(shè)計

ui(t,τ(t))=u1i+u2i+u3i+u4i

(5)

(6)

u1i為人工勢函數(shù),采用文獻[19]的定義，如式(7)所示：

(7)

其中,

(8)

(9)

(10)

其中,h∈(0,1),ω>0,ψα(z)滿足式(11):

▽qiψα(‖qij(t)‖σ)=▽qijψα(‖qij(t)‖σ)=

-▽qjψα(‖qij(t)‖σ)

(11)

i,j=1,2,…,N-1

(12)

其中,βij,mi,ni,li,ηi為任意正實數(shù)，各個參數(shù)初始值設(shè)定如式(13)所示：

(13)

3.3 穩(wěn)定性證明與分析

定理1考慮具有時變通信延遲的不確定非線性二階多智能體系統(tǒng)的運動學(xué)模型如式(1)和式(3)所示，輸入控制如式(5)和式(6)所示，人工勢函數(shù)如式(7)所示，假設(shè)1至假設(shè)3成立，初始能量Q0是一個有限值，則有以下結(jié)論成立：

(1)當(dāng)t≥0時，多智能體系統(tǒng)網(wǎng)絡(luò)圖G(t)滿足連通性。

(3)智能體之間不會發(fā)生碰撞。

(14)

證明一般地，在tk時刻，圖G(0)切換到圖G(k)。令t(0)=0，在t∈[t(0),tk)根據(jù)Lyapunov-Krasovskii方法構(gòu)造能量函數(shù)Q(t)如式(15)所示(具體推導(dǎo)過程見附錄)：

(15)

Q(t)對時間t求導(dǎo)，且根據(jù)假設(shè)1和young不等式[15]：2xTy≤xTPx+yTP-1y可得到式(16):

(16)

對于任意x∈Rd，滿足不等式‖x‖≤‖x‖1[20]，可得式(17)和式(18):

(17)

(18)

Q(t+tk)≤Q0+mψ(‖qij(t)‖α)≤Qmax

(19)

□

4 仿真分析

利用控制規(guī)律式(5)和式(6)得到的三維軌跡以及不同迭代次數(shù)下智能體位置、速度如圖1示。從圖1可以看出，在多智能體系統(tǒng)移動過程中智能體之間能夠形成緊密的晶格狀網(wǎng)絡(luò)；智能體之間保持強連通和集群構(gòu)型的穩(wěn)定；各個智能體的速度方向和大小趨于一致，并與虛擬領(lǐng)導(dǎo)者保持同步；各個智能體位置趨于虛擬領(lǐng)導(dǎo)者位置。

圖2為Laplacian矩陣特征值和各參數(shù)調(diào)節(jié)圖。其中,圖2b～圖2f展示了魯棒自適應(yīng)控制算法調(diào)節(jié)各個參數(shù)的變化情況，可以看出當(dāng)?shù)螖?shù)達到200時，多智能體系統(tǒng)中各個參數(shù)趨于平穩(wěn)，根據(jù)魯棒自適應(yīng)參數(shù)的定義可知，此時系統(tǒng)集群和跟隨情況已經(jīng)趨于穩(wěn)定和收斂。圖1所示的多智能體系統(tǒng)的運動軌跡和不同參數(shù)下智能體的位置和速度，表明對應(yīng)時刻的智能體之間已經(jīng)形成穩(wěn)定的晶格狀構(gòu)型，智能體速度與虛擬領(lǐng)導(dǎo)者速度達成同步，群體中心位置收斂于虛擬領(lǐng)導(dǎo)者位置，這與魯棒自適應(yīng)參數(shù)曲線相一致。圖2a中Laplacian矩陣特征值隨時間變化的情況也證實了隨著時間t的推移，多智能體系統(tǒng)的網(wǎng)絡(luò)一直保持強連通。

為了檢驗本文所提出的控制規(guī)律對外界未知干擾和時變通信時延的魯棒性，分別選取不同信號干擾強度ξ和時變通信時延強度參數(shù)τm進行對比實驗。考慮時間對系統(tǒng)時滯的影響，選取τ(2)=τme-5tsin2(t)作為多智能體系統(tǒng)的時變通信時延函數(shù)。設(shè)定時變通信時延調(diào)節(jié)參數(shù)τm為0.1，0.2，0.3，0.4，0.5。在不同強度通信時延下分別進行100次實驗，系統(tǒng)速度誤差ε小于0.02時認(rèn)為控制規(guī)律收斂。實驗結(jié)果如圖3和表1所示，其中圖3a和圖3b驗證了多智能體系統(tǒng)在不同強度的時變通信延遲下網(wǎng)絡(luò)系統(tǒng)能夠快速收斂，并且智能體與虛擬領(lǐng)導(dǎo)者的速度誤差不斷減少，同時各智能體相對虛擬領(lǐng)導(dǎo)者的位置保持穩(wěn)定。表1表明時變通信時延的強度并不影響系統(tǒng)的收斂速度。

Table 1 Convergence time of system error

5 結(jié)束語

本文提出具有時變通信時延的多智能體系統(tǒng)的魯棒自適應(yīng)蜂擁控制規(guī)律，并對自帶不確定非線性二階多智能體系統(tǒng)模型進行驗證，通過仿真實驗得出以下結(jié)論:在外界干擾和通信時延同時存在時，動態(tài)多智能體系統(tǒng)可以保持較好的晶格狀網(wǎng)絡(luò)，維持較強的連通性，智能體的位置和速度都收斂于虛擬領(lǐng)導(dǎo)者。當(dāng)時變通信時延滿足一定條件時，魯棒自適應(yīng)蜂擁控制規(guī)律可使多智能體系統(tǒng)收斂并達到穩(wěn)定。在不同強度干擾下，系統(tǒng)可快速收斂并形成穩(wěn)定的拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)。因此，采用魯棒自適應(yīng)設(shè)計的蜂擁控制規(guī)律可使系統(tǒng)具有較強的適應(yīng)能力和魯棒特性。然而，多智能體系統(tǒng)在通信時延下選取關(guān)鍵子網(wǎng)節(jié)點還沒有明確的控制設(shè)計方案，如何利用復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)特性設(shè)計蜂擁控制方案，以提高多智能系統(tǒng)信息傳遞效率是下一步研究重點。

Q(t)=Qi1(t)+Qi2(t)+Qi3(t)+Qi4(t)=

(pj(t))T?qij(t)ψα(‖qij(t)‖σ))=

(pj(t))T?qjψα(‖qij(t)‖σ))=

(pj(t))T?qiψα(‖qij(t)‖σ))=

f(p0(t))-φ(p0(t)))=

f(p0(t))-φ(p0(t)))

對于任意x∈Rd，滿足不等式‖x‖≤‖x‖1[19]，可得:

根據(jù)young不等式[18]：2xTy≤xTPx+yTP-1y可得到: