梅俊，王思馨，夏丹，王維峰

（1中南民族大學(xué) 數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)學(xué)院，武漢 430074；2華中師范大學(xué) 人工智能教育學(xué)院，武漢 430079）

知識傳播在知識經(jīng)濟(jì)時代有重要的作用.知識傳播為知識經(jīng)濟(jì)提供良好的氛圍，并促進(jìn)經(jīng)濟(jì)社會的發(fā)展和完善［1］.知識傳播推動社會經(jīng)濟(jì)生產(chǎn)力的發(fā)展和進(jìn)步［2］.并且，隱性知識及其傳播可構(gòu)成企業(yè)的核心競爭力［3］.另外，知識傳播還能有助于抑制傳染病的傳播，例如宣傳戴口罩可有效的抑制新冠病毒的傳播［4］.因此，研究知識傳播具有一定的實(shí)際意義.

由于復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)可以解釋系統(tǒng)的運(yùn)作方式［5］以及知識傳播和傳染病傳播的相似性，有很多研究在復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)上建立類似于傳染病傳播模型的知識傳播模型.例如，考慮將顯性知識轉(zhuǎn)變?yōu)殡[性知識的內(nèi)在化機(jī)制建立了一個Receivers-Holders-Spreaders（RHS）模型［6］；為了分析復(fù)習(xí)回顧機(jī)制，在復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)上建立了一個Naive-Evangelical-Agnostic（VEA）模型［7］；通過考慮自學(xué)機(jī)制提出了一個Susceptible-Infected（SI）模型［8］.在傳染病模型中，基本再生數(shù)是決定病毒是否傳播的標(biāo)志，它是指在無病平衡狀態(tài)中，一個傳染病病人在平均染病周期內(nèi)所感染的人數(shù)［9］.

在熟人社交網(wǎng)絡(luò)平臺上，用戶轉(zhuǎn)發(fā)分享的文章內(nèi)容很有可能被好友再次轉(zhuǎn)發(fā)分享［10］.熟人之間的相熟關(guān)系既可以降低知識接收者對知識的懷疑程度也可以使知識接收者和知識傳播者及時分享反饋知識的難易程度、知識與人們生產(chǎn)生活的相關(guān)度以及知識接收者對知識的接受度等相關(guān)信息，這可以讓知識傳播者根據(jù)反饋及時調(diào)節(jié)傳播內(nèi)容和模式使其更容易被知識接收者接收，這也就是說熟人所分享的知識更容易被周圍的知識接收者接收，更進(jìn)一步說，熟人有利于知識傳播.本文將熟人定義為知識接收者周圍具有一定知識傳播能力的人，例如父母、親戚朋友、老師等.

在現(xiàn)有文獻(xiàn)中，學(xué)者們只研究了友誼［11］以及領(lǐng)導(dǎo)者［12］在知識傳播中的單一作用，對熟人的總體作用考慮較少.本文首次在復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)知識傳播過程中考慮熟人作用并對其進(jìn)行了建模和動態(tài)分析.首先，應(yīng)用平均場方程建立了一個SIH模型，其中知識傳播過程表現(xiàn)為個體的狀態(tài)變化.其次，從理論上分析了SIH模型的動態(tài)性能，包括其基本再生數(shù)、平衡點(diǎn)及其穩(wěn)定性.最后，我們通過數(shù)值仿真驗(yàn)證了理論分析結(jié)果并進(jìn)一步研究模型參數(shù)對SIH模型的影響.

1 SIH模型

考慮到熟人作用，本文建立了一個基于傳染病SIR模型的知識傳播SIH模型.假設(shè)復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)是異構(gòu)的并且個人可以自由進(jìn)出.知識傳播實(shí)際上是一種學(xué)習(xí)效應(yīng)，即低知識水平的接收者可以從高知識水平的傳播者中學(xué)到一定的知識［13］，但知識在人腦的存在時長是有限的.因此本文將人群分為三大類：知識接收者（S），知識傳播者（I），知識遺忘者（H）.知識接收者（S）是指沒有擁有特定知識信息的人，他們對知識都有極高的渴求性，他們愿意學(xué)習(xí)知識并且相信知識傳播者所傳播的知識.知識傳播者（I）是指擁有特定知識信息的人，他們樂意分享傳播自己的知識.知識遺忘者（H）是指隨著時間的推移，知識傳播者（I）逐漸遺忘知識的人，他們都是擁有過知識的人.

如圖1所示，知識接收者在與熟人接觸交流的過程中，熟人將知識傳播給接收者，使得知識接收者成為知識傳播者，這個概率為β1(0≤β1≤1).同時，知識接收者還可以自己從網(wǎng)絡(luò)、書本等知識庫中汲取知識成為知識傳播者，這個概率為α(0≤α≤1).由于長時間未應(yīng)用知識或者該知識被新的知識所覆蓋，知識傳播者將遺忘這種知識成為知識遺忘者，這個概率設(shè)為γ(0≤γ≤1).但當(dāng)知識遺忘者處于周圍都是知識傳播者的環(huán)境下，知識遺忘者可以被擁有知識的熟人提醒或者再次傳播，于是知識遺忘者就可以重新變?yōu)橹R傳播者，這個概率為β2(0≤β2≤1).同時，系統(tǒng)是允許人員自由進(jìn)出的，本文假設(shè)進(jìn)入該系統(tǒng)的人員只能是知識接收者，退出系統(tǒng)的人員可以是知識接收者、知識傳播者和知識遺忘者.令進(jìn)入系統(tǒng)和退出系統(tǒng)的概率都為μ(0≤μ≤1).

圖1 知識傳播示意圖Fig.1 Diagram of knowledge transmission

假設(shè)知識傳播系統(tǒng)在不相關(guān)的異構(gòu)網(wǎng)絡(luò)中，其中p(k)表示度分布表示平均網(wǎng)絡(luò)度，Sk(t)、Ik(t)、Hk(t)分別表示在時間t時度為k的知識接收者、知識傳播者和知識遺忘者節(jié)點(diǎn)的密度.并且Sk+Ik+Hk=1.若I節(jié)點(diǎn)的度為k′，則I有k′條自由連接的邊，故所選邊指向度為k′的I節(jié)點(diǎn)的概率為：

因此任意給定邊在時間t指向I節(jié)點(diǎn)的概率為：應(yīng)用平均場理論［14］，SIH模型可以表示如下：

其中0≤Sk(t)，Ik(t)，Hk(t)≤1，Sk(t)+Ik(t)+Hk(t)=1，t≥0.

解得

將Ik代入（2）得到一個自洽方程

令

顯然f(0)=0，0＜f(1)≤1.下面討論（7）非零點(diǎn)的存在性.

當(dāng)α+β1k＞β2k時，由 于0≤γ≤1，則α+要使f(Θ)=0的非零解存在，則須滿足：

圖2 函數(shù)f示意圖Fig.2 Schematic diagram of function f

2 穩(wěn)定性分析

本節(jié)將分析模型（3）的兩個平衡Θ0和Θ*的全局漸近穩(wěn)定性.

定理2.1若R0＜1，則無知識均衡Θ0(1，0，0)全局漸近穩(wěn)定.

證明由于Sk+Ik+Hk=1，則Sk=1-Ik-Hk，將其代入（3）的第二個方程中有：

定理2.2當(dāng)R0＞1時，知識地方均衡Θ*(S*，I*，R*)全局漸近穩(wěn)定.

證 明在V：(Sk(t)，Ik(t)，Hk(t))∈Ψ：Sk（t），Ik（t），H（kt）＞0}→R上定義李雅普諾夫函數(shù)

顯然對于所有Sk≠S*，Ik≠I*和Hk≠H*有L＞0.則對L2求導(dǎo)，有：

又由（4）有

則有：

當(dāng)且僅當(dāng)Sk=S*，Ik=I*和Hk=H*等號成立.注意到只有當(dāng)R0＞1時，S*、I*和H*才存在.由拉塞爾不變集原理（Lasalle invariance principle），當(dāng)R0＞1時，知識地方均衡Θ*(S*，I*，R*)全局漸近穩(wěn)定.

證畢.

3 仿真

為了證實(shí)第二節(jié)中的理論分析結(jié)果，本節(jié)將進(jìn)行數(shù)值仿真，并且將進(jìn)一步研究模型參數(shù)即自學(xué)水平α，熟人影響β1以及遺忘水平γ對于知識傳播的影響.與隨機(jī)增長網(wǎng)絡(luò)、小世界網(wǎng)絡(luò)和規(guī)則網(wǎng)絡(luò)相比，知識在無標(biāo)度網(wǎng)絡(luò)更容易傳播［8］.因此，本文在無標(biāo)度網(wǎng)絡(luò)中模擬知識傳播.假設(shè)網(wǎng)絡(luò)的初始節(jié)點(diǎn)為5個，這5個節(jié)點(diǎn)隨機(jī)連邊，隨后依次加入5個新節(jié)點(diǎn)連接5條邊直至達(dá)到1000個節(jié)點(diǎn)為止.知識傳播由初始傳播者發(fā)起，本文將初始傳播者視為傳播種子，并假設(shè)在傳播初始階段只有10個傳播種子，其余全為知識接收者.令α=0.2，β1=0.01，γ=0.3，μ=0.2，β2=0.01，則有R0=0.8100＜1.如圖3所示，知識接收者先減少再增加到1；知識傳播者減少到0；而知識遺忘者先增加到一個最大值后再減少到0.當(dāng)R0＜1時，系統(tǒng)最后只有知識接收者，知識不能傳播，這證實(shí)了定理2.1.令α=0.3，β1=0.05，γ=0.3，μ=0.2，則有R0=2.7014＞1.如圖4所示，知識接收者先快速下降再緩慢下降，最終達(dá)到穩(wěn)定；知識傳播者和知識遺忘者都先快速增加再緩慢增加，最終達(dá)到穩(wěn)定狀態(tài).當(dāng)R0＞1時，知識能夠傳播，并且三個群體都趨于一個正值，這證實(shí)了定理2.2.

圖3 R0＜1時人群密度變化圖Fig.3 Graph of the density of population changing when R0＜1

圖4 R0＞1時人群密度變化圖Fig.4 Graph of the density of population changing when R0＞1

令β1=0.05，γ=0.3，μ=0.2，β2=0.01，如圖5所示，Ik隨著α增加的而增加.知識接收者自學(xué)水平越高，知識傳播者的密度就越大，并且知識傳播者達(dá)到穩(wěn)定狀態(tài)所需要的時間越少，即知識傳播越快.

圖5 α=0.3，0.6，0.9知識傳播者密度變化圖Fig.5 Diagram of the density of knowledge disseminators changing when α=0.3，0.6，0.9

令α=0.2，γ=0.3，μ=0.2，如圖6和圖7所示，Ik隨著β1和β2的增加而增加.知識接收者和知識遺忘者周圍熟人越多，熟人影響越大，知識傳播 者 的 密 度 也 就 越 大.令α=0.2，μ=0.2，β1=0.05，β2=0.01，如圖8所示，Ik隨著γ的增加而減少.知識傳播者的遺忘水平越大，知識傳播者就越少.

圖6 β1=0.03，0.05，0.07知識傳播者密度變化圖Fig.6 Diagram of the density of knowledge disseminators changing when β1=0.03，0.05，0.07

圖7 β2=0.03，0.05，0.07知識傳播者密度變化圖Fig.7 Diagram of the density of knowledge disseminators changing when β2=0.03，0.05，0.07

圖8 γ=0.1，0.3，0.5知識傳播者密度變化圖Fig.8 Diagram of the density of knowledge disseminators changing when γ=0.1，0.3，0.5

4 結(jié)論

本文首次通過考慮熟人作用，在復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)中建立了SIH模型.熟人在知識傳播中起著分享知識、反饋知識以及提醒知識的作用.知識接收者有兩個方式獲取知識，一個是通過熟人分享獲取，另一個則是通過自學(xué)獲取.另外，每個人的記憶力有限，保存知識的時間也有限，知識遺忘者可通過熟人的提醒而重新獲取知識.本文還對知識傳播的動態(tài)性能進(jìn)行理論分析，發(fā)現(xiàn)當(dāng)R0＜1時，系統(tǒng)最終只有知識接收者人群，知識無法傳播；當(dāng)R0＞1時，系統(tǒng)最終有知識接收者、知識傳播者和知識遺忘者三種人群，知識可以傳播.通過在無標(biāo)度網(wǎng)絡(luò)中的數(shù)值仿真，我們證實(shí)了理論分析的正確性，并且發(fā)現(xiàn)知識傳播者的密度與自學(xué)水平和熟人作用呈正相關(guān)，與遺忘水平呈負(fù)相關(guān).在現(xiàn)實(shí)生活中，為了提高知識傳播水平，可以采取以下措施：

1）提高知識接收者的自學(xué)水平；

2）增加知識接收者和知識遺忘者周圍熟人的人數(shù)，提高熟人的作用力；

3）知識傳播者及時回顧或者將知識多應(yīng)用于實(shí)踐以減少遺忘水平.

知識在人群中的傳播機(jī)制是復(fù)雜多樣的.本文只考慮了自學(xué)水平、熟人作用以及遺忘水平，另外本文只采用平均場方程在無標(biāo)度網(wǎng)絡(luò)中進(jìn)行數(shù)值仿真，具有單一性.接下來我們將在這些方面進(jìn)行改進(jìn).