一類導(dǎo)數(shù)壓軸題的解法

李昌成

(新疆烏魯木齊市第八中學(xué) 830002)

1 發(fā)現(xiàn)問題

近期在研究全國各地模擬考試或統(tǒng)考題目發(fā)現(xiàn)，一類同時(shí)含有xex和lnx的求參數(shù)取值范圍的函數(shù)題目，它們可以用分離參數(shù)構(gòu)造函數(shù)等常規(guī)解法作答，但解答過程繁雜.仔細(xì)研究，這類題有其自身的結(jié)構(gòu)特征，宜使用切線放縮法解答.

2 典例研究

整理,得xex-3ax-lnx-1≥0.

令h(x)=xex-3ax-lnx-1，

則h(x)≥0恒成立.

因?yàn)閤ex=elnx·ex=ex+lnx，

所以h(x)=ex+lnx-3ax-lnx-1.

因?yàn)閑x≥x+1，

所以h(x)≥(x+lnx+1)-3ax-lnx-1.

即h(x)≥x-3ax.

所以x-3ax≥0恒成立 .

例2 (重慶市一中2022屆高三上學(xué)期期中考試第16題)已知函數(shù)f(x)的導(dǎo)函數(shù)f′(x)滿足f′(x)-f(x)=e2x，且f(0)=1，當(dāng)x∈(0，+∞)時(shí)，x[f(x)-a]≥1+lnx恒成立，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是____.

分析由f′(x)-f(x)=e2x知f(x)=e2x，根據(jù)條件“x[f(x)-a]≥1+lnx”可以導(dǎo)出特征項(xiàng)“xe2x”，所以適合用切線放縮法解答.

解析因?yàn)?enx)′=nenx，

所以f′(x)-f(x)=e2x=2e2x-e2x.

由同構(gòu)原理,得f(x)=e2x.

所以x[f(x)-a]=x(e2x-a)=xe2x-ax.

結(jié)合x[f(x)-a]≥1+lnx,得

xe2x-ax≥1+lnx.

因?yàn)閤e2x=elnx·e2x=e2x+lnx，

所以e2x+lnx-ax-lnx-1≥0.

因?yàn)閑2x+lnx≥2x+lnx+1，

所以(2x+lnx+1)-ax-lnx-1≥0.

即2x-ax≥0.

所以a≤2.

例3 (西南大學(xué)附屬中學(xué)2022屆高三第一學(xué)期期末考試?yán)砜频?2題)對于任意的x∈(0,+∞)，lnx+2ax+1≤xe3x恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍.

分析本題易于分離參數(shù)，然后利用xex=ex+lnx及ex≥x+1，放縮的同時(shí)構(gòu)造新函數(shù)，可求得參數(shù)的取值范圍.

解析由lnx+2ax+1≤xe3x，x∈(0,+∞)，

因?yàn)閤e3x=elnx·e3x=e3x+lnx，

所以xe3x-lnx-1=e3x+lnx-lnx-1

≥(3x+lnx+1)-lnx-1

=3x.

評析以上三例均含有(或變形得)xex和lnx+1，處理的辦法雷同，恒等變形、放縮、求最值，套路明顯.其本質(zhì)特征是若xex和lnx+1在不等式的異側(cè)，則xex的系數(shù)與lnx的真數(shù)的系數(shù)相反，當(dāng)不具有這種特征時(shí)，解法失效.理由為：λxex=elnλx·ex=ex+lnλx≥x+lnλx+1，所以λxex-lnλx-1=λex+lnx-lnλx-1=λex+lnx才能整體消元.一般取λ=1.這樣題目顯得簡潔明了，也不影響問題的本質(zhì).下面舉一個(gè)形似質(zhì)異的題目，以示區(qū)別.

例4(河南省洛陽市2022屆高三第一次統(tǒng)一考試?yán)砜频?2題)已知函數(shù)f(x)=xa-alnx(a>0)，g(x)=ex-x，若x∈(1,e2)時(shí)，f(x)≤g(x)成立，則實(shí)數(shù)a的最大值是( ).

分析表面上題設(shè)中也含有ex，lnx等，但不具有上述特征，需用其他辦法解答.觀察兩函數(shù)的結(jié)構(gòu)，非常相似，比較其差異可以發(fā)現(xiàn)alnx在f(x)中的“角色”與x在g(x)中“角色”一致，因此要在f(x)的函數(shù)形式上下功夫，結(jié)合對數(shù)恒等式是可以實(shí)現(xiàn)形式統(tǒng)一的.

解析因?yàn)閤=elnx，

所以xa=(elnx)a=ealnx.

因此f(x)=ealnx-alnx=g(alnx).

因?yàn)閒(x)≤g(x)，

所以g(alnx)≤g(x).

因?yàn)間′(x)=ex-1，

當(dāng)x∈(1,e2)時(shí)，g′(x)=ex-1>0，

所以g(x)在(1,e2)上單調(diào)遞增.

所以alnx≤x.

當(dāng)x∈(1,e2)時(shí)，lnx>0，

當(dāng)x∈(1,e)時(shí)，h′(x)<0；

當(dāng)x∈(e,e2)時(shí)，h′(x)>0.

因此h(x)min=e.所以a≤e.故選A.

3 理論溯源

在人教A版(2005年版)普通高中課程標(biāo)準(zhǔn)實(shí)驗(yàn)教科書選修2-2第32頁B組第1題的第3小題：證明ex>1+x(x≠0)，并通過函數(shù)圖象直觀驗(yàn)證結(jié)論.

事實(shí)上，本題通過圖象可得函數(shù)f(x)=ex與h(x)=1+x恰好相切于點(diǎn)(0，1)，當(dāng)x≠0時(shí)，f(x)的圖象始終在h(x)的圖象之上.俗稱切線放縮.它的另一功能是實(shí)現(xiàn)了函數(shù)變換，減少或統(tǒng)一函數(shù)類型，方便于解題.

4 教學(xué)思考

4.1 教學(xué)應(yīng)在公式的證明上下功夫

對于x=elnx，教材是沒有提及的，甚至恒等式alogax=x也沒有提到.這需要教師在教學(xué)中進(jìn)行嚴(yán)格認(rèn)真地證明，而不是直接告訴學(xué)生結(jié)果，直接刷題“硬”用.這樣不僅應(yīng)用別扭，而且容易遺忘.素不知，這是定義的抽象應(yīng)用，等式左邊是以logax為指數(shù)，a為底數(shù)的指數(shù)式，右端可以看作冪，依據(jù)對數(shù)的定義可得alogax=x?logax=logax，并且對x的范圍也沒有限制，所以此式叫恒等式.僅需將a換成e，等式x=elnx就成立了.在教學(xué)中，我們發(fā)現(xiàn)學(xué)生對此不熟悉，更談不上靈活應(yīng)用，對xex=ex+lnx就更加陌生了.所以我們應(yīng)在公式證明上下功夫.

4.2 教學(xué)應(yīng)在公式的理解上下功夫

對于ex≥1+x，我們應(yīng)從形式和幾何意義兩方面進(jìn)行深刻理解.這里的x可以換成任意的符號(hào)，均不影響不等式的正確性，例如en≥1+n將指數(shù)問題轉(zhuǎn)換成數(shù)列了；esinx≥1+sinx將指數(shù)問題轉(zhuǎn)換成三角函數(shù)了；elogax≥1+logax將指數(shù)問題轉(zhuǎn)換成對數(shù)了.另外，從函數(shù)觀點(diǎn)看，左端是曲線，右端是直線，并且二者具有相切關(guān)系，數(shù)形結(jié)合可以解決很多復(fù)雜的問題，尤其是與函數(shù)凸凹性相結(jié)合，是突破難題的一個(gè)殺手锏.例如2017年全國課標(biāo)Ⅱ卷第21題：設(shè)函數(shù)f(x)=(1-x2)ex.

(1)討論f(x)的單調(diào)性；

(2)當(dāng)x≥0時(shí)，f(x)≤ax+1，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

4.3 教學(xué)應(yīng)在變式教學(xué)上下功夫