聚焦核心素養(yǎng) 關(guān)注數(shù)學(xué)應(yīng)用 考查關(guān)鍵能力
——談“函數(shù)模型視角下的概率統(tǒng)計”的復(fù)習(xí)備考

楊 曉

(貴州省遵義師范學(xué)院附屬實驗學(xué)校 563006)

中國高考評價體系提出基礎(chǔ)性、應(yīng)用性、綜合性、創(chuàng)新性考查要求，2021年新高考Ⅱ卷21題全面落實了這4個方面的考查要求，并在應(yīng)用性上進行了重點探索.該題聚焦核心素養(yǎng)，關(guān)注數(shù)學(xué)應(yīng)用，突出理性思維，考查關(guān)鍵能力，發(fā)揮了選拔功能. 該題屬于函數(shù)模型視角下的概率統(tǒng)計試題，其倡導(dǎo)理論聯(lián)系實際，學(xué)以致用，體現(xiàn)數(shù)學(xué)的應(yīng)用價值.

1 真題研究

例題(2021年新高考Ⅱ卷) 一種微生物群體可以經(jīng)過自身繁殖不斷生存下來.設(shè)一個這種微生物為第0代，經(jīng)過一次繁殖后為第1代，再經(jīng)過一次繁殖后為第2代,……，該微生物每代繁殖的個數(shù)是相互獨立的且有相同的分布列.設(shè)X表示1個微生物個體繁殖下一代的個數(shù)，P(X=i)=pi(i=0,1,2,3).

(1)已知p0=0.4,p1=0.3,p2=0.2,p3=0.1，求E(X).

(2)設(shè)p表示該種微生物經(jīng)過多代繁殖后臨近滅絕的概率，p是關(guān)于x的方程p0+p1x+p2x2+p3x3=x的一個最小正實數(shù)根，求證：當(dāng)E(X)≤1時，p=1；當(dāng)E(X)>1時，p<1.

(3)根據(jù)你的理解，說明第(2)問結(jié)論的實際含義.

解析(1)根據(jù)題意，E(X)=0×0.4+1×0.3+2×0.2+3×0.1=1.

(2)根據(jù)題意E(X)=p1+2p2+3p3.

設(shè)f(x)=p3x3+p2x2+(p1-1)x+p0，因為p3+p2+p1+p0=1，故f(0)=p0>0,f(1)=p3+p2+p1-1+p0=0.

f′(x)=3p3x2+2p2x+p1-1,f″(x)=6p3x+2p2>0，所以y=f′(x)在(0,+∞)上單調(diào)遞增.f′(1)=3p3+2p2+p1-1=E(X)-1.

①若E(X)≤1，可得f′(1)≤0.當(dāng)x∈(0,1)時，f′(x)<0，即f(x)在(0,1)上單調(diào)遞減.故x=1為f(x)的最小正零點，即p=1.

②若E(X)>1，可得f′(1)>0.因為f′(0)=p1-1<0，所以在(0,1)上，f′(x)存在唯一零點，設(shè)為x0.當(dāng)x∈(0,x0)時，f′(x)<0,f(x)在(0,x0)上單調(diào)遞減；當(dāng)x∈(x0,1)時，f′(x)>0,f(x)在(x0,1)上單調(diào)遞增.

故f(x)的最小零點在(0,x0)上，即p<1.

綜上所述，當(dāng)E(X)≤1時，p=1；當(dāng)E(X)>1時，p<1.

(3)實際含義：當(dāng)1個微生物個體繁殖下一代的個數(shù)的期望值小于或等于1時，該種微生物經(jīng)過多代繁殖后必然滅絕；當(dāng)1個微生物個體繁殖下一代的個數(shù)的期望值大于1時，該種微生物經(jīng)過多代繁殖后也不會滅絕.

注該題的第(1)問是隨機變量期望的直接計算.第(2)問是從函數(shù)的視角解決零點(方程的根)問題.第(3)問則是根據(jù)數(shù)據(jù)結(jié)果說明概率問題，屬于開放性問題，反映出該生物多代繁殖后，期望值越小，臨近滅絕的概率越大；期望越大，臨近滅絕的概率越小，與我們提倡的三胎政策相吻合.

2 變式訓(xùn)練

函數(shù)模型視角下的概率統(tǒng)計試題創(chuàng)設(shè)真實問題情境，體現(xiàn)數(shù)學(xué)思想方法在解決實際問題中的價值和作用，考查利用數(shù)學(xué)工具解決實際問題的能力.再看下面三道變式題.

變式1 (2022屆高三第一次八校聯(lián)考)元旦將至，學(xué)校文學(xué)社擬舉辦“品詩詞雅韻，看俊采星馳”的古詩詞挑戰(zhàn)賽.初賽階段有個人晉級賽和團體對決賽.個人晉級賽為“信息連線”題，每位參賽者只有一次挑戰(zhàn)機會.比賽規(guī)則為：電腦隨機給出錯亂排列的五句古詩詞和五條相關(guān)的詩詞背景(如詩詞題名、詩詞作者等)，要求參賽者將它們一一配對，有三對或三對以上配對正確即可晉級.團體對決賽為“詩詞問答”題，為了比賽的廣泛性，要求以班級為單位，各班級團隊的參賽人數(shù)不少于30人，且參賽人數(shù)為偶數(shù).為了避免答題先后的干擾，當(dāng)一個班級團隊全體參賽者都答題完畢后，電腦會依次顯示各人的答題是否正確，并按比賽規(guī)則裁定該班級團隊是否挑戰(zhàn)成功.參賽方式有如下兩種，各班可自主選擇其中之一參賽.

方式一:將班級團隊選派的2n個人平均分成n組，每組2人.電腦隨機分配給同一組兩個人一道相同的試題，兩人同時獨立答題，若這兩人中至少有一人回答正確，則該小組闖關(guān)成功.若這n個小組都闖關(guān)成功，則該班級團隊挑戰(zhàn)成功.

方式二:將班級團隊選派的2n個人平均分成2組，每組n人.電腦隨機分配給同一組n個人一道相同的試題，各人同時獨立答題，若這n個人都回答正確，則該小組闖關(guān)成功.若這兩個小組至少有一個小組闖關(guān)成功，則該班級團隊挑戰(zhàn)成功.

(1)甲同學(xué)參加個人晉級賽，他對電腦給出的五組信息有且只有一組能正確配對，其余四組都只能隨機配對，求甲同學(xué)能晉級的概率；

(2)在團體對決賽中，如果你班每位參賽的同學(xué)對給出的試題回答正確的概率均為常數(shù)p(0

(2)設(shè)選擇方式一、二的班級團隊挑戰(zhàn)成功的概率分別為P1，P2.

當(dāng)選擇方式一時，因為兩人都回答錯誤的概率為(1-p2)，則兩人中至少有一人回答正確的概率為1-(1-p)2.所以P1=[1-(1-p)2]n=pn(2-p)n.

當(dāng)選擇方式二時，因為一個小組闖關(guān)成功的概率為pn，則一個小組闖關(guān)不成功的概率為1-pn，所以P2=1-(1-pn)2=pn(2-pn).

所以P1-P2=pn(2-p)n-pn(2-pn)=pn[(2-p)n+pn-2].

設(shè)f(n)=(2-p)n+pn-2，則

f(n+1)-f(n)=(2-p)n+1+pn+1-(2-p)n-pn

=(2-p)n(1-p)+pn(p-1)

=(1-p)[(2-p)n-pn].

因為00,2-p>1，從而(2-p)n>1,pn<1，所以f(n+1)-f(n)>0，即f(n+1)>f(n)，所以f(n)單調(diào)遞增.

因為f(2)=(2-p)2+p2-2=2p2-4p+2=2(p-1)2>0，則當(dāng)n≥15時，f(n)>0，從而P1-P2>0. 即P1>P2.

所以為使本班挑戰(zhàn)成功的可能性更大，應(yīng)選擇方式一參賽.

變式2(2022屆廣州市高三調(diào)研)某校開展“學(xué)習(xí)中國史”的主題學(xué)習(xí)活動. 為了調(diào)查學(xué)生對新中國史的了解情況，需要對學(xué)生進行答題測試，答題測試的規(guī)則如下：每位參與測試的學(xué)生最多有兩次答題機會，每次答一題，第一次答對，答題測試過關(guān)，得5分，停止答題測試；第一次答錯，繼續(xù)第二次答題，若答對，答題測試過關(guān)，得3分；若兩次均答錯，則答題測試不過關(guān)，得0分. 某班有12位學(xué)生參與答題測試，假設(shè)每位學(xué)生第一次和第二次答題答對的概率分別為m，0.5，兩次答題是否答對互不影響，每位學(xué)生答題測試過關(guān)的概率為p.

(1)若m=0.5，求每一位參與答題測試的學(xué)生所得分?jǐn)?shù)的數(shù)學(xué)期望；

(2)設(shè)該班恰有9人答題測試過關(guān)的概率為f(p)，當(dāng)f(p)取最大值時，求p，m.

解析(1)設(shè)每一位參與答題測試的學(xué)生所得分?jǐn)?shù)為隨機變量X，則X的可能取值為5，3，0.

則P(X=5)=0.5,P(X=3)=(1-0.5)×0.5=0.25,P(X=0)=(1-0.5)(1-0.5)=0.25.

故每一位參與答題測試的學(xué)生所得分?jǐn)?shù)的數(shù)學(xué)期望為

E(X)=5×0.5+3×0.25+0×0.25=3.25.

由f′(p)=0，得p=0.75；由f′(p)>0，得0

所以p=0.75是f(p)的極大值點，也是f(p)的最大值點.

由題意得p=1-(1-m)(1-0.5)=0.5+0.5m，所以0.5+0.5m=0.75，解得m=0.5.

所以f(p)取得最大值時，p=0.75，m=0.5.

變式3 (2021年山東省廣饒市)為落實立德樹人根本任務(wù)，堅持五育并舉全面推進素質(zhì)教育，某學(xué)校舉行了乒乓球比賽，其中參加男子乒乓球決賽的12名隊員來自3個不同校區(qū)，三個校區(qū)的隊員人數(shù)分別是3，4，5.本次決賽的比賽賽制采取單循環(huán)方式，即每名隊員進行11場比賽(每場比賽都采取5局3勝制)，最后根據(jù)積分選出最后的冠軍.積分規(guī)則如下：比賽中以3∶0或3∶1取勝的隊員積3分，失敗的隊員積0分；而在比賽中以3∶2取勝的隊員積2分，失敗的隊員積1分.已知第10輪張三對抗李四，設(shè)每局比賽張三取勝的概率均為p(0

(1)比賽結(jié)束后冠亞軍恰好來自不同校區(qū)的概率是多少？

(2)第10輪比賽中，記張三3∶1取勝的概率為f(p).

①求出f(p)的最大值點p0；

②若以p0作為p的值，這輪比賽張三所得積分為X，求X的分布列及期望.

f′(p)=3[3p2(1-p)+p3×(-1)]

=3p2(3-4p)，

②X的可能取值為0，1，2，3.

所以X的分布列為

X0123P132562751281512189256

3 復(fù)習(xí)備考建議

函數(shù)模型視角下的概率統(tǒng)計試題創(chuàng)設(shè)真實問題情境，理論聯(lián)系實際，聚焦核心素養(yǎng)，關(guān)注數(shù)學(xué)應(yīng)用，突出理性思維，考查關(guān)鍵能力，發(fā)揮了選拔功能.我們從以下三點來談?wù)勗诟呷膹?fù)習(xí)備考中如何突破這一類試題.

3.1 注重對歷年高考真題的研究

高考真題是高考命題專家智慧的結(jié)晶，很經(jīng)典而且具有很好的代表性和預(yù)見性，是高三復(fù)習(xí)必備的素材.例如2018年全國Ⅰ卷理科第20題，2017年全國Ⅲ卷理科第18題，2016年全國Ⅰ卷理科第18題，2012年全國課標(biāo)卷理科第18題等都是以生活實際問題為背景，考查函數(shù)思想在概率統(tǒng)計中的應(yīng)用.熟悉這些高考真題，對解決新的概率問題具有很好的借鑒與指導(dǎo)意義.

3.2 掌握概率的相關(guān)知識與函數(shù)知識

要做好一道綜合題，需要掌握很多的知識與思想方法.要解決一道與函數(shù)模型有關(guān)的概率統(tǒng)計題，則需要掌握古典概型、概率分布(超幾何分布、二項分布和正態(tài)分布)、隨機事件的概率計算與數(shù)學(xué)期望、互斥事件與對立事件的概率計算等.此外還需掌握作差法比較兩個數(shù)的大小，利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的單調(diào)性、極值與最值等.

3.3 聚焦核心素養(yǎng)，關(guān)注數(shù)學(xué)應(yīng)用.

新高考對概率統(tǒng)計試題的考查更加關(guān)注數(shù)學(xué)的應(yīng)用性，注重結(jié)合生活實際，創(chuàng)設(shè)真實問題情境，考查數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)與關(guān)鍵能力,同時也綜合考查了高中數(shù)學(xué)常見的數(shù)學(xué)思想方法.

作為一線教師，在平時的教學(xué)尤其是在高三的復(fù)習(xí)備考中，千萬不能忽略對學(xué)生核心素養(yǎng)的培養(yǎng)，同時也要培養(yǎng)學(xué)生綜合應(yīng)用概率、方程、函數(shù)等知識和方法解決實際問題的能力，這樣才能適應(yīng)新高考.