聚焦“待定系數(shù)法”的解題應(yīng)用

朱 磊

(江蘇省新海高級(jí)中學(xué) 222006)

眾所周知，“待定系數(shù)法”是分析、解決有關(guān)代數(shù)問(wèn)題的一種常用解題技巧.如果在解題中能夠加以適時(shí)靈活運(yùn)用，那么可幫助我們確定解題的思維方向，獲得問(wèn)題的簡(jiǎn)捷求解.基于此，本文擬通過(guò)歸類舉例的方式加以具體說(shuō)明，旨在幫助同學(xué)們提升解題的技能技巧.

1 運(yùn)用“待定系數(shù)法”，處理冪函數(shù)問(wèn)題

解析由于f(x)是冪函數(shù)，可設(shè)f(x)=xα，從而根據(jù)f(4)=3f(2)得4a=3×2a，解得a=log23.

所以函數(shù)f(x)=xlog23.

評(píng)注一般地，如果題意給出f(x)是冪函數(shù)，那么可靈活運(yùn)用“待定系數(shù)法”求解函數(shù)f(x)的解析式，此時(shí)應(yīng)設(shè)f(x)=xα，這里α是一個(gè)待定量，可由其他已知條件求解.

2 運(yùn)用“待定系數(shù)法”，處理復(fù)數(shù)問(wèn)題

解析設(shè)復(fù)數(shù)z=a+bi(a,b∈R)，

因?yàn)閦-i=a+(b-1)i，

解得a=b=1.故所求復(fù)數(shù)z=1+i.

評(píng)注一般地，求解有關(guān)復(fù)數(shù)問(wèn)題時(shí)，如果已知條件中無(wú)具體的復(fù)數(shù)，那么解題時(shí)可先設(shè)出復(fù)數(shù)的代數(shù)形式，化抽象為具體，有利于活用復(fù)數(shù)的四則運(yùn)算，進(jìn)一步分析、解決問(wèn)題.

3 運(yùn)用“待定系數(shù)法”，求解數(shù)列的通項(xiàng)公式

例3在數(shù)列{an}中，a2=4,a5=22,a6=32，且通項(xiàng)公式an是二次函數(shù)，求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式.

解析因?yàn)閧an}的通項(xiàng)公式an是二次函數(shù)，

所以可設(shè)an=an2+bn+c(a≠0).

因此，根據(jù)a2=4,a5=22,a6=32，可得

故所求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式為an=n2-n+2.

評(píng)注從函數(shù)的角度看，本題實(shí)際上研究的是根據(jù)二次函數(shù)圖象上的三個(gè)不同的點(diǎn)，求解二次函數(shù)的解析式.結(jié)合本題，我們可進(jìn)一步理解、認(rèn)識(shí)：數(shù)列是一類特殊的函數(shù).

4 運(yùn)用“待定系數(shù)法”，求解圓的方程

例4若圓C經(jīng)過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)和點(diǎn)(4,0)，且與直線y=1相切，則圓C的方程是____.

解析設(shè)圓C的方程為

(x-a)2+(y-b)2=r2(r>0)，

則根據(jù)題意可得

評(píng)注運(yùn)用“待定系數(shù)法”求解圓的方程時(shí)，可活用圓方程的標(biāo)準(zhǔn)式或一般式.具體問(wèn)題求解的關(guān)鍵是先依據(jù)題設(shè)構(gòu)建關(guān)于參數(shù)a,b,r(或D,E,F)的方程組，再求解該方程組.

5 運(yùn)用“待定系數(shù)法”，求解直線的方程

例5已知點(diǎn)P(2,0)，圓C:x2+y2-6x+4y+4=0，若點(diǎn)P∈l，且圓心C到直線l的距離等于1，求直線l的方程.

解析若直線l的斜率存在，則設(shè)直線l的方程為y=k(x-2)，即kx-y-2k=0.

化簡(jiǎn),得3x+4y-6=0.

若直線l的斜率不存在，則易知直線l的方程為x=2，所以圓心C(3,-2)到直線l的距離等于1，適合題意.

綜上，所求直線l的方程為3x+4y-6=0，或者x=2.

評(píng)注運(yùn)用“待定系數(shù)法”求直線的方程時(shí)，可靈活運(yùn)用直線方程的幾種不同形式.特別提醒：利用點(diǎn)斜式、斜截式時(shí)，若不明確直線的斜率是否存在，則應(yīng)分情況加以討論.

6 運(yùn)用“待定系數(shù)法”，求解圓錐曲線的方程

解析設(shè)橢圓的方程為

則根據(jù)題意，得

7 運(yùn)用“待定系數(shù)法”，求解函數(shù)的解析式

例7根據(jù)下列條件，求解函數(shù)f(x)的解析式：

(1)已知導(dǎo)函數(shù)f′(x)是一次函數(shù)，且x2f′(x)-(2x-1)f(x)=1；

(2)已知函數(shù)f(x)是三次函數(shù)，且f(0)=3,f′(0)=0,f′(1)=-3,f′(2)=0.

解析(1)根據(jù)導(dǎo)函數(shù)f′(x)是一次函數(shù)，可知f(x)是一元二次函數(shù)，從而設(shè)函數(shù)f(x)=ax2+bx+c(a≠0)，則f′(x)=2ax+b.

從而，根據(jù)x2f′(x)-(2x-1)f(x)=1，得

x2(2ax+b)-(2x-1)(ax2+bx+c)=1.

化簡(jiǎn)，得(a-b)x2+(b-2c)x+c-1=0.

又因?yàn)樯鲜綄?duì)?x∈R恒成立，則有a=b,b=2c,c=1,解得a=2,b=2,c=1.

故f(x)=2x2+2x+1.

(2)由于f(x)是三次函數(shù)，因此可設(shè)函數(shù)

f(x)=ax3+bx2+cx+d(a≠0)，

則求導(dǎo)得f′(x)=3ax2+2bx+c.

于是，由題意可得

故f(x)=x3-3x2+3.

評(píng)注如果已知所給函數(shù)是一元二次函數(shù)(或一元三次函數(shù))，那么活用“待定系數(shù)法”可巧求函數(shù)解析式，往往需要設(shè)為一元二次函數(shù)(或一元三次函數(shù))的一般式或其他形式.

8 運(yùn)用“待定系數(shù)法”，處理有關(guān)立體幾何問(wèn)題

圖1 圖2 圖3

解析如圖3所示，建立空間坐標(biāo)系A(chǔ)-xyz，則點(diǎn)C(4,4,0),E(4,0,2),P(0,0,4),D(0,4,0).

根據(jù)圖形，可設(shè)點(diǎn)F(a,0,0)，

設(shè)n=(x1,y1,z1)是平面DEF的法向量，

設(shè)m=(x2,y2,z2)是平面PCE的法向量，

令x2=1，則y2=1,z2=2，故取m=(1,1,2)．

因此，由平面DEF⊥平面PCE,得m·n=0

評(píng)注一般地，運(yùn)用“待定系數(shù)法”可幫助我們順利求解平面法向量的坐標(biāo).特別地，如果能夠由圖形直接確定直線與平面垂直，那么該平面的法向量的坐標(biāo)易觀察獲得，此時(shí)就不需要利用“待定系數(shù)法”.

綜上可知，靈活運(yùn)用“待定系數(shù)法”能夠幫助我們根據(jù)題意創(chuàng)設(shè)有利條件，迅速明確解題的方向，從而便于順利求解目標(biāo)問(wèn)題.顯然，只有在解題實(shí)踐之后，不斷進(jìn)行歸納、總結(jié)，才能在具體解題時(shí)努力做到活用“待定系數(shù)法”迅速處理相關(guān)數(shù)學(xué)問(wèn)題.