一類非參數(shù)不確定系統(tǒng)的自適應(yīng)神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)重復(fù)學(xué)習(xí)控制①

許昌源 謝樹宗 陳強(qiáng)

(浙江工業(yè)大學(xué)信息工程學(xué)院 杭州310023)

0 引言

重復(fù)學(xué)習(xí)控制適用于在無限區(qū)間上周期運(yùn)行的被控對象,利用上一周期運(yùn)行的數(shù)據(jù)修正當(dāng)前周期的控制輸入,實(shí)現(xiàn)對周期軌跡的零誤差跟蹤。與其他控制方法相比,滑?？刂品椒軌?qū)崿F(xiàn)對被控系統(tǒng)的降階控制,具有穩(wěn)定范圍寬、動(dòng)態(tài)響應(yīng)快、魯棒性強(qiáng)、控制實(shí)現(xiàn)簡單等優(yōu)點(diǎn),能夠很好適用于重復(fù)學(xué)習(xí)控制。因而重復(fù)學(xué)習(xí)控制在實(shí)際系統(tǒng)中獲得了廣泛應(yīng)用,如在機(jī)械臂、數(shù)控機(jī)床、精密加工等領(lǐng)域[1-2]。

經(jīng)典的重復(fù)學(xué)習(xí)控制通常也被稱為重復(fù)控制,主要思路是通過在頻域內(nèi)應(yīng)用內(nèi)模原理構(gòu)造周期為T的任意周期信號(hào)內(nèi)模,實(shí)現(xiàn)對周期信號(hào)的完全跟蹤[3-4]。文獻(xiàn)[5]針對具有周期性干擾的時(shí)滯系統(tǒng),設(shè)計(jì)了新型的連續(xù)時(shí)間重復(fù)控制器。文獻(xiàn)[6]針對一類線性系統(tǒng),提出了基于二維連續(xù)離散混合模型的不確定系統(tǒng)設(shè)計(jì)重復(fù)控制系統(tǒng)的方法。文獻(xiàn)[7]針對一類具有非周期性擾動(dòng)和時(shí)變結(jié)構(gòu)不確定性的嚴(yán)格適當(dāng)線性系統(tǒng)設(shè)計(jì)基于觀測器的改進(jìn)重復(fù)控制器。

近年來,基于Lyapunov 方法的重復(fù)學(xué)習(xí)控制引起了廣泛關(guān)注[8-12]。文獻(xiàn)[13]針對一類時(shí)變參數(shù)不確定非線性系統(tǒng),提出一種周期自適應(yīng)學(xué)習(xí)控制方法,并證明閉環(huán)系統(tǒng)的全局漸近穩(wěn)定性。文獻(xiàn)[14]針對一類非線性參數(shù)化系統(tǒng)提出一種自適應(yīng)重復(fù)學(xué)習(xí)控制方法,在存在未知常數(shù)和周期時(shí)間函數(shù)的情況下,可以實(shí)現(xiàn)自適應(yīng)系統(tǒng)的全局穩(wěn)定性和跟蹤誤差的漸近收斂。然而,實(shí)際系統(tǒng)往往存在的負(fù)載轉(zhuǎn)矩和未建模動(dòng)態(tài)等非參數(shù)不確定性使得參數(shù)化的重復(fù)學(xué)習(xí)控制方法不能直接適用。

針對帶有非參數(shù)不確定性的非線性系統(tǒng),文獻(xiàn)[15]提出了一種新型自適應(yīng)重復(fù)學(xué)習(xí)控制方法,實(shí)現(xiàn)對非參數(shù)化不確定的非線性動(dòng)態(tài)系統(tǒng)的周期性軌跡的完全跟蹤。文獻(xiàn)[16]在重復(fù)學(xué)習(xí)控制中引入Pade 逼近方法解決系統(tǒng)中的不確定問題,并將該方法應(yīng)用于平面機(jī)械手,實(shí)現(xiàn)高精度跟蹤。文獻(xiàn)[17]提出了一種基于backstepping 控制策略的重復(fù)學(xué)習(xí)控制方法來處理具有非參數(shù)不確定性的非線性動(dòng)力系統(tǒng)的周期性跟蹤任務(wù),但并未考慮對重復(fù)學(xué)習(xí)律中的學(xué)習(xí)項(xiàng)進(jìn)行限幅。文獻(xiàn)[18]針對帶有非參數(shù)不確定性的步進(jìn)電機(jī),設(shè)計(jì)魯棒重復(fù)學(xué)習(xí)控制器,保證轉(zhuǎn)子位置跟蹤誤差指數(shù)收斂到極小的范圍內(nèi)。文獻(xiàn)[19]針對工業(yè)雙軸精密龍門提出一種自適應(yīng)魯棒重復(fù)控制方法,利用傅立葉級數(shù)展開估計(jì)和補(bǔ)償周期性不確定性,進(jìn)而設(shè)計(jì)非線性魯棒項(xiàng)減小輪廓誤差。上述文獻(xiàn)中,非參數(shù)不確定性的界限要求在控制器設(shè)計(jì)中已知或部分已知,且學(xué)習(xí)律大多設(shè)計(jì)為部分限幅學(xué)習(xí)律,難以保證將學(xué)習(xí)項(xiàng)限制在指定的界內(nèi)。

基于以上討論,本文針對具有非參數(shù)化不確定性的永磁同步電機(jī)系統(tǒng),提出一種自適應(yīng)神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)重復(fù)學(xué)習(xí)控制方法,實(shí)現(xiàn)對周期性期望軌跡的高精度跟蹤。針對永磁同步電機(jī)中的非參數(shù)不確定性,將其分為周期性部分與非周期性部分,其中周期性部分可設(shè)計(jì)重復(fù)學(xué)習(xí)律進(jìn)行處理,非周期性部分通過設(shè)計(jì)神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)進(jìn)行估計(jì)和補(bǔ)償,避免使用Lipschitz假設(shè)條件。同時(shí),本文設(shè)計(jì)全限幅學(xué)習(xí)律對周期性期望控制輸入進(jìn)行估計(jì),與已有的部分限幅學(xué)習(xí)律相比,該學(xué)習(xí)律可保證估計(jì)值被限制在指定的界內(nèi)。

1 問題的提出

考慮如下非參數(shù)不確定系統(tǒng)

其中,x=[x1,x2,…,xn]T∈Rn為系統(tǒng)狀態(tài),u∈R表示控制輸入,f(x)和g(x) 為未知光滑有界的非線性函數(shù),其中f(x) 表示系統(tǒng)中的非參數(shù)不確定性,g(x) 表示與狀態(tài)相關(guān)的控制增益。

假設(shè)1假設(shè)存在正常數(shù)g0和g1,滿足g(x)≥g0＞0,且≤g1。

本文考慮周期為T的有界期望軌跡xr=[x1r,x2r,…,xnr]T,即xr(t)=xr(t -T),可構(gòu)造期望控制輸入

滿足

由xr的周期性可知,ur同樣為周期為T的周期信號(hào),即ur(t)=ur(t -T)。

本文控制目標(biāo)為,根據(jù)期望軌跡xr和期望控制輸入ur的周期特性,設(shè)計(jì)神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)重復(fù)學(xué)習(xí)控制器u,實(shí)現(xiàn)系統(tǒng)狀態(tài)x對期望軌跡xr的高精度跟蹤。

2 神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)重復(fù)學(xué)習(xí)控制

2.1 誤差定義與滑模面設(shè)計(jì)

定義跟蹤誤差為

設(shè)計(jì)滑模面為

其中ci(2 ≤i≤n) 為設(shè)計(jì)參數(shù),并使得多項(xiàng)式en +cnen-1+…+c2e1為Hurwitz 多項(xiàng)式。

對式(5)求導(dǎo)可得:

由式(6)可得:

在滑模動(dòng)態(tài)式(7)中,系統(tǒng)不確定性并無表現(xiàn)出明顯的周期特性,因而難以直接基于式(7)設(shè)計(jì)重復(fù)學(xué)習(xí)控制器。為此,本文構(gòu)造周期性期望控制輸入式(2),并由式(7)可得:

其中,非周期不確定性G(x,xr) 表達(dá)式為

非周期不確定項(xiàng)G(x,xr) 可通過神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)進(jìn)行估計(jì),由式(2)以及f(xr)、g(xr) 的有界性可知,期望控制輸入ur為有界函數(shù),即存在正常數(shù)滿足| ur|≤。根據(jù)期望控制輸入ur的周期性,可設(shè)計(jì)重復(fù)學(xué)習(xí)律為

其中,μ為學(xué)習(xí)增益,sat(·)為飽和函數(shù),對任一標(biāo)量a有

本文通過構(gòu)造周期參考輸入信號(hào)ur設(shè)計(jì)重復(fù)學(xué)習(xí)律進(jìn)行估計(jì),而非周期不確定性G(x,xr) 通過神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)進(jìn)行估計(jì)補(bǔ)償,以實(shí)現(xiàn)對給定周期信號(hào)的高精度跟蹤。

注1為處理非周期不確定項(xiàng)G(x,xr),現(xiàn)有文獻(xiàn)[18]多采用局部Liptchiz 條件將其放縮為參數(shù)不確定進(jìn)行處理。與文獻(xiàn)[18]不同,本文采用神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)估計(jì)該非周期不確定項(xiàng),從而避免使用Lipschitz 假設(shè)條件。

注2為保證估計(jì)值的有界性,現(xiàn)有文獻(xiàn)[15,18]中多采用部分限幅形式的學(xué)習(xí)律,形式為-φ(t)μs。然而,未限幅項(xiàng)φ(t)μs的存在,使得難以被限制在指定界內(nèi)。與文獻(xiàn)[15,18]不同,本文設(shè)計(jì)的全限幅學(xué)習(xí)律式(10)由于對和分別進(jìn)行限幅,因此能夠確保被有效限制在指定的界內(nèi)。

2.2 神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)重復(fù)學(xué)習(xí)設(shè)計(jì)

設(shè)計(jì)神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)逼近不確定函數(shù)為

其中,X∈ΩZ為輸入向量;ΩZ∈R為一緊湊子集;ε為近似誤差,存在一個(gè)正常數(shù)εN,滿足| ε|≤εN;?(X) ∈Rν為神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的基函數(shù);ν(ν ＞1) 為神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的節(jié)點(diǎn)數(shù);W*∈Rν為理想權(quán)重矩陣,定義為

其中,W∈Rν為權(quán)重矩陣,選擇以下sigmoid 函數(shù)

其中,l1、l2、l3、l4為適當(dāng)?shù)恼?shù)。

選取Lyapunov 函數(shù)

由式(18)可設(shè)計(jì)控制器為

其中,λ、kg ＞0,將式(19)代入式(18)可得:

其中,σ ＞0,將式(21)代入式(20)得:

3 收斂性分析

引理1[20]對于給定標(biāo)量a和b,若| a |≤ˉb,其中ˉb為b的上界,以下不等式成立

定理1針對系統(tǒng)式(1),給定周期性期望軌跡xr,設(shè)計(jì)重復(fù)學(xué)習(xí)控制器式(19),重復(fù)學(xué)習(xí)律式(10),自適應(yīng)律式(21),系統(tǒng)的跟蹤誤差可收斂至原點(diǎn)附近的鄰域內(nèi)。

證明選取Lyapunov 函數(shù)

對式(24)求導(dǎo),并根據(jù)性質(zhì)a2-b2=(a+b)(a -b) 可得:

根據(jù)式(10),則由式(26)可得:

將式(10)代入式(27)并根據(jù)引理1 可得:

根據(jù)楊氏不等式可得:

將式(29)和(30)代入式(28)可得:

根據(jù)滑模面式(5)的定義,跟蹤誤差e1能夠漸近收斂到零點(diǎn)附近的鄰域內(nèi)。

4 仿真結(jié)果及分析

本節(jié)通過永磁同步電機(jī)模型進(jìn)行驗(yàn)證所提神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)重復(fù)學(xué)習(xí)方法的有效性,并將本文所提方法(M1)與自適應(yīng)神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)控制方法(M2)進(jìn)行對比。

永磁同步電機(jī)模型表達(dá)式如式(35)所示。

其中,iq為q軸定子電流,J是慣性系數(shù),B為粘滯摩擦系數(shù),np是極對數(shù),?f是磁鏈,TL(θ) 表示與位置有關(guān)的負(fù)載轉(zhuǎn)矩,θ、ω分別是轉(zhuǎn)子位置和角速度。

表1 永磁同步電機(jī)的模型參數(shù)

仿真中設(shè)置轉(zhuǎn)子位置的參考軌跡x1r(t)=0.2πsin(2πt),其周期為T=1 s,永磁同步電機(jī)的初始狀態(tài)設(shè)置為x1(0)=0,x2(0)=0。本文方法(M1)的控制律如式(14)所示,神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)參數(shù)為l1=3.9,l2=10,l3=8,l4=0.5;控制參數(shù)設(shè)置為kg=0.02,λ=0.02,[0,0,0,0]T;參數(shù)σ=5,μ=0.5,γ=0.9。

自適應(yīng)神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)控制方法[21](M2)的控制律為

神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)參數(shù)為l1=15,l2=2,l3=10,l4=0.5,控制參數(shù)的設(shè)置與M1 方法一致,即kg=0.02,λ=0.02,[0,0,0,0]T,參數(shù)σ=5,γ=0.9。

仿真結(jié)果如圖1～圖5 所示,圖1 為M1 和M2方法的位置跟蹤效果圖,可以看出本文所提M1 方法較M2 具有更好的跟蹤精度。圖2 和圖3 分別為位置跟蹤誤差對比圖和速度跟蹤誤差對比圖,通過對比可以看出M2 方法的跟蹤誤差仍具有一定的周期性。與M2 相比,本文提出的M1 方法由于能夠有效補(bǔ)償周期不確定性,因而可以減小穩(wěn)態(tài)跟蹤誤差,實(shí)現(xiàn)對給定周期性期望軌跡的精確跟蹤。圖4 給出了M1 方法的重復(fù)學(xué)習(xí)律對期望控制輸入ur的估計(jì)圖,從圖中可看出式(12)中φ(t) 的設(shè)計(jì),使得參考輸入的估計(jì)值保持連續(xù)性,且重復(fù)學(xué)習(xí)律式(10)對于周期性非參數(shù)不確定性實(shí)現(xiàn)了較好的補(bǔ)償性能。兩種方法的控制輸入如圖5 所示,從圖中可以看出,兩種方法的控制信號(hào)幅值比較接近。仿真結(jié)果顯示了本文所提出的重復(fù)學(xué)習(xí)方法能較好地處理系統(tǒng)中的非參數(shù)不確定性,實(shí)現(xiàn)了對給定周期期望軌跡的精確跟蹤。

圖1 位置跟蹤效果

圖2 位置跟蹤誤差

圖3 速度跟蹤誤差

圖4 M1 方法期望控制輸入ur 的估計(jì)

圖5 控制輸入

5 結(jié)論

本文針對一類非參數(shù)不確定系統(tǒng)提出一種自適應(yīng)神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)重復(fù)學(xué)習(xí)控制方法。利用期望周期軌跡的周期特性構(gòu)造周期控制輸入信號(hào),并設(shè)計(jì)全限幅學(xué)習(xí)律進(jìn)行估計(jì),保證學(xué)習(xí)項(xiàng)的有界性?；贚yapunov 方法設(shè)計(jì)重復(fù)學(xué)習(xí)控制器,并設(shè)計(jì)神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)對非周期不確定性及干擾進(jìn)行估計(jì),使跟蹤誤差收斂于零點(diǎn)附近的鄰域內(nèi),實(shí)現(xiàn)高精度跟蹤。最后,基于Lyapunov 方法對誤差收斂性進(jìn)行了分析,并通過仿真以及電機(jī)實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證了本文所提方法的有效性。