呂欣然，張 萌，馬 麗，王 彪

(西南大學(xué) 物理科學(xué)與技術(shù)學(xué)院學(xué)校，重慶 400715)

近年來，國(guó)內(nèi)學(xué)者聚焦于研究基于特定條件下的耦合形式的耦合擺振動(dòng)[1]，但針對(duì)韋氏耦合形式的振轉(zhuǎn)耦合振子的研究仍然較少。而國(guó)外對(duì)于韋氏擺現(xiàn)有的研究均是基于已有公式推導(dǎo)出的特定條件下的韋氏擺裝置所測(cè)試的數(shù)據(jù)，其可推廣性有待提高。

1 研究?jī)?nèi)容與方法

對(duì)于韋氏擺運(yùn)動(dòng)，其主要是由一個(gè)彈簧和一個(gè)重物(帶側(cè)耳的剛性圓柱)組成的彈簧振子，重物可以在彈簧的作用下作豎直方向的伸縮簡(jiǎn)諧振動(dòng)(豎直方向位移為x)，也可以作水平面內(nèi)的往復(fù)扭轉(zhuǎn)運(yùn)動(dòng)(水平扭轉(zhuǎn)角度為θ)[2]。

抬升擺錘至平衡位置之上后釋放，擺錘將沿彈簧中心線進(jìn)行上下振蕩。經(jīng)過3～5 s無明顯扭動(dòng)的上下振動(dòng)后，擺錘在水平面內(nèi)的扭轉(zhuǎn)幅度逐漸增大，而豎直方向的振動(dòng)幅度逐漸減小，直至停止上下振動(dòng)。此時(shí)擺錘在水平面內(nèi)的扭轉(zhuǎn)幅度最大，角度可達(dá)180°以上。經(jīng)過3～5 s的水平扭轉(zhuǎn)運(yùn)動(dòng)后，擺錘再次逐漸開始上下振動(dòng)，如此周期性地重復(fù)上下振動(dòng)與水平往復(fù)扭轉(zhuǎn)運(yùn)動(dòng)的轉(zhuǎn)換過程。

1.1 理論模型分析

對(duì)于韋氏擺運(yùn)動(dòng)，其主要是由一個(gè)彈簧和一個(gè)重物(帶側(cè)耳的剛性圓柱)組成的彈簧振子，重物可以在彈簧的作用下作豎直方向的伸縮簡(jiǎn)諧振動(dòng)(豎直方向位移為x)，也可以作水平面內(nèi)的往復(fù)扭轉(zhuǎn)運(yùn)動(dòng)(水平扭轉(zhuǎn)角度為θ)。

抬升擺錘至平衡位置之上后釋放，擺錘將沿彈簧中心線進(jìn)行上下振蕩。經(jīng)過3～5 s無明顯扭動(dòng)的上下振動(dòng)后，擺錘在水平面內(nèi)的扭轉(zhuǎn)幅度逐漸增大，而豎直方向的振動(dòng)幅度逐漸減小，直至停止上下振動(dòng)。此時(shí)擺錘在水平面內(nèi)的扭轉(zhuǎn)幅度最大，角度可達(dá)180°以上。經(jīng)過3～5 s的水平扭轉(zhuǎn)運(yùn)動(dòng)后，擺錘再次逐漸開始上下振動(dòng)，如此周期性地重復(fù)上下振動(dòng)與水平往復(fù)扭轉(zhuǎn)運(yùn)動(dòng)的轉(zhuǎn)換過程。

1.1.1 共振頻率條件

當(dāng)外界周期性驅(qū)動(dòng)力的頻率等于彈簧的固有頻率時(shí)，系統(tǒng)振幅可達(dá)最大，此即共振現(xiàn)象。韋氏擺的運(yùn)動(dòng)是由豎直和水平兩種模態(tài)的運(yùn)動(dòng)耦合而成，因此存在兩個(gè)自由度，對(duì)于每個(gè)模態(tài)都其有對(duì)應(yīng)的特征頻率解。豎直振動(dòng)與水平扭轉(zhuǎn)運(yùn)動(dòng)都存在各自的固有頻率，特征頻率由固有頻率耦合而成。運(yùn)動(dòng)中，擺錘對(duì)外表現(xiàn)的合運(yùn)動(dòng)頻率均可由兩種固有頻率經(jīng)不同程度的耦合得到。豎直方向振動(dòng)的固有頻率為ωz，水平方向扭轉(zhuǎn)運(yùn)動(dòng)的固有頻率為ωθ。兩種振動(dòng)模態(tài)互為各自周期性驅(qū)動(dòng)力。因此，當(dāng)ωz與ωθ趨于相等時(shí)，兩模態(tài)均可趨近振幅最大的共振狀態(tài)。此時(shí)擺錘對(duì)外表現(xiàn)的合運(yùn)動(dòng)頻率亦為特征頻率。

1.1.2 彈簧系數(shù)條件

為更好地滿足韋氏擺共振的頻率條件，韋氏擺裝置中使用的彈簧也需滿足一定條件。下面進(jìn)行推導(dǎo)。

對(duì)與擺錘相比，自身質(zhì)量與轉(zhuǎn)動(dòng)慣量可忽略不計(jì)的理想彈簧來說，其豎直方向振動(dòng)固有頻率與水平面內(nèi)扭轉(zhuǎn)角頻率分別為

(1)

(2)

式中，m和I分別為重物的質(zhì)量和轉(zhuǎn)動(dòng)慣量。其中，彈簧的勁度系數(shù)k與扭轉(zhuǎn)系數(shù)δ可寫作下式：

(3)

(4)

(G：剪切模量，E：楊氏模量，d：彈簧導(dǎo)線直徑，D：平均線圈直徑，n：繞組數(shù))[3]合并兩式可以得到彈簧的線圈直徑與彈簧的彈性參數(shù)與剛度參數(shù)間滿足以下關(guān)系式：

(5)

由前分析可知，韋氏擺達(dá)到共振需要滿足

ωz=ωθ

(6)

將式(1)～(5)帶入可得彈簧與重物之間需滿足的參數(shù)關(guān)系。這對(duì)于挑選重物與彈簧組裝韋氏擺裝置有一定的指導(dǎo)意義。

1.2 建立動(dòng)力學(xué)模型

對(duì)一根柔軟彈簧，其勁度系數(shù)為k，扭轉(zhuǎn)系數(shù)為δ。彈簧下端懸掛一質(zhì)量為m，轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為I的重錘。以彈簧平衡位置為原點(diǎn)，建立空間柱坐標(biāo)系，z為縱坐標(biāo)，θ為水平方向角度坐標(biāo)。寫出系統(tǒng)拉格朗日方程：

(7)

(8)

(9)

若使韋氏擺達(dá)到共振情況，需滿足

(10)

(11)

(12)

將所求得的特征頻率表達(dá)式帶入式(8)、(9)中，可得韋氏擺豎直方向振動(dòng)軌跡方程(13)與水平面內(nèi)扭轉(zhuǎn)振動(dòng)方程(14)：

(13)

(14)

2 實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證

2.1 實(shí)驗(yàn)準(zhǔn)備

實(shí)驗(yàn)器材：重錘、不同質(zhì)量的螺帽、鐵皮卷、不同規(guī)格的彈簧、游標(biāo)卡尺、三線擺轉(zhuǎn)動(dòng)慣量測(cè)量?jī)x、高鐵架臺(tái)。

實(shí)驗(yàn)中所采用的重錘上的螺桿可以通過組裝質(zhì)量不同的螺帽或鐵皮卷進(jìn)行配重，也通過改變配重在螺桿上的距離改變轉(zhuǎn)動(dòng)慣量。

為了更好地用tracker進(jìn)行追蹤，在螺桿上粘貼輕質(zhì)紅色標(biāo)記，以利于水平扭轉(zhuǎn)追蹤；在重錘底部粘貼白色細(xì)條標(biāo)記，以利于豎直振動(dòng)追蹤。

2.2 運(yùn)動(dòng)模態(tài)的周期性轉(zhuǎn)化行為

同等條件下，在鐵架臺(tái)底部和正對(duì)鐵架臺(tái)處安置拍攝裝置同時(shí)進(jìn)行拍攝，保證拍攝平面與物體運(yùn)動(dòng)平面平行。實(shí)驗(yàn)中利用tracker在豎直振動(dòng)模式和水平扭轉(zhuǎn)模式下追蹤示意圖如圖1所示。

圖1 Tracker追蹤圖

將同一條件下兩種模式的tracker追蹤所得Z-t圖與θ-t圖進(jìn)行擬合，擬合結(jié)果如圖2所示。

圖2 豎直方向與水平方向軌跡追蹤圖

需要注意的是，此圖中因兩者的縱坐標(biāo)不同，無法定量比較，因此只需關(guān)注兩者橫坐標(biāo)的關(guān)系?？梢园l(fā)現(xiàn)，韋氏擺運(yùn)動(dòng)過程中其豎直振動(dòng)與水平扭轉(zhuǎn)運(yùn)動(dòng)確實(shí)存在周期上的相互轉(zhuǎn)化。當(dāng)豎直振動(dòng)達(dá)到最弱時(shí)，水平扭轉(zhuǎn)運(yùn)動(dòng)也相應(yīng)達(dá)到最強(qiáng)；而隨著水平扭轉(zhuǎn)運(yùn)動(dòng)的減弱，豎直振動(dòng)也對(duì)應(yīng)增強(qiáng)。

2.3 理論模型驗(yàn)證

將tracker追蹤得到的豎直運(yùn)動(dòng)數(shù)據(jù)導(dǎo)入matlab進(jìn)行傅里葉頻譜分析，得到結(jié)果如圖3所示。根據(jù)理論分析可知，圖中兩個(gè)尖峰值處所對(duì)應(yīng)的橫坐標(biāo)即為韋氏擺運(yùn)動(dòng)的兩個(gè)特征頻率F1和F2，從而得到特征角頻率ω1、ω2。

圖3 傅里葉頻譜分析圖

根據(jù)建立的韋氏擺豎直振動(dòng)理論軌跡公式，將初始條件和特征角頻率帶入，通過matlab繪制函數(shù)(圖4)，與實(shí)際振動(dòng)曲線(圖5)進(jìn)行同等標(biāo)度擬合，擬合結(jié)果如圖6所示，在誤差范圍內(nèi)以及理論建模時(shí)不考慮能量耗散的前提下，發(fā)現(xiàn)在拍頻、平均角頻率、耦合振幅上擬合效果良好。

圖4 Matlab繪制理論運(yùn)動(dòng)軌跡

圖5 實(shí)際運(yùn)動(dòng)軌跡

圖6 實(shí)驗(yàn)運(yùn)動(dòng)軌跡與理論運(yùn)動(dòng)方程等標(biāo)度擬合

2.4 不同參數(shù)對(duì)運(yùn)動(dòng)的影響

證明韋氏擺運(yùn)動(dòng)存在水平和豎直兩種模式間的周期性轉(zhuǎn)化現(xiàn)象后，采用控制變量法探究不同參數(shù)對(duì)韋氏擺運(yùn)動(dòng)的影響。

2.4.1 初始條件z0

初始條件z0對(duì)運(yùn)動(dòng)的影響。在其他條件相同時(shí)，黃色軌跡在距離平衡點(diǎn)18 cm處釋放，藍(lán)色軌跡在20 cm處釋放，將兩者進(jìn)行進(jìn)行同等標(biāo)度擬合，得到圖7。分析其運(yùn)動(dòng)軌跡，發(fā)現(xiàn)兩者的波包最大振幅與z0成正比，拍頻、平均頻率和耦合振幅幾乎不變。

圖7 不同z0情況下的軌跡對(duì)比圖

2.4.2 初始條件θ0

初始條件θ0對(duì)運(yùn)動(dòng)的影響。在其他條件相同時(shí)，藍(lán)色軌跡在距離平衡位置2π處釋放，紅色軌跡在距離平衡位置4π處釋放，將兩者進(jìn)行進(jìn)行同等標(biāo)度擬合，得到圖8。分析其運(yùn)動(dòng)軌跡，發(fā)現(xiàn)兩者的波包最大振幅與θ0成正比，拍頻、平均頻率和耦合振幅幾乎不變。因此，初始條件z0和θ0主要影響表征分運(yùn)動(dòng)強(qiáng)度的波包最大振幅，對(duì)表征運(yùn)動(dòng)轉(zhuǎn)化的耦合振幅影響不大。

圖8 不同θ0情況下軌跡對(duì)比

2.4.3 轉(zhuǎn)動(dòng)慣量I

在其他條件相同時(shí)，如圖9所示，三條軌跡中擺錘的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量分別為1.65 gm2,1.55 gm2和1.48 gm2。分析其運(yùn)動(dòng)軌跡，發(fā)現(xiàn)其與初始條件Z0和θ0對(duì)運(yùn)動(dòng)影響不同的是，轉(zhuǎn)動(dòng)慣量I的改變不僅影響運(yùn)動(dòng)的波包最大振幅，還會(huì)影響豎直振動(dòng)和水平轉(zhuǎn)動(dòng)的耦合情況。

圖9 不同轉(zhuǎn)動(dòng)慣量I下運(yùn)動(dòng)軌跡對(duì)比

根據(jù)理論模型，系統(tǒng)要實(shí)現(xiàn)運(yùn)動(dòng)完全轉(zhuǎn)化的韋氏擺現(xiàn)象，豎直振動(dòng)和水平轉(zhuǎn)動(dòng)的固有頻率需滿足相等關(guān)系，即(6)式。求解該等式，可以得到實(shí)驗(yàn)中實(shí)現(xiàn)韋氏擺共振現(xiàn)象所需滿足的擺錘理論轉(zhuǎn)動(dòng)慣量，為1.5 gm2。三種情況中，紫色軌跡擺錘轉(zhuǎn)動(dòng)慣量最接近理論值，因此，其耦合振幅最小，運(yùn)動(dòng)在兩種模式間的轉(zhuǎn)化也更徹底。

同時(shí)可以發(fā)現(xiàn)，隨著實(shí)驗(yàn)轉(zhuǎn)動(dòng)慣量值與理論值的差值增大，其運(yùn)動(dòng)軌跡的包絡(luò)現(xiàn)象越發(fā)不明顯，有趨于簡(jiǎn)諧振動(dòng)的趨勢(shì)。這也說明了韋氏擺是彈簧振子結(jié)構(gòu)中的一種特殊情況，當(dāng)韋氏擺結(jié)構(gòu)中的擺錘滿足特定條件時(shí)，才會(huì)有韋氏擺共振現(xiàn)象出現(xiàn)。

3 結(jié) 語

通過實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證了韋氏擺動(dòng)力學(xué)模型，研究了不同參數(shù)對(duì)韋氏擺運(yùn)動(dòng)的影響，但仍存在一定不足：模型構(gòu)建未充分考量空氣阻力、連接處摩擦在內(nèi)的衰減系數(shù)，無法定量計(jì)算對(duì)于振動(dòng)的衰減及衰減程度；這也是未來實(shí)驗(yàn)將改進(jìn)的一個(gè)方向。

近年教育改革政策的出臺(tái)，國(guó)家不斷加大對(duì)教育方面的投入，高校規(guī)模呈現(xiàn)了擴(kuò)容之勢(shì)。隨著教育質(zhì)量的不斷提高，教育資金投入的不斷增大，各大高校的實(shí)驗(yàn)內(nèi)容也會(huì)增加。韋氏耦合運(yùn)動(dòng)有望成為大學(xué)物理實(shí)驗(yàn)中重要項(xiàng)目。韋氏擺運(yùn)動(dòng)研究對(duì)于大眾科普和中小學(xué)教育同樣具有重要意義。利用該裝置，科普工作者可以進(jìn)行耦合運(yùn)動(dòng)與能量守恒轉(zhuǎn)化現(xiàn)象的科學(xué)普及。