歸納四類常用一元二次方程的解法

宋萬民

【摘要】 學(xué)習(xí)一元二次方程時(shí)，它的解法是基礎(chǔ)也是重點(diǎn)，應(yīng)該值得我們的重視.一元二次方程的四類常用基本解法歸納如下：一、直接開平方法；二、配方法；三、運(yùn)用公式法；四、分解因式法.

【關(guān)鍵詞】 一元二次方程解法;直接開平方法;配方法;運(yùn)用公式法;分解因式法

我們知道只含有一個(gè)未知數(shù)（一元），并且未知數(shù)的最高次數(shù)是2（二次）的整式方程，叫做一元二次方程．一般地，任何一個(gè)關(guān)于x的一元二次方程，經(jīng)過整理，都能化成形如ax2+bx+c=0的形式.這種形式就是一元二次方程的一般形式，其中ax2是二次項(xiàng)，a是二次項(xiàng)系數(shù)；bx是一次項(xiàng)，b是一次項(xiàng)系數(shù)；c是常數(shù)項(xiàng)．

學(xué)習(xí)一元二次方程時(shí)，它的解法是基礎(chǔ)也是重點(diǎn)，應(yīng)該值得我們的重視.一元二次方程的四類常用基本解法歸納如下：

1.直接開平方法

把方程ax2+c=0（a≠0）化成x2=-ca的形式，當(dāng)-ca≥0時(shí)，兩邊同時(shí)開平方得x=±-ca.這種解一元二次方程的方法叫做直接開平方法.

例 用直接開平方法解方程：12（x+3）2=2.

解 方程兩邊都乘以2，得（x+3）2=4，兩邊同時(shí)開平方得x+3=±2，整理得x1=-1，x2=-5.

說明 直接開平方法適用于x2=c（c≥0）形式的一元二次方程的求解.這里的x既可以是字母，單項(xiàng)式，也可以是含有未知數(shù)的多項(xiàng)式.換言之：只要經(jīng)過變形可以轉(zhuǎn)化為x2=c（c≥0）形式的一元二次方程都可以用直接開平方法求解.

2.配方法

用配方法解一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的一般步驟是：將一元二次方程化成一般形式，如ax2+bx+c=0（a≠0）；把常數(shù)項(xiàng)移到方程的右邊，得ax2+bx=-c；方程的兩邊都除以二次項(xiàng)系數(shù)，使二次項(xiàng)系數(shù)為1，得x2+bax=-ca；方程的兩邊都加上一次項(xiàng)系數(shù)一半的平方，得x2+bax+b2a2=ca+b2a2；把方程的左邊變形為一次二項(xiàng)式的完全平方，右邊合并成一個(gè)常數(shù)，得x+b2a2=b2-4ac4a2；當(dāng)b2-4ac≥0時(shí)，方程兩邊同時(shí)開平方，得x+b2a=±b2-4ac2a；進(jìn)一步整理可得一元二次方程的兩個(gè)根，即

x1，2=-b±b2-4ac2a.

例 用配方法解方程：

4x2+1=7-4x.

解 原方程可化為為x2+x=64，方程兩邊同時(shí)加上一次項(xiàng)系數(shù)的一半的平方，得

x2+x+122=64+122，

整理得x+122=74，

直接開平方得

x+12=±72，

所以x1=-12+72，

x2=-12-72.

說明 通常不用配方法解一元二次方程，因?yàn)榕浞椒ㄊ峭茖?dǎo)公式的工具，掌握公式法后就可以直接用公式法解一元二次方程了.但是，配方法在學(xué)習(xí)其他數(shù)學(xué)知識(shí)時(shí)有廣泛的應(yīng)用，是初中要求掌握的三種重要的數(shù)學(xué)方法之一，一定要掌握好.（三種重要的數(shù)學(xué)方法：換元法，配方法，待定系數(shù)法）.

3.運(yùn)用公式法

一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）進(jìn)行配方，當(dāng)b2-4ac≥0時(shí)，可得一元二次方程的兩個(gè)根，即x1，2=-b±b2-4ac2a.這具有廣泛的代換意義，只要是有實(shí)數(shù)根的一元二次方程，均可將a，b，c的值代入兩根公式中直接解出，所以把這種用求根公式解一元二次方程的方法稱為求根公式法，簡稱公式法．

例 用公式法解一元二次方程：x2+2=22x.

解 原方程化為一般形式為

x2-22x+2=0，

由此可知a=1，b=-22，c=2，

所以b2-4ac=（-22）2-4×1×2=0，

所以x=-（22）±02×1=2，

即x1=x2=2.

說明 由求根公式可知

x1，2=-b±b2-4ac2a，

一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根是由系數(shù)a，b，c的值決定的；應(yīng)用求根公式可解任何一個(gè)有解的一元二次方程，但應(yīng)用時(shí)必須先將其化為一般形式.

4.分解因式法

把一元二次方程變形為一邊是零，把另一邊的二次三項(xiàng)式分解成兩個(gè)一次因式的積的形式，讓兩個(gè)一次因式分別等于零，得到兩個(gè)一元一次方程，解這兩個(gè)一元一次方程所得到的根，就是原方程的兩個(gè)根.這種解一元二次方程的方法叫做因式分解法.

例 解下列一元二次方法：

（1）3x2-6x=0;

（2）2（x-3）2=x2-9.

解 （1）原方程可化為x（3x-6）=0，

所以x=0或3x-6=0，

即x1=0，x2=63=23.

（2）原方程可化為2（x-3）2-（x+3）（x-3）=0，方程左邊分解因式得

（x-3）［2（x-3）-（x+3）］=0，

整理得（x-3）（x-9）=0，

所以x-3=0或x-9=0，

即x1=3，x2=9.

說明 因式分解法只適用于左邊易于分解而右邊是零的一元二次方程，即可化為a·b=0的形式，從而得a=0或b=0.這種解法的實(shí)質(zhì)就是“降次”，將一個(gè)一元二次方程，化為兩個(gè)一元一次方程.

練習(xí)

用適當(dāng)方法解下列一元二次方程：

（1）2（2x-1）2=18.

（2）x2-2x=224.

（3）2x2-5x-1=0.

（4）（4x+1）（x-1）=（3x-1）（x-1）.

總結(jié) 要合理地選用適當(dāng)?shù)姆椒ń庖辉畏匠?，就必須熟悉各種方法的優(yōu)缺點(diǎn)，處理好特殊方法和一般方法的關(guān)系.就直接開平方法、配方法、公式法、因式分解法這四種方法而言，配方法、公式法是一般方法，而直接開平方法、因式分解法是特殊方法.

（1）公式法是最一般的方法，只要明確了二次項(xiàng)系數(shù)、一次項(xiàng)系數(shù)和常數(shù)項(xiàng)，若方程有實(shí)根，就一定可以用求根公式求出根，但因?yàn)橐胍辉畏匠痰那蟾絰1，2=-b±b2-4ac2a求值，所以對某些方程，解法又顯得復(fù)雜了.如（1），可以直接開平方，就能馬上得出解；若此時(shí)還用求根公式就顯得繁瑣了.

（2）配方法是一種非常重要的方法，在解一元二次方程時(shí)，一般不使用，但并不是一定不用，若能合理地使用，也能起到簡便的作用.若方程中的一次項(xiàng)系數(shù)有因數(shù)是偶數(shù)，則可使用，計(jì)算量也不大.如（2），因?yàn)?24比較大，分解時(shí)較繁，此題中一次項(xiàng)系數(shù)是-2.可以利用用配方法來解，經(jīng)過配方之后得到x2-2x+1=224+1（x-1）2=225，顯得很簡單.

（3）直接開平方法一般解符合x2=c（c≥0）型的方程，如第（1）小題.

（4）因式分解法是一種常用的方法，它的特點(diǎn)是解法簡單，故它是解題中首先考慮的方法，若一元二次方程的一般式的左邊不能分解為整數(shù)系數(shù)因式或系數(shù)較大難以分解時(shí)，應(yīng)考慮變換方法.

以上各題請同學(xué)們用其他方法做一做，再比較各種方法的優(yōu)缺點(diǎn)，體會(huì)如何選用合適的方法，上面給出常規(guī)思考方法，僅作參考.