立足代數(shù)思維，學習《簡易方程》

徐斌

算術(shù)思維與代數(shù)思維有很大的差異，代數(shù)思維具有形式化、關(guān)系化、結(jié)構(gòu)化的特點。布魯納說：“如果一門學科有明確的特征概念可以代表它，那么對這些概念的全面理解也就相當于對整個學科知識的理解。如果一門學科的知識根據(jù)某種固定的模式進行組織，那么充分理解這些模式會使適合學科設計的主要特定要素更清晰。”同樣地，掌握代數(shù)的思維方式，對小學生學習方程及今后系統(tǒng)學習代數(shù)知識，發(fā)展代數(shù)思維，具有戰(zhàn)略性的作用。因此，在《簡易方程》的學習過程中，要讓學生充分感受并學會用關(guān)系化思想分析問題，促進其思維從具體運算向形式運算過渡和適應。

一、認識方程：重構(gòu)方程意義，直抵關(guān)系本質(zhì)

什么是方程？教材給出的形式化定義：含有未知數(shù)的等式叫方程。很明顯，這樣的表述并沒有體現(xiàn)方程的價值與本質(zhì)。因此，在課堂教學中需要引導學生通過反思，去體會方程的本質(zhì)，重構(gòu)對方程的理解，對概念的理解從“教學的數(shù)學”走向“學科的數(shù)學”。

在教授方程的概念時，教師就可引導學生感知方程的價值。如通過對列方程解決問題過程的反思，教師引導學生對方程重新認識與定義。除了及時組織學生對用算術(shù)方法解決問題與用方程解決問題進行比較，讓學生感悟到“未知數(shù)是否參與運算” “是否順著題目的意思列式子”等，還要讓學生結(jié)合解決問題的經(jīng)歷，引導學生反思：列方程的依據(jù)是什么？方程能直接求出未知數(shù)嗎？你能用自己的話說說什么是方程嗎。這樣，對方程的理解與解決具體問題聯(lián)系起來。學生在反思中感悟到方程只是在表達關(guān)系，將題目中的數(shù)量關(guān)系用含有未知數(shù)的等式表達出來就行了，而不需要計算出結(jié)果。弗賴登塔爾認為，兒童的思維發(fā)展是跳躍性的，沒有內(nèi)省，學生思維就不能實現(xiàn)跳躍而達到一個新的高度。對方程意義的重構(gòu)，在于重新建立屬于學生自己的對方程的認識，以本質(zhì)去代替形式，對方程的認識達到一個新的高度，思維方式也在發(fā)生著改變。

二、解方程：強化運作特質(zhì)，走向形式運算

（一）抽象模型，反思運作意義

解方程的過程是形式化運作，分別把等號的兩邊看成對象，這與算術(shù)思維不同。很多學生由于受算術(shù)思維的影響，不習慣這樣的運作。“真正的數(shù)學頭腦是思維的頭腦，是內(nèi)省的頭腦，這也是學校應當教學生的東西?！敝挥袑W生意識到每一次運作的目標與意義，他才能理解這樣的操作，而不是一種機械行為。反思就是把較低水平的活動看成較高水平活動的分析對象。在教學時，一要引導學生反思對比，解方程的過程與之前的計算過程中等號作用的不同之處，豐富學生對等號作用的認識。二是在進行方程的復習時，在對具體方程模式化表達的基礎上，對解法抽象分析從而達到一般化程度，有利于學生的認識與思維更上一個層次。

在復習課上，筆者讓學生小組內(nèi)說一說：對解方程，你有哪些經(jīng)驗值得與同伴分享？筆者讓學生舉例說出會解哪幾種類型的方程？再引導學生通過分類，將所學的方程分為簡單的方程與稍復雜的方程兩大類。接著引導學生抽象出這些方程的模型。

師：如果用字母表示這些數(shù)字，用x表示未知數(shù)，你能把這些方程表示出來嗎？

學生分別用字母概括出各類方程。

師：像這樣的方程，x±a=b，是如何解的？

生：兩邊同時加a或減a。

師：為什么要同加時或同時減a？

生：抵消，然后x就解出來了。

師：其他的簡單方程你會解嗎？

生：形如ax±b=c的方程，是在兩邊同時加或減b，把b消去，轉(zhuǎn)化為基本方程。

生：形如ax±bx=c的方程，是利用分配律進行合并，轉(zhuǎn)化為基本方程的。

師：是的，復雜的方程轉(zhuǎn)化為基本的方程，但是在具體轉(zhuǎn)化方法上面有所區(qū)別。

模型的深刻概括性本身對學習就具有數(shù)學意義，有利于學生思維水平的提升。而利用模型，進行方法的抽象總結(jié)，通過關(guān)鍵性問題：為什么要同時加或減或乘或除a？學生感悟到運作的意義是為了抵消，這樣直接說出了解方程的本質(zhì)。通過比較，發(fā)現(xiàn)復雜方程都可以轉(zhuǎn)化成基本方程解決的，強調(diào)了轉(zhuǎn)化的方法，突出了運作思維。

（二）順勢而為，體會思維差異

蘇教版教材中有意回避了未知數(shù)在減數(shù)位置和除數(shù)位置的方程，因為利用等式的性質(zhì)解決這兩類方程，涉及負數(shù)的運算，而小學又不涉及負數(shù)的運算，在教學中并不需要刻意回避。當學生在解決問題的過程中用到這樣的方程時，因勢利導，通過比較，讓學生發(fā)現(xiàn)異同，從而自己發(fā)現(xiàn)錯誤。在探討正確的解法時，有的學生提出，可以根據(jù)“減數(shù)等于被減數(shù)減差”直接求出未知數(shù)，實際上這是一種“倒過來想”的思路，其本質(zhì)是算術(shù)思維。還有學生想出可以通過兩邊同加x，轉(zhuǎn)化成加法方程來求解。在對兩種方法進行比較的過程中，發(fā)現(xiàn)第二種方法其實是巧妙利用了等式的性質(zhì)，轉(zhuǎn)化為加法方程，這樣讓學生進一步體會解方程運算的思維特點，把左右兩邊各看作一個對象，方程表示兩個對象的等價，解方程是通過運作進行轉(zhuǎn)化求出未知數(shù)，從而體會解方程運作的特點。

三、解決問題：價值引領(lǐng)，基本模型提升能力

（一）數(shù)形結(jié)合，感受基本模型的魅力

方程的背后是數(shù)量關(guān)系。只有讓學生掌握了從具體情境中抽取概括數(shù)量關(guān)系，才能列出方程。因此，抽取數(shù)量關(guān)系的能力，直接影響學生列方程的能力，也是學生思維水平的體現(xiàn)。如何找題中的數(shù)量關(guān)系？有的教師讓學生根據(jù)題目中的關(guān)鍵句尋找數(shù)量關(guān)系，如根據(jù)一些提示性語句（ ）比（ ）多（少）多少，（ ）和（ ）共多少，（ ）是（ ）的多少倍等。且不說一旦題目沒有這樣的“套路”表達，學生會一籌莫展，就算有這樣的語句，學生直接根據(jù)這些語句把握數(shù)量關(guān)系是有困難的，因為這些文字表達，與算術(shù)問題的表達沒有異樣，學生在面對這些文字時，受長期以來算術(shù)思維的影響，不自覺地就啟用算術(shù)思維方式，想到的是“是多少”的問題，即問題如何求解，如何求得答案等，而不是數(shù)量關(guān)系。因此，需要改變的是學生的思維方式，即建立結(jié)構(gòu)化的思維，這樣才能讓學生的思維聚焦關(guān)系而非結(jié)果。

數(shù)量關(guān)系是實際問題的數(shù)學化表達，其實質(zhì)是加、減、乘、除四則運算意義的運用。而學生在解決實際問題過程中，難以發(fā)現(xiàn)數(shù)量關(guān)系的原因就是因為無法透過情境，用思維把相關(guān)數(shù)學信息進行關(guān)聯(lián)并根據(jù)運算意義表達出來。教學中可以把這種基本的模型結(jié)構(gòu)以一種恰當?shù)姆绞?，整體呈現(xiàn)在學生面前，當知識以整體進入學生的知識結(jié)構(gòu)中時，其解決問題調(diào)用的也是整體而非部分。所謂整體，就是最簡的也是最本質(zhì)的知識。在這里就是基本的數(shù)量關(guān)系模型，讓學生的認識通過基本模型，透過表面，直抵本質(zhì)。如何才能發(fā)現(xiàn)眾多數(shù)量關(guān)系中的內(nèi)在一致性而又利于學生接受呢？一是要去情境化，二是要具體化。兩者結(jié)合的最佳路徑便是直觀表達。直觀圖去掉了情境，直達本質(zhì)，同時又直觀，又具體，符合兒童的思維特點。方程就是數(shù)量關(guān)系的符號化表達，而數(shù)量關(guān)系是半具體半抽象的，直觀模型則具有抽象與直觀的并存。

如通過不同類型的題目，引導學生畫出線段圖。

題目1：學校里買了18個籃球和20個足球，共付了492元，每個籃球14元，每個足球多少元？

題目2：一幢19層的樓房高57.8米。它的一樓是臨街店鋪，高為3.8米。其余18層平均每層高多少米？

題目3：兩輛車同時從同一地點向相反的方向開出，一輛車每小時行駛45千米，另一輛車每小時行駛50千米，幾小時后兩車相距237.5千米？

在隱去具體細節(jié)與情境后，如圖1所示。

在此基礎上，引導學生進行反思：為什么這些題目各不相同，畫出來的圖卻是一樣的？學生在討論中感悟：其實這些題目都只不過在說一件事，即部分與整體之間的關(guān)系。這種直觀表達學生很容易發(fā)現(xiàn)三個量之間的三個不同的數(shù)量關(guān)系。在此基礎上，讓學生再回到現(xiàn)實，這樣的圖還可以表示哪些數(shù)學故事？從抽象到具體，用具體情境豐富對模型的認識，模型在學生思維中豐富，成為一種解決問題的工具。再如，加法模型的另一種表達，如圖2所示。

需要說明的是，模型的解釋是從抽象到具體的過程，這一過程非常重要。兒童的思維發(fā)展走向形式化并不是說要完全脫離具體，把形式化的東西具體化，把具體的東西形式化，只有當兩者均能自由實現(xiàn)時，才能說明學生的理解程度，這樣才能促進學生思維水平的發(fā)展，并且形式化的過程也不是一蹴而就的，而是一個反復的過程，不斷需要半抽象半具體表象支撐這一過程的發(fā)展。

（二）體驗價值，提升運用方程的內(nèi)需

剛剛學習解方程，最大的矛盾是學生沒有用方程的需求，不能體會到列方程解決問題的價值。因為題目思考比較簡單，用方程要寫設未知數(shù)，書寫反而麻煩。所以，學生是排斥方程的，除非題目明確要求列方程解答之外，學生一般不選擇用方程。如何擺脫這一困境？筆者認為，要充分讓學生體會方程解決問題的思維特點，從而體現(xiàn)方程的實用價值。教學中要有意識地不露痕跡地引導學生用方程解決問題，有時也可以逼迫學生“就范”，主動用方程。

一是復雜問題悟關(guān)系。教學中可讓學生用方程解決一些復雜問題，從而讓學生體會到方程能達到算術(shù)方法所不能及的簡單。需要注意的是，對這樣的題目，并不是要讓學生會做，重要的是讓學生感受方程的價值，這是一種思維方式的啟迪與熏陶，讓學生體會方程在解決問題時的優(yōu)勢。因此，在教學時，可以在學生一籌莫展時，出示方程，然后讓學生去悟出其中的數(shù)量關(guān)系，從而感受方程思路之簡，突出方程的價值。這可以作為一種數(shù)學欣賞、一種熏陶。

二是體會方程思維的樂趣。這種體驗不是外在的刺激，而是一種深層次的對智力活動的驚奇，進行思維的探究之旅。如特級教師任衛(wèi)兵老師團隊開發(fā)的數(shù)學故事課程“方程的故事”一課，通過《丟番圖巧設未知數(shù)》的故事：丟番圖的學生帕普斯要解決問題“有四個數(shù)，把其中每三個相加，其和分別為20、22、24、27。求這四個數(shù)” 。從帕普斯設四個未知數(shù)列方程組開始，到丟番圖一反常規(guī)，只設一個未知數(shù)，最后學生受到啟發(fā)，不斷優(yōu)化方法，列出更簡潔的方程。學生在活動中不斷感受到方程的魅力，感受到方程解決問題之巧妙。實踐證明，這種形式學生能在輕松的氛圍中進行高效、深入的數(shù)學思考，代數(shù)思維得以有效培養(yǎng)。當學生形成了運用方程的意識后，說明其代數(shù)思維有了進一步的發(fā)展。

代數(shù)思維與算術(shù)思維是兩種不同的思維方式，學習一種方式，并不意味著對另一種方式的否定。因此，教學中還需要通過比較，進一步感受兩種思維的特點，讓學生能根據(jù)現(xiàn)實情境選擇合適的方法解決問題。總的來說，小學生算術(shù)思維向代數(shù)思維的躍升，并非是一蹴而就的，而是連續(xù)性與非連續(xù)的結(jié)合，代數(shù)思維的可持續(xù)發(fā)展，需要學生在解決問題的過程中，提升把握關(guān)系的能力，在反思中感受方程的價值，形成結(jié)構(gòu)化的思維方式。

（基金項目：本文系江蘇省“十三五”立項課題“促進理解的小學數(shù)學結(jié)構(gòu)化學習的實踐研究”（編號：D/2020/02/138）的研究成果）