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      抓住特征巧解方程

      2022-11-17 07:24:47鄭學(xué)敏
      數(shù)理天地(初中版) 2022年21期

      鄭學(xué)敏

      【摘要】 一元四次方程沒有特定的解法,一些結(jié)構(gòu)比較特殊的一元四次方程,如果打破常規(guī)思路,抓住其本質(zhì)特征另辟蹊徑去求解,會(huì)收到很好的解題效果.

      【關(guān)鍵詞】 一元四次方程;增元降次;函數(shù)圖象

      有些結(jié)構(gòu)較為特殊的一元四次方程,按照一般思路去思考,往往很難求解,如果仔細(xì)分析方程的結(jié)構(gòu)特征,抓住其結(jié)構(gòu)特征巧妙地增(換)元降次,從而會(huì)使問題輕松獲得解決,茲舉例予以說明.

      例1 解方程:

      (x2-6)2=6+x.

      分析 這個(gè)方程的形式看似非常簡(jiǎn)潔,而實(shí)際上它是一個(gè)難解的一元四次方程,要想順利求出其解,關(guān)鍵在于如何處理左邊二次二項(xiàng)式的平方,如果直接將左邊的平方式展開,得到的一元四次方程自然是非常的難解,我們不妨將x2-6看作一個(gè)整體,引進(jìn)新元建立二元二次方程組進(jìn)行求解.

      解 設(shè)y =x2-6,則有

      y2=6+x,①

      又由y=x2-6,得 x2=6+y,②

      ①-②,得y2-x2=x-y,

      進(jìn)而有(y+x+1)(y-x)=0,

      因此有y+x+1=0,或y-x=0.

      若y+x+1=0,則有y=-x-1,

      此時(shí)有-x-1=x2-6,

      即x2+x-5=0,

      解此方程,得

      x1=-1+212,

      x2=-1-212;

      若y-x=0,則有y=x,

      由此可得x=x2-6,

      即x2-x-6=0,

      解此方程,得 x3=3,x4=-2.

      綜上,原方程的解為

      -1-212,-2,-1+212,3.

      讀者不妨照此練習(xí)一下解方程:

      y=(y2-2)2-2.

      例2 解方程:

      4-x2-3=x2+2x.

      分析 要想順利求此方程的解,關(guān)鍵是如何處理好左邊的二次根式. 如果通過移項(xiàng)、兩邊平方,化簡(jiǎn)為普通的一元四次方程就很難或無法解答下去了. 注意到函數(shù)與方程有著密切的聯(lián)系,這里不妨將方程左邊的二次根式視為整體,引進(jìn)新元利用函數(shù)觀點(diǎn)分析求解.

      解 設(shè)y=4-x2,①

      則有y=x2+2x+3,②

      在此基礎(chǔ)上給出兩種解法求解.

      解法1 根據(jù)函數(shù)自變量及函數(shù)值的范圍求解.

      由①,知-2≤x≤2,0≤y≤2,

      由②,得y=(x+1)2+2,

      因?yàn)?2≤x≤2,

      所以2≤y≤11,

      綜合兩個(gè)函數(shù)值的取值范圍可得y=2.

      將y=2代入①,求得x=0;

      將y=2代入②,解得x=-1.

      不難看出,兩個(gè)函數(shù)在自變量取值范圍內(nèi),有唯一相同的函數(shù)值2,而函數(shù)值都是2時(shí),自變量的取值卻又不同,這表明原方程無實(shí)數(shù)解.

      解法2 根據(jù)函數(shù)圖象求解.

      由①,得x2+y2=4,此式的幾何意義是平面直角坐標(biāo)系內(nèi)的點(diǎn)P(x,y)到原點(diǎn)的距離為2,圖1即點(diǎn)P(x,y)在圓心在原點(diǎn)、半徑為2 的圓上,又因?yàn)?2≤x≤2,0≤y≤2,所以函數(shù)y=4-x2的圖象是圓心在原點(diǎn)、半徑為2且位于橫軸及其上方的一個(gè)半圓;函數(shù)y=x2+2x+3的圖象是相應(yīng)拋物線的一部分,在同一平面直角坐標(biāo)系中畫出這兩個(gè)函數(shù)的圖象如圖1所示.

      從所作圖1可以清晰地看出,由于兩個(gè)函數(shù)的圖象沒有公共點(diǎn),所以原方程無實(shí)數(shù)解.

      由以上例題的解答過程不難看出,遇到難題不要急忙考慮去求解,而應(yīng)分析問題的本質(zhì),抓住題目的本質(zhì)特征另辟蹊徑求解,所謂“磨刀不誤砍柴工”正是如此. 例1保留二次二項(xiàng)式的平方不變,引進(jìn)新元替代平方式中的二次二項(xiàng)式,進(jìn)而將一元四次方程轉(zhuǎn)化為二元二次方程組求解,從而使難題變得容易了.

      例2將一個(gè)可化為一元四次方程的方程,通過引進(jìn)新元替代方程中的二次根式,轉(zhuǎn)化為函數(shù)問題求解,而利用函數(shù)圖象求方程(組)的解,方法可行,答案可靠.

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