Banach空間上的兩個(gè)不動(dòng)點(diǎn)定理的新證法

裴明鶴

(北華大學(xué)數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院，吉林 吉林 132013)

眾所周知，Schauder不動(dòng)點(diǎn)定理和Rothe不動(dòng)點(diǎn)定理是非常著名的不動(dòng)點(diǎn)定理，它們?cè)诔Ｎ⒎址匠毯推⒎址匠痰母鞣N定解問(wèn)題以及積分方程的可解性問(wèn)題中有著非常廣泛的應(yīng)用.因此，受到微分方程學(xué)者的廣泛關(guān)注.證明Schauder不動(dòng)點(diǎn)定理的方法一般有3種：第一種如文獻(xiàn)[1]，首先用有限秩算子(Schauder投影)逼近全連續(xù)算子，然后利用Brouwer不動(dòng)點(diǎn)定理來(lái)得到；第二種如文獻(xiàn)[2]，先證明Rothe不動(dòng)點(diǎn)定理，然后利用全連續(xù)算子延拓定理來(lái)得到；第三種如文獻(xiàn)[3]，先利用Dugundji延拓定理來(lái)得到閉凸集的收縮核性質(zhì)，然后利用Rothe不動(dòng)點(diǎn)定理來(lái)得到.縱觀上述Schauder不動(dòng)點(diǎn)定理和Rothe不動(dòng)點(diǎn)定理的證明，不論哪種證法，事先都需要做一些較繁瑣的準(zhǔn)備工作.本文給出Banach空間上的Schauder不動(dòng)點(diǎn)定理和Rothe不動(dòng)點(diǎn)定理的新的比較簡(jiǎn)潔的獨(dú)立的證法.本文的證法主要基于全連續(xù)算子的延拓定理連同Leray-Schauder度理論.

首先，為敘述方便引入一些記號(hào)，并簡(jiǎn)要介紹全連續(xù)算子的延拓定理連同Leray-Schauder度理論中一些熟知的結(jié)果.

degLS(Φ，Ω，0)=degLS(Φ，Ω1，0).

有了以上準(zhǔn)備，茲可以證明Banach空間上的Schauder不動(dòng)點(diǎn)定理和Rothe不動(dòng)點(diǎn)定理.首先，利用全連續(xù)算子延拓定理連同Leray-Schauder度的小擾動(dòng)原理給出Schauder不動(dòng)點(diǎn)定理的新證明.

定理1(Schauder不動(dòng)點(diǎn)定理) 設(shè)D是實(shí)Banach空間E中的有界凸閉集，T：D→D是全連續(xù)算子，則T在D上至少有一個(gè)不動(dòng)點(diǎn).

(1)

(2)

又因?yàn)镈是有界集，所以存在以原點(diǎn)為心、以r>0為半徑的開(kāi)球B(0，r)?E，使得D?B(0，r).記Ω=B(0，r).則由式(2)可得

注2在Schauder不動(dòng)點(diǎn)定理中，關(guān)于空間E的條件可減弱為：E是實(shí)線性賦范空間.此時(shí)，代替全連續(xù)算子延拓定理，利用Dugundji延拓定理即可證明，詳見(jiàn)文獻(xiàn)[3].

其次，利用全連續(xù)算子延拓定理連同Leray-Schauder度的切除性和邊界值性質(zhì)，給出Rothe不動(dòng)點(diǎn)定理的新證明.

(3)

(4)

于是，由引理4可得

(5)

又由式(4)及Ω的選取知

于是，由引理2可得

此式連同式(5)隱含

更進(jìn)一步，由式(3)和引理5，得到

注3定理1不能用定理2的證明方法來(lái)證明，這是因?yàn)樵谝话愕腂anach空間中的有界凸閉集D不一定有內(nèi)點(diǎn)，從而即使T在D的邊界上無(wú)不動(dòng)點(diǎn)，但degLS(I-T，intD，0)仍可能無(wú)定義.