單元教學(xué)模式下“點(diǎn)到直線的距離”的新課教學(xué)探究

南通市小海中學(xué) 張中華

本節(jié)課是普通高中教科書蘇教版選擇性必修一第一章第五節(jié)第二課時，它是平面解析幾何“直線”這一章內(nèi)容的最后一節(jié).主要內(nèi)容就是點(diǎn)到直線的距離公式推導(dǎo)及應(yīng)用.為了讓學(xué)生將本章知識熟悉地帶到這節(jié)新課的公式推導(dǎo)中，筆者采用了單元教學(xué)的模式來設(shè)計本節(jié)課.以下是本節(jié)課的教學(xué)過程及設(shè)計思路.

活動一：實(shí)例引入.

如圖1，某漁排M的施工船P正在海中進(jìn)行施工作業(yè)，接到臺風(fēng)預(yù)警通知：某臺風(fēng)在海洋中成型，其中心為T，已知臺風(fēng)的影響范圍是半徑為r的圓形，運(yùn)行軌跡為與漁排一邊平行的直線.請同學(xué)們結(jié)合圖2用數(shù)學(xué)的眼光觀察世界，來說說由此實(shí)例，能提出哪些問題？

圖1

圖2

用數(shù)學(xué)的眼光觀察世界用數(shù)學(xué)的眼光觀察世界(1)開始時,船P是否有危險?(1)求點(diǎn)P與點(diǎn)T之間距離,與r比較(2)臺風(fēng)運(yùn)行過程中,船P是否有危險?(2)求點(diǎn)P到直線的距離,與r比較(3)臺風(fēng)運(yùn)行過程中,漁排是否有危險?(3)求漁排M靠近臺風(fēng)的一邊到直線的距離,與r比較

設(shè)計思路：用了常見的實(shí)際問題引入，但又用了不常規(guī)的開放性式提問，讓學(xué)生用數(shù)學(xué)的眼光來審視這個世界，充分調(diào)動他們的積極性，讓他們發(fā)散性地去思索這個實(shí)例能帶來的問題，并且用數(shù)學(xué)的思維來思考解決所提出的問題.讓他們體會實(shí)際問題數(shù)學(xué)化的轉(zhuǎn)化過程以及用數(shù)學(xué)的思維來反饋解決實(shí)際問題的能力.

活動二：提煉思維，引出課題(如圖3).

圖3

設(shè)計思路：對前面學(xué)生所提出的三個數(shù)學(xué)問題，運(yùn)用單元教學(xué)模式的思想，提煉成三個距離問題.(1)兩點(diǎn)之間距離(已學(xué)知識)；(2)點(diǎn)到直線距離(本課所學(xué))；(3)直線到直線之間的距離(本課知識擴(kuò)充).再借助兩點(diǎn)之間距離公式的推導(dǎo)方法進(jìn)而衍生點(diǎn)到直線距離的推導(dǎo)方法，進(jìn)一步轉(zhuǎn)化出兩平行直線之間的距離公式的推導(dǎo)方法.

活動三：深入探究，推導(dǎo)公式(如圖4).

圖4

組織學(xué)生分組討論，把推導(dǎo)點(diǎn)到直線距離公式的三種方法具體化，讓學(xué)生對具體的思維明朗化.接下去，學(xué)生分組推導(dǎo)公式并上臺展示.

即

兩式分別平方并相加，得

(A2+B2)[(x1-x0)2+(y1-y0)2]=(Ax0+By0+C)2.

通過整體思想，能簡化運(yùn)算.

又PQ是Rt△PMN斜邊上高，則

生?。悍ㄈ?設(shè)點(diǎn)T(x,y)，則PT2=(x-x0)2+(y-y0)2，消去y化簡，得

生戊：以上的解答都要對A=0及B=0加以檢驗(yàn).

設(shè)計思路：以學(xué)生小組討論的方式，并用流程圖的形式把三種方法的思維明朗化.在此過程中，充分調(diào)動學(xué)生的積極性，并且使他們對三種方法的理解更加徹底.之后讓學(xué)生分組合作推導(dǎo)公式以加深學(xué)生對方法的理解及提升處理多參數(shù)的運(yùn)算能力.在運(yùn)算的過程中，學(xué)生主動發(fā)現(xiàn)法一可通過整體思想來簡化運(yùn)算，可以此加深學(xué)生對整體思想的運(yùn)用，這樣為以后直線與圓及直線與圓錐曲線中的整體計算打下鋪墊.最后，由學(xué)生來指出推導(dǎo)過程要縝密并對特殊情況加以驗(yàn)證.這樣，既增強(qiáng)了學(xué)生的邏輯思維能力和合作能力，又加深了數(shù)學(xué)思維的縝密性，一舉多得.

活動四：運(yùn)用公式，加深理解.

引導(dǎo)學(xué)生推導(dǎo)兩條平行直線Ax+By+C1=0，Ax+By+C2=0(C1≠C2)之間的距離公式.

生：兩條平行直線間的距離，在一條直線上取點(diǎn)，即可轉(zhuǎn)化為點(diǎn)到直線的距離.

過程如下：在Ax+By+C1=0上取點(diǎn)P(x0,y0)，則點(diǎn)P(x0,y0)到直線Ax+By+C2=0的距離

又Ax0+By0+C1=0，即Ax0+By0=-C1，則

師：至此，回到板書，就可補(bǔ)充完整了.

例1分別求點(diǎn)P(-1,2)到下列直線的距離：

(1)y=-2x+10；(2)3y+5=0；(3)3x=2.

例2求兩條平行直線x+3y-4=0與2x+6y-9=0之間的距離.

例3已知直線l過原點(diǎn)，且點(diǎn)M(5,0)到直線l的距離為3，求直線l的方程.

設(shè)計思路：通過推導(dǎo)兩條平行直線間的距離公式加深學(xué)生對形的認(rèn)識以及形轉(zhuǎn)化為數(shù)的能力，并且加深對點(diǎn)到直線距離公式的理解.通過例1加深學(xué)生對公式的運(yùn)用并且對直線垂直于x軸或平行于x軸這兩種特殊情況的認(rèn)識，即可直觀地從形解決，亦可應(yīng)用公式.通過例2，引導(dǎo)學(xué)生注意兩條平行直線間距離公式的細(xì)節(jié)，即直線一般式方程中x，y前的系數(shù)應(yīng)相等.通過例3，加強(qiáng)學(xué)生對公式真正在具體問題中的應(yīng)用能力.

本節(jié)課的板書設(shè)計即為活動二中的圖3.本文中的課堂設(shè)計，在立意上沒有單純地從點(diǎn)到直線的距離這一知識點(diǎn)出發(fā)，而是通過單元教學(xué)模式，由具體的實(shí)例，把這一章節(jié)中的三個距離統(tǒng)一地提煉出來，讓學(xué)生自主發(fā)現(xiàn)問題、提出問題、解決問題.這樣，加深學(xué)生對這三個距離之間關(guān)系的認(rèn)識，更加透徹地理解知識的本質(zhì).