平板靜電四極透鏡的電場及其數(shù)值模擬

王福謙，廖明芳

（1.長治學(xué)院 物理系，山西 長治 046011；2.同安中學(xué)，四川 成都 610100）

文獻[1]對靜電透鏡的點聚焦特性進行了分析與仿真，文獻[2-4]分別用CST、ANSYS 軟件和阻尼最小二乘法對靜電透鏡進行了仿真與優(yōu)化設(shè)計，文獻[5-6]分別用改進型的Poweell 為基礎(chǔ)的有約束參數(shù)方法及龍格-庫塔法對靜電透鏡進行了設(shè)計和模擬計算，文獻[7]用Lie 代數(shù)方法分析了帶電粒子在靜電四極透鏡中的非線性傳輸，但對靜電透鏡電場分布定量研究，有關(guān)文獻還鮮見涉及。為此，文章擬將保角變換法、格林函數(shù)法和計算機數(shù)值模擬相結(jié)合，研究平板靜電四極透鏡的電場，得到其電勢和場強分布函數(shù)，利用軟件MATLAB 對場分布進行數(shù)值模擬，畫出其電場線和等勢線圖，并闡明平板靜電四極透鏡對電子束的聚焦原理。

1 電勢與電場強度

平板靜電四極透鏡由間距為h、電勢分別為U1及U2（U1＜U2）的兩組互相平行的極板組成，各平板長度為L1，極板的寬度為L2，且L1＞L2，左、右兩組極板的間距為2d，其沿寬度方向的截面如圖1 所示。若忽略長度方向的邊緣效應(yīng)，則在垂直于極板長度方向的所有截面上的電場分布都相同，故可取任一截面為z平面來討論電勢和場強在其上的分布（見圖1）。因為指數(shù)函數(shù)可將z平面上 水平帶域變換為ζ平面的上半平面，所以，為了利用格林函數(shù)法計算z平面上平板靜電四極透鏡的電勢分布，可作如下的保角變換[8]

圖1 平板靜電四極透鏡的橫截面

經(jīng)變換式（1），z平面上由平板電極位置所限定的水平帶形域 ，就映射為ζ平面的上半平面，變換后的ζ平面上各平板電極橫截面的位置及其坐標(biāo)可由式（1）確定，如圖2 所示。

圖2 變換后的上半平面

經(jīng)此變換后，z平面上平板電極間電勢分布就變換為ζ平面上的位于其上半平面如下的邊值問題對式（2）應(yīng)用格林函數(shù)法[9]，可得ζ平面上的電勢分布為

由場強與電勢的微分關(guān)系E=-φ? ，利用式（6）可得

式（7）為平板靜電四極透鏡電場的場強表達式。

2 電子束靜電聚焦原理

2.1 平板靜電四極透鏡電場分布的數(shù)值模擬

為了給出平板靜電四極透鏡電場分布圖的圖像，下面用數(shù)學(xué)軟件MATLAB 對該電場分布進行數(shù)值模擬[10-11]，其等勢線的分布見圖3 和圖4，其等勢面關(guān)于零等勢面左右對稱。

圖3 平板靜電四極透鏡電場的等勢面

圖3 平板靜電四極透鏡電場的等勢面

2.2 平板靜電四極透鏡電子束靜電聚焦原理

對如圖1 所示的平板靜電四極透鏡的橫截面，由式（7）可知，當(dāng)U1＜U2時，對于x＜0、y＞0區(qū)域，有Ey＞0，而對x＜0、y＜0區(qū)域，有Ey＜0；對于x＞0、y＞0區(qū)域，有Ey＜0，而對x＞0、y＞0區(qū)域，有Ey＞0。由透鏡左側(cè)的電場分布可知，當(dāng)電子束水平向右入射時，在透鏡的左側(cè)x＜0區(qū)域，該透鏡對電子束由會聚作用；而又由式（7）可知，當(dāng)U1＜U2時，對于x＞0、y＞0區(qū)域，有Ey＜0，對y＜0區(qū)域，有Ey＞0，即當(dāng)電子束水平向右入射時，在透鏡的右側(cè)x＞0區(qū)域，該透鏡對電子束由發(fā)散作用；圖3 及圖4 中靜電透鏡的等勢面由兩電極中心向兩側(cè)彎曲，且關(guān)于電極中心對稱分布，由場強方向垂直于等勢面且指向電勢降落方向的特點，也能得出與上述討論相同的場強分布結(jié)果。因在圖3 及圖4 的透鏡場強中的場強方向總沿著x軸的負向，電子在透鏡中的運動過程是始終在加速，故其在透鏡左側(cè)的運動時間長于在右側(cè)的運動時間，靜電透鏡對電子束的會聚作用大于其發(fā)散作用，為會聚透鏡。

3 結(jié)束語

計算機數(shù)值模擬的研究方法已成為繼實驗研究和理論分析之外的第三種研究手段。文章將保角變換、理論分析與計算機數(shù)值模擬相結(jié)合，通過保角變換法和格林函數(shù)法，研究了平板靜電四極透鏡的電場，得到其電勢和場強分布，利用軟件MATLAB 對場分布進行數(shù)值模擬，并說明了該透鏡對電子束的聚焦原理。文章的研究過程具有物理意義明確、計算方法簡便的特點，其研究思路和方法對新型靜電透鏡的設(shè)計和研發(fā)具有一定的理論意義和實用價值，也可作為相關(guān)問題研究的參考。