朱 托， 李 正， 李 孜

（上海理工大學 機械工程學院，上海 200093）

永磁電機以其高密度、高效率在高速電機的應用中獲得廣泛關注[1]，損耗評估是永磁電機設計的基礎[2]。永磁體渦流損耗由定子齒槽效應、定子繞組排布的空間諧波和定子繞組電流的時間諧波構成，這種損耗會引起永磁體過熱而產(chǎn)生不可逆退磁[3]。在永磁體渦流損耗中，空載渦流損耗相對較小[4]。在計算定子繞組時空諧波引起的渦流損耗時，對于高速永磁電機，諧波磁場引起的轉(zhuǎn)子渦流對磁場存在的渦流反作用明顯，需要予以考慮[4-5]。

沈建新等[6]運用有限元，研究永磁體電阻率對轉(zhuǎn)子各層模型渦流損耗的影響。張忠明等[7]在永磁體和保護套之間增加銅屏蔽層以降低渦流損耗，并通過有限元研究了銅屏蔽層厚度對渦流損耗結果的影響。Castagnaro 等[8]在計算轉(zhuǎn)子渦流損耗時，比較了時步有限元和時諧有限元兩種方法，發(fā)現(xiàn)后者可作為前者的高效替代方案。

相比有限元法，解析法在計算渦流損耗時效率更高。Desvaux 等[9]將磁場模型和磁阻網(wǎng)格模型進行混合，并用有限元驗證了該混合解析模型的精度。Chen 等[10]、Nair 等[11]采用鏡像法建立了三維解析模型，考慮了永磁體的軸向分段和周向分段。Barriere 等[12]建立了空載渦流損耗解析模型，為了考慮永磁體周向分段，將各次空間諧波進行解耦計算。Nuscheler 等[13-14]建立了定子繞組空間諧波，即定子磁動勢引起的渦流損耗解析模型，該模型引入了虛擬電流片來考慮永磁體周向分段。

本文針對損耗較大的定子繞組空間諧波和繞組電流時間諧波，提出一種快速高效的解析模型。因為極坐標系下采用的貝塞爾函數(shù)無法使得每段永磁體截面上的總渦流為零[15]，故采用二維直角坐標系，并考慮渦流反應和永磁體周向分段。永磁體周向分段會在原來定子磁動勢時空諧波的基礎上，引入了新的相互耦合的空間諧波。這類空間諧波在計算空載渦流損耗時不可忽視，然而本模型不計算空載渦流損耗。故僅考慮定子磁動勢的各次時空諧波，忽略上述次生的空間諧波造成的影響。這種處理極大地降低了模型的復雜度，提高了模型的計算效率。為了驗證本文解析模型的精度，將計算結果與文獻[13]的模型以及有限元法的結果進行了對比。

1 定子磁動勢渦流損耗解析模型

待計算的永磁同步電機（permanent magnet synchronous machine，PMSM）為6 相24 槽14 極電機，A，U，B，V，C，W 這6 相繞組在空間上對稱分布，通電時序上互差60°電角度。為了降低一對極次諧波的幅值，同時降低定子銅損，提高繞組因數(shù)，采用定子不等齒寬的對稱6 相繞組[16]。電機的截面如圖1 所示。

圖1 6 相24 槽14 極永磁同步電機截面圖Fig.1 Cross-sectional schematic of a 6-phase 24-slot 14-pole PMSM

為了考慮多種情況，本文模型在圖1 基礎上額外添加了永磁體保護套進行解析計算。

1.1 簡化假設

為簡化分析，作如下假設：

a. 將氣隙、保護套和永磁體區(qū)域看作半無限平面；

b. 忽略端部效應，感應渦流只有軸向分量；

c. 忽略定子槽開口引起的氣隙磁導變化；

d. 定子繞組電流由分布在定子槽開口的等效電流片模型表示；

e. 各個媒質(zhì)是均勻且各向同性的，其電導率、磁導率是不變的常數(shù)；

f. 定子和轉(zhuǎn)子鐵心磁導率無窮大，電導率為0，忽略定子和轉(zhuǎn)子鐵心中產(chǎn)生的渦流；

考慮永磁體分段的二維直角坐標系的電機計算模型見圖2。

如圖2 所示，在本文解析模型中，電機周向維度為x軸，徑向維度為y軸。整個計算域共有3 層，從上到下依次為：厚度為g的氣隙域、厚度為l的保護套域和厚度為m的永磁體域。每個計算域有相應的電導率和磁導率。

圖2 考慮分段的渦流擴散模型Fig. 2 Eddy current diffusion model considering segmentation

值得注意的是，在永磁體域這一層中，由于本文模型考慮了永磁體的周向分段，所以對于永磁體極弧系數(shù)小于1 的情況，各極永磁體之間會留有氣隙存在。

1.2 等效電流片模型

考慮定子繞組排布的空間v次諧波和定子電流時間k次諧波，A 相電流片表達式為

式中，τ為所有計算域中心高度所對應的一對極對應極距(基波極距) 。

以下公式均為相量形式，且橫坐標均為轉(zhuǎn)子旋轉(zhuǎn)坐標。

1.3 各計算域中的控制方程及通解

a. 氣隙域

氣隙中的時變場分布以軸向磁位Ag的形式，由拉普拉斯方程表示

式中，A，B是由邊界條件確定的常數(shù)。

根據(jù)磁矢定義，磁通密度的切向分量為

式中，μ0為真空磁導率。

b. 保護套域

在保護套中，軸向磁位As由擴散方程表示

式中：μs為保護套相對磁導率；σs為保護套電導率。

根據(jù)定子電流片激勵，通解可以寫成

c. 永磁體域

為考慮永磁體的周向分段，假設每一塊寬度為bm的永磁體塊被分為s段。永磁體塊的編號為ρ(ρ=1，···，2p)，分段編號為λ(λ=1，···，s),則任一永磁體塊的任一段記作(λ,ρ)，在永磁體分段內(nèi)的x軸坐標為

在永磁體中，需要同時考慮渦流反應和永磁體的有限寬度。因此，軸向磁位Am不僅滿足如式(11)的擴散方程，還需增加一個源項Ja(x)，使得每個永磁體塊段內(nèi)電密積分為零。即

由式(17)、式(18) 可知，對于每一個kp+v次時間諧波，空間諧波因為控制方程中Ja(x)和σm(x)在x軸上的傅里葉級數(shù)展開，不僅只有v次項，而且每一次空間項之間，如文獻[12] 所述，存在耦合關系。

然而，不同于空載渦流損耗計算，本文計算的是由定子磁動勢引發(fā)的渦流損耗。其中，對于每一個kp+v次時間諧波，v次空間諧波可以考慮為其余所有次空間諧波的源。所以對于每一個kp+v次時間諧波，本文只討論v次空間諧波，且忽略其余次空間諧波的耦合作用。這個處理極大地簡化了計算過程，并且從后面的結果可以看到，也保留了一定的精度。

根據(jù)以上分析，將式(17)、式(18)簡化為

式中，源項系數(shù)Ja是v次空間諧波的系數(shù)。

將式(19)、式(20)代入式(16)，可得通解

1.4 各計算域間的邊界條件

邊界條件如下：

將式(8)、式(10)、式(12)、式(14)、式(21)和式(22)代入，即求得待定常數(shù)A，B，C，D，E和F。

1.5 源項系數(shù)求解

源項系數(shù)Ja可由軸向磁位Am推導，推導過程如下。

由式(17) 可知，對于(kp+v,v) 次時空諧波，在任一永磁體(λ,ρ)塊段內(nèi)，附加源項為

式中，Am由式(21)得到。

由傅里葉系數(shù)計算公式，得到附加源項Ja(x)的傅里葉系數(shù)如下：

由式(21)可知，軸向磁位Am的表達式含有源項系數(shù)Ja，不妨記作

又由式(28)～式(34)可知，源項系數(shù)Ja的實部和虛部表達式含有軸向磁位Am，不妨記作

在計算式(37) 含Re{Ja}和Im{Ja}兩個未知數(shù)的非線性方程組時，選擇合適的算法即可快速地求出足夠精確的數(shù)值解。

1.6 渦流損耗求解

當計算得到各次諧波正確的源項系數(shù)Ja、以及任意常數(shù)A，B，C，D，E和F后，根據(jù)焦耳定律計算損耗功率。

由式(23)，對于一個永磁體段(λ,ρ)，在一個電周期T=2π/(pωr)內(nèi)的平均渦流損耗為

式中，La為永磁體軸向長度。

每一個永磁體段(λ,ρ)內(nèi)的渦流損耗功率均相等，故永磁體的總渦流損耗Pm為

式中，τs為保護套高度中間點所對應半徑上的極距。

2 計算結果及分析

2.1 電機參數(shù)

電機的輸入結構數(shù)據(jù)和參數(shù)如表1 所示。其中定子繞組6 相的輸入電流均為理想的交流電，磁鋼保護套材料為Inconel718，永磁體材料為釹鐵硼，牌號為NdFe35。

表1 電機結構數(shù)據(jù)和參數(shù)Tab.1 Data and parameters of machine

由于過高的轉(zhuǎn)速會引起不可忽視的空載渦流損耗，而本文模型未考慮由定子槽引起的空載渦流損耗，所以設定轉(zhuǎn)子轉(zhuǎn)速ωr為1 000 rpm。永磁體的周向分段可有效降低渦流損耗，故將永磁體分段數(shù)s設定為2。

2.2 收斂性分析

由第一節(jié)公式可知，定子繞組磁動勢引起的渦流損耗由無窮個諧波損耗構成，該無窮級數(shù)是收斂的。轉(zhuǎn)子渦流損耗收斂過程如圖3 所示。

圖3 轉(zhuǎn)子渦流損耗收斂曲線Fig.3 Convergence curve of rotor eddy current loss

保護套和永磁體中，各次諧波損耗的詳細數(shù)據(jù)見表2 和表3。

由表2 和表3 可以看出，對于表1 中的電機，前149 次諧波轉(zhuǎn)子渦流損耗已基本完成收斂，故設定計算諧波次數(shù)為前149 次。

表2 保護套中各次諧波平均渦流損耗Tab.2 Average eddy current loss of each harmonic in retaining sleeve

表3 永磁體中各次諧波平均渦流損耗Tab.3 Average eddy current loss of each harmonic in permanent magnet

2.3 精度分析

使用時步有限元計算表1 中的電機，作為對比，計算文獻[13]中的虛擬電流片模型。3 種模型的轉(zhuǎn)子渦流損耗對比見圖4。

如圖4 所示，兩種解析模型的永磁體和保護套的平均渦流損耗結果與有限元結果基本吻合。

圖4 轉(zhuǎn)子渦流損耗對比Fig. 4 Comparison of rotor eddy current loss

為驗證不同永磁體分段數(shù)s下的渦流損耗結果精度，忽略表1 電機模型中的保護套，其余參數(shù)同上，此時與有限元結果的對比見圖5。

由圖5 可以看出，不同永磁體分段數(shù)s下的永磁體平均渦流損耗結果與有限元結果基本吻合。

圖5 不同分段數(shù)下的永磁體渦流損耗Fig. 5 Eddy current loss of permanent magnet under different segment numbers

需要說明的是，文獻[13]在計算永磁體層磁場時，為了避免考慮周向材料的不連續(xù)性，將永磁體層統(tǒng)一簡化成單一的氣隙層。而后為了考慮渦流反應，文獻[13]又將永磁體電密在厚度上積分成永磁體層頂部的電流片。而本文模型則用傅里葉分解考慮了電導率的階躍函數(shù)，并將電密積分為零的條件統(tǒng)一放到一個場控制方程里。相比文獻[13]，本文模型不僅更易理解，計算過程也簡化了很多。

使用本文解析模型計算結果，繪制表1 電機永磁體層中的感應渦流電密圖，見圖6?？梢钥闯?，每個磁鋼塊段中的渦流電密的積分為零。

圖6 永磁體層中的渦流電密Fig.6 Eddy current density in permanent magnet layer

2.4 影響因素分析

使用本文模型忽略保護套，研究定子繞組節(jié)距αy和永磁體極弧系數(shù)αp對永磁體渦流損耗的影響。αy的取值范圍為[8 °，22 °]，αp的取值范圍為[0.5，0.9]。

定子繞組節(jié)距和永磁體極弧系數(shù)示意圖見圖7。

圖7 繞組節(jié)距和極弧系數(shù)示意圖Fig. 7 Schematic diagram of winding pitch and pole arc coefficient

永磁體周向分段示意圖見圖8。

圖8 永磁體周向分段示意圖Fig. 8 Circumferential segmentation diagram of permament magnet

對于上述范圍的繞組節(jié)距αy和極弧系數(shù)αp，作永磁體平均渦流損耗的響應面。其中為了顯示每極永磁體分段數(shù)s的影響，共作4 個響應面，如圖9 所示?？梢钥闯觯岣哂来朋w分段數(shù)不僅減小響應面的大小，還會影響響應面分布，例如繞組節(jié)距對永磁體平均渦流損耗的影響減弱。

圖9 不同永磁體分段數(shù)下渦流損耗響應面Fig.9 Response surface of eddy current loss under different segments of permanent magnet

3 結 論

本文首先推導一種計算表貼式永磁同步電機渦流損耗的解析模型，包括氣隙、保護套和永磁體的3 層計算域，考慮了渦流反應、6 相繞組激勵的各次時空諧波。優(yōu)點在于將永磁體分段納入模型進行計算，并通過忽略次要的空間諧波而將計算模型大幅簡化，計算效率大幅提升。

對于得到的渦流損耗無窮級數(shù)，首先進行收斂性分析，減小截斷誤差的同時提高了計算效率。為了驗證本文解析模型的精度，將時步有限元結果、其他同類型解析法結果和本文模型結果，分別進行對比?？芍疚哪Ｐ蜐M足一定的精度。

最后利用本文解析模型，得到了不同永磁體分段數(shù)下，渦流損耗關于永磁體極弧系數(shù)和定子繞組節(jié)距這兩個結構尺寸參數(shù)的響應面。相比有限元法，本文解析模型可以快速地得到渦流損耗關于輸入電參數(shù)或結構尺寸設計參數(shù)的響應面，可作為電機設計和優(yōu)化方案的理論依據(jù)和數(shù)學模型，具有很強的工程實用價值。

當然，本文模型有一定的簡化處理，比如忽略了曲率、定子開槽等。后續(xù)研究可以考慮通過對場量進行修正或采用精確子域法來充分考慮。