圓與“影子”結(jié)合的問(wèn)題類型及解析

?甘肅省正寧縣茍仁九年制學(xué)校 袁金鋒

1 引言

“影子”是一種常見的物理現(xiàn)象，當(dāng)不透明的物體受到陽(yáng)光或光線的照射時(shí)，就會(huì)產(chǎn)生影子.近年來(lái)，“影子問(wèn)題”經(jīng)常出現(xiàn)在各級(jí)各類考試中，成為命題的一個(gè)新熱點(diǎn).這類試題既貼近現(xiàn)實(shí)生活，又司空見慣，綜合考查了學(xué)生的數(shù)學(xué)應(yīng)用意識(shí)、創(chuàng)新精神和解決實(shí)際問(wèn)題的能力．

2 光線切圓成影

例1為了更好地學(xué)好數(shù)學(xué)，老師帶領(lǐng)學(xué)生到操場(chǎng)上進(jìn)行數(shù)學(xué)活動(dòng)．將一個(gè)圓形球體放在平整的水平地面上，在充足陽(yáng)光的斜射下，得到球在陽(yáng)光下的影子，同學(xué)們繪制出圖1所示的圖形，其中AB為球體在地面上的影子，平行光線CB，DA與球體相切，切點(diǎn)分別為H，G，經(jīng)測(cè)量球在地面的影子AB=52.5 cm，光線與地面的夾角為45°，能否求出球體的直徑(精確到1 cm)？

圖1

分析：首先理解題意是解題的基礎(chǔ)，“平行光線CB，DA與球體相切，切點(diǎn)為H，G”，可知HG為球的直徑，也是圓的直徑．另外確定點(diǎn)A落在何處，是成功解題的關(guān)鍵.A點(diǎn)的位置不是圓O與地面相切的切點(diǎn)，而是DG的延長(zhǎng)線與地面的交點(diǎn).可通過(guò)構(gòu)造直角三角形，將所求線段轉(zhuǎn)換到直角三角形中進(jìn)行計(jì)算．

解：如圖2，過(guò)點(diǎn)A作AE⊥CB于點(diǎn)E.

圖2

因?yàn)镈A，CB分別與圓相切于點(diǎn)G，H，所以GH的長(zhǎng)為圓的直徑.

由圓切線的性質(zhì)，可知GH⊥GA，GH⊥HE.

于是四邊形AEHG是矩形.所以，AE=GH.

在Rt△ABE中，AB=52.5，∠ABG=45°，所以AE=AB·sin∠ABE=52.5×sin 45°≈ 37(cm).

所以球的直徑是37 cm.

點(diǎn)評(píng)：體會(huì)現(xiàn)實(shí)生活中的實(shí)際問(wèn)題，用數(shù)學(xué)的眼光去觀察生活，體會(huì)生活，運(yùn)用數(shù)學(xué)知識(shí)去解釋、分析、解決實(shí)際問(wèn)題，是數(shù)學(xué)服務(wù)生活的鮮明特征與宗旨．觀察生活，體會(huì)生活，還原生活是解決實(shí)際問(wèn)題的依據(jù)和法寶．在教師的指導(dǎo)下開展數(shù)學(xué)活動(dòng)無(wú)疑是很好的教學(xué)形式，具有廣泛的指導(dǎo)意義．

3 光線切隱圓成影

例2在一次數(shù)學(xué)興趣小組活動(dòng)中，利用樹影測(cè)樹高．已知測(cè)出某一時(shí)刻太陽(yáng)光線與地面成30°角，又測(cè)出樹OB的影子OA為24 m．

(1)求出樹高OB；

分析：第(1)問(wèn)只需找出OA所在的直角三角形即可．第(2)問(wèn),實(shí)質(zhì)是直線與圓相切的問(wèn)題，即樹在倒下的過(guò)程中形成一條以點(diǎn)O為圓心，OB的長(zhǎng)為半徑的圓弧，此時(shí)弧與太陽(yáng)光線CD相切時(shí)影長(zhǎng)最大．解題的關(guān)鍵在于根據(jù)實(shí)際生活背景轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問(wèn)題.

解：(1)如圖3，太陽(yáng)光線與地面成30°角，則∠A=30°；大樹與地面垂直，則∠AOC=90°.

圖3

(2)大樹從直立到倒下的這一過(guò)程，樹頂B的運(yùn)動(dòng)路徑是以點(diǎn)O為圓心，以O(shè)B的長(zhǎng)為半徑作圓弧，如圖4，當(dāng)太陽(yáng)光線與圓弧相切時(shí)樹影最長(zhǎng)．

圖4

假設(shè)大樹在傾斜倒下與平行光線相切時(shí)的切點(diǎn)為D，過(guò)點(diǎn)D作OC⊥OD交OA于C點(diǎn).

由切線的性質(zhì)得∠ODC=90°，由平行光線得∠OCD=30°.

在Rt△OCD中，OC=2OD=2×14=28(m).

答：樹高AB約為14 m；樹影有最長(zhǎng)值，最長(zhǎng)值約為28 m.

點(diǎn)評(píng)：在解題過(guò)程中，首先要了解問(wèn)題的實(shí)際背景，明確事物的發(fā)生、發(fā)展過(guò)程，用動(dòng)態(tài)思維把握實(shí)際問(wèn)題．然后用數(shù)學(xué)語(yǔ)言抽象、簡(jiǎn)化，將生活中的實(shí)際問(wèn)題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問(wèn)題，再用所學(xué)數(shù)學(xué)知識(shí)與方法解決此數(shù)學(xué)問(wèn)題，這時(shí)實(shí)際問(wèn)題也就得以解決．

4 光線切圓的組合體成影

圖5

分析：因?yàn)椤扒蝮w的高度與正方體的高度相同”，且底座為正方體，所以圓的直徑為正方形邊長(zhǎng)，整個(gè)模具的高度就是圓直徑的兩倍，運(yùn)用相似的性質(zhì)求解再根據(jù)直線與圓相切，得到直角三角形，從而得以求解．

解：因?yàn)榍蝮w的高度與正方體的高度相同，底座為正方體，所以圓的直徑為正方形邊長(zhǎng).

根據(jù)對(duì)稱性知，正方形與圓的對(duì)稱中心的連線垂直于地面，如圖6.設(shè)點(diǎn)O為正方形的對(duì)稱中心，點(diǎn)P為圓的圓心，連接OP并兩向延長(zhǎng)交MN，NQ的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E,F,易得EF⊥MN.

圖6

又知太陽(yáng)光線在圓右側(cè)相切，設(shè)切點(diǎn)為Q，連接PQ．由切線的性質(zhì)得PQ⊥NQ，設(shè)圓P的半徑為r.

因?yàn)樘?yáng)光線與地面的夾角成60°，則∠F等于30°.又PQ=r，由30°角的直角三角形得PF=2PQ=2r.

根據(jù)對(duì)稱性EM=r，那么EF的長(zhǎng)為正方形的高度加上圓的半徑及PF的長(zhǎng)，即EF=5r.

點(diǎn)評(píng)：解決本題的關(guān)鍵在于將實(shí)際問(wèn)題抽象、簡(jiǎn)化成數(shù)學(xué)問(wèn)題，運(yùn)用幾何的基本圖形、性質(zhì)、定理，推理解答平面幾何問(wèn)題．正如《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》強(qiáng)調(diào)：“從學(xué)生已有的生活經(jīng)驗(yàn)出發(fā)，讓學(xué)生親身經(jīng)歷，將實(shí)際問(wèn)題抽象成數(shù)學(xué)模型并解釋和運(yùn)用的過(guò)程，讓學(xué)生在空間想象能力、思維能力等各方面得到進(jìn)步和發(fā)展．”

5 部分影子在圓上

例4某中學(xué)數(shù)學(xué)興趣小組到戶外開展數(shù)學(xué)活動(dòng)，發(fā)現(xiàn)廣場(chǎng)有一根旗桿AB和一規(guī)則的冬青圓球(冬青球和地面相切)，在太陽(yáng)光的照射下，如圖7，旗桿的頂端A的影子恰好落在冬青球的最高處，而冬青球的影子剛好落在地面上一點(diǎn)E處，測(cè)得BO=16 m，OE=2.5 m，冬青球的直徑為2 m，EF=2米.求旗桿的高度.

圖7

分析：本題求旗桿AB的高度，將線段AB分成兩段HB和AH，HB即為圓的半徑長(zhǎng)，但AH未知.根據(jù)圓的切線有垂直，過(guò)點(diǎn)G作GH⊥AB于H，發(fā)現(xiàn)有△AGH與△OEF相似，再根據(jù)相似三角形的對(duì)應(yīng)邊成比例即可解決.本題有兩個(gè)誤區(qū)：(1)直接將BE當(dāng)成AB的影子；(2)將線段OG的影子誤認(rèn)為是OE.因此，仔細(xì)推敲影子的形成是解題關(guān)鍵．

解：如圖8，根據(jù)題意，F(xiàn)E與半圓相切于點(diǎn)F，連接OF，由切線的性質(zhì)知∠OFE=90°.

圖8

過(guò)點(diǎn)G作GH⊥AB于H，則四邊形BOGH是矩形.

則BH=OG=2,BO=GH=16.

因?yàn)槠叫泄饩€與水平面的夾角不變，則∠E=∠AGH.又∠OFE=∠AHG=90°，所以△AGH∽△OEF.

故旗桿的高度為14 m.

6 總結(jié)

綜上幾例，可以發(fā)現(xiàn)，解決圓與“影子”相結(jié)合的一類問(wèn)題的關(guān)鍵：根據(jù)題意，分析“影子”是由實(shí)物的哪一部分形成的，體會(huì)“影子”的形成規(guī)律，如何將實(shí)際問(wèn)題抽象、轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問(wèn)題，清楚哪些是未知，要求什么；再運(yùn)用直線與圓相切的性質(zhì)或相似三角形的判定、性質(zhì)等數(shù)學(xué)知識(shí)來(lái)推理解答.

在“雙減”背景下，如何減負(fù)提效是廣大教師共同研究的課題．對(duì)于數(shù)學(xué)解題教學(xué)，教師要精選習(xí)題.在某節(jié)課中，選擇同一類型的有代表性的習(xí)題，層層遞進(jìn)，逐步展開．培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)運(yùn)算、數(shù)學(xué)抽象和數(shù)學(xué)建模等核心素養(yǎng)，不斷提升學(xué)生的思維品質(zhì)．