巧用復(fù)數(shù) 優(yōu)化解題

王偉杰

(安徽省無為中學(xué)高二(6)班，238300)

安徽省合肥市一中、六中、八中2020-2021學(xué)年高一下學(xué)期數(shù)學(xué)期末聯(lián)考題第21題如下:

試題合肥逍遙津公園是三國(guó)古戰(zhàn)場(chǎng),也是合肥最重要的文化和城市地標(biāo),是休閑游樂場(chǎng),更是幾代合肥人美好記憶的承載地.2020年8月啟動(dòng)改造升級(jí)工作,欲對(duì)該公園內(nèi)的一個(gè)平面凸四邊形ABCD的區(qū)域進(jìn)行改造,如圖1所示,其中DC=4a米,DA=2a米,?ABC為正三角形.改造后的?BCD將作為人們旅游觀光、休閑娛樂的區(qū)域,?ABD將作為對(duì)三國(guó)歷史文化的介紹區(qū)域.

(2)求旅游觀光、休閑娛樂的區(qū)域?BCD的面積的最大值.

如下的解法1是此題的參考答案.

(2)如圖2,設(shè)∠ADC=α，∠ACD=β,BC=AC=x.在?ACD中，由余弦定理知AC2=AD2+DC2-2AD·DCcosα,即x2=4a2+16a2-2×2a×4acosα,亦即

x2=(20-16cosα)a2.

①

②

由正弦定理得

③

由① ② ③ 三式,可得

反思上述解法需運(yùn)用正弦定理、余弦定理列出三個(gè)方程,聯(lián)立得出面積的表達(dá)式,過程繁瑣且不易想出,綜合分析問題能力要求較高.如何簡(jiǎn)化問題的表達(dá)過程,達(dá)到優(yōu)化解題的目的?這里介紹此題在復(fù)數(shù)視角下的一種簡(jiǎn)便解法.

評(píng)注上述復(fù)數(shù)解法思路簡(jiǎn)單,便于操作.此種方法在2019年人教A版普通高中《數(shù)學(xué)》(必修第二冊(cè))第7章7.3節(jié)有所介紹,但由于是選學(xué)內(nèi)容,可能沒有引起同學(xué)們的重視.其實(shí)在處理與旋轉(zhuǎn)有關(guān)的問題時(shí),復(fù)數(shù)是一個(gè)非常有力的工具.對(duì)復(fù)數(shù)視角下的解題方法技巧的運(yùn)用,希望同學(xué)們能繼續(xù)拓展延伸.

(指導(dǎo)老師:朱小扣)