王淑良，朱 浩，趙明偉,2，劉麗俊,2

(1.江蘇師范大學(xué)電氣工程及自動化學(xué)院，江蘇徐州 221116； 2.上海大學(xué)機(jī)電工程與自動化學(xué)院，上海 200444)

Stewart平臺屬于六自由度并聯(lián)機(jī)構(gòu)，主要由上平臺、下平臺以及6個(gè)可伸縮的驅(qū)動桿組成，從機(jī)構(gòu)學(xué)的角度講，并聯(lián)機(jī)構(gòu)具有高剛度，并具有精確的定位能力，其高水平并聯(lián)設(shè)計(jì)產(chǎn)生了優(yōu)于串聯(lián)機(jī)構(gòu)的負(fù)載能力、動態(tài)性能和定位精度[1]。并聯(lián)機(jī)構(gòu)已在飛行模擬器以及各種駕駛模擬器、新型機(jī)床、航空航天對接等領(lǐng)域得到了廣泛應(yīng)用[2-4]。

Stewart并聯(lián)機(jī)構(gòu)運(yùn)動學(xué)正解需要求解一組強(qiáng)耦合非線性方程組，目前缺乏求解運(yùn)動學(xué)方程的有效算法[5]。傳統(tǒng)的正解方法分為數(shù)值法和解析法：數(shù)值法核心為迭代計(jì)算，一般以Newton法為基礎(chǔ)，通用性好，求解穩(wěn)定精度高，但是其為局部收斂，對初始值敏感，初值選取不當(dāng)容易出現(xiàn)不收斂[6];解析法通過建立約束方程、消元和幾何分析等方法建立了幾種特定結(jié)構(gòu)并聯(lián)平臺的封閉解，雖可以求得機(jī)構(gòu)全部運(yùn)動學(xué)正解，但是計(jì)算過程極為復(fù)雜，缺乏通用性[7]。為了解決Newton-Raphson對初始值敏感性的問題，很多學(xué)者提出了解決方案，WANG等[8]采用自然坐標(biāo)的方法得到一組二次方程的Stewart平臺的運(yùn)動學(xué)模型，利用此特性簡化了Newton-Raphson算法，以減少方程和雅可比矩陣之間迭代的更新時(shí)間；謝志江等[9]提出了基于最速下降法和多元牛頓法的組合數(shù)值方法，在降低對初始值依賴的同時(shí)還減少了單步迭代的計(jì)算量乃至更快速的收斂。

近年來，學(xué)者們開始借鑒智能算法解決位置正解問題，以此彌補(bǔ)傳統(tǒng)運(yùn)動學(xué)正解算法的缺陷。很多研究者采用遺傳算法[10]、模擬退火算法[11]、人群搜索算法[12]等來求解位姿正解，取得了一定的成果。BP神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)對非線性映射有非常好的逼近能力，無需推導(dǎo)輸入、輸出的顯性表達(dá)式并且運(yùn)算效率高[13]，但是單一的BP神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)容易陷入局部最優(yōu)，很難滿足平臺正解的精確要求。眾多學(xué)者基于該算法進(jìn)行了改進(jìn)。李晶[14]采用遺傳算法(GA)優(yōu)化RBF神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)模型，驗(yàn)證了遺傳神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)正解法具有較好的收斂性和較快的速度，能夠滿足Stewart平臺運(yùn)動學(xué)求解的需要；LI等[15]采用全局搜索能力更好的粒子群算法(PSO)對BP神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)模型進(jìn)行學(xué)習(xí)訓(xùn)練，訓(xùn)練時(shí)間更短，求解精度更高，易于實(shí)現(xiàn)Stewart平臺的實(shí)時(shí)控制。與GA和PSO不同，天牛須搜索算法(BAS)是單體搜索算法，能夠大大減少運(yùn)算量和時(shí)間[16]。

本文基于BAS具有一定的精度和快速的尋優(yōu)能力，對BAS的步長調(diào)整和引入慣性權(quán)重進(jìn)行改進(jìn)，驗(yàn)證改進(jìn)后的BAS優(yōu)化BP神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)模型對求解Stewart平臺正解具有高精度和運(yùn)算速度的優(yōu)越性，以解決平臺正解需要的準(zhǔn)確性和實(shí)時(shí)性問題。

1 運(yùn)動學(xué)反解模型

本文研究的Stewart平臺的上、下平臺通過虎克鉸與電動缸的兩端相連，通過6個(gè)電動缸的協(xié)調(diào)運(yùn)動，可以實(shí)現(xiàn)3個(gè)方向的位置移動和姿態(tài)轉(zhuǎn)動。運(yùn)動學(xué)反解是通過并聯(lián)平臺的位置和姿態(tài)，求各個(gè)電動缸長度的過程。定義平臺坐標(biāo)系，以上平臺中心O1和下平臺中心O分別建立動、靜坐標(biāo)系，上平臺的位姿由動坐標(biāo)系相對于靜坐標(biāo)系的廣義坐標(biāo)表示，位姿由6個(gè)參數(shù)x,y,z,α,β,γ表示，x,y,z分別表示上平臺沿X，Y，Z軸移動的平移量，α,β,γ分別為橫滾角、縱擺角、偏航角，表示上平臺繞X，Y，Z軸旋轉(zhuǎn)的角度。

采用n+1維向量來描述n維向量再進(jìn)行坐標(biāo)變化，如空間坐標(biāo)系中某點(diǎn)P通過四維向量(xp,yp,zp,1)表示，平移變化矩陣為Tp，繞三軸旋轉(zhuǎn)變化的矩陣為Tx,Ty,Tz，動坐標(biāo)相對于靜坐標(biāo)系的旋轉(zhuǎn)變換矩陣T=TxTyTzTp表示為

(1)

式中：cα=cosα；sα=sinα。

Stewart平臺的上平臺鉸點(diǎn)為P1-6,下平臺鉸點(diǎn)為B1-6，上平臺半徑為Ra,下平臺半徑為Rb，上平臺鉸點(diǎn)夾角為2a,下平臺鉸點(diǎn)夾角為2b，平臺的主視圖和俯視圖分別如圖1 a)和圖1 b)所示。

圖1 平臺示意圖

根據(jù)平臺的空間向量關(guān)系可以得到：

li=Pi+H-Bi，

(2)

式中：Pi，Bi，li分別表示靜坐標(biāo)系中上平臺中心點(diǎn)到第i個(gè)上鉸點(diǎn)的向量，下平臺中心點(diǎn)到第i個(gè)下鉸點(diǎn)的向量和第i個(gè)電動缸的空間向量，則上平臺在初始中位時(shí)各缸的長度為|li|。當(dāng)上平臺運(yùn)動到目標(biāo)位姿時(shí)，即動平臺進(jìn)行平移旋轉(zhuǎn)運(yùn)動，圖2是位姿變化示意圖，空間向量關(guān)系為

li′=TPi+H-Bi，

(3)

式中TPi的結(jié)果采用3維向量表示，則變化后的各電動缸的長度為|li′|。

2 IBAS-BPNN模型的建立

2.1 BP神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)

BP神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)是一種反向傳播網(wǎng)絡(luò)，具有良好的函數(shù)映射能力和數(shù)據(jù)預(yù)測能力，BP神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)通過對大量數(shù)據(jù)的訓(xùn)練模擬出輸入數(shù)據(jù)與輸出數(shù)據(jù)之間的非線性關(guān)系[17]。結(jié)構(gòu)上分為輸入層、隱藏層和輸出層，在隱藏層和輸出層中的每個(gè)神經(jīng)元其凈激活量為

(4)

式中：netj是指此層中第j個(gè)神經(jīng)元的凈激活量；xi是指神經(jīng)元的輸入值；ωij，θ分別表示神經(jīng)元上的權(quán)值和閾值。

初始化網(wǎng)絡(luò)的權(quán)值和閾值，對輸入的參數(shù)進(jìn)行正向傳播，通過梯度下降法進(jìn)行誤差反向?qū)W習(xí)，每次迭代都對權(quán)值和閾值進(jìn)行調(diào)整，以訓(xùn)練數(shù)據(jù)的均方誤差為目標(biāo)，通過迭代學(xué)習(xí)，保證誤差與設(shè)定值接近后停止訓(xùn)練。Stewart平臺有6根作動器和6個(gè)位姿參數(shù)，所以建立的BP神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)模型有6個(gè)輸入和6個(gè)輸出，輸入是作動器的長度，輸出是平臺的位姿參數(shù)。隱藏層的神經(jīng)元個(gè)數(shù)參考經(jīng)驗(yàn)公式(5)，根據(jù)逐步增長或逐步修剪法反復(fù)實(shí)驗(yàn)來找到最合適的值[18]，本文選取Q=20。同時(shí)，隱藏層選擇tansig函數(shù)作為激活函數(shù)，輸出層則選擇purelin函數(shù)，訓(xùn)練函數(shù)選擇trainlm函數(shù)。

(5)

式中：I，O分別為輸入和輸出節(jié)點(diǎn)個(gè)數(shù)；C為常數(shù)。

2.2 天牛須搜索算法

天牛須搜索算法(BAS)是在2017年提出的一種生物啟發(fā)式智能優(yōu)化算法，是受到自然界中天牛覓食原理的啟發(fā)[19]。天牛須搜索算法是單體智能尋優(yōu)算法，具有個(gè)體簡單、計(jì)算量小、收斂速度快、全局優(yōu)化能力強(qiáng)并且容易實(shí)現(xiàn)等優(yōu)點(diǎn)[20]。在覓食過程中，天牛會通過2只觸角對空間的食物氣味進(jìn)行感知，并且2只觸角距食物的遠(yuǎn)近不同，所感知的食物氣味濃度也有差別，天牛會向著濃度強(qiáng)的一側(cè)隨機(jī)前進(jìn)，最終找到食物的位置。BAS算法中天牛的當(dāng)前位置即為所求解問題的一個(gè)可行解，食物的氣味濃度即為適應(yīng)度函數(shù)。BAS算法的主要步驟如下。

Step1：設(shè)定2須之間的距離d0，步長為step，假設(shè)天牛的初始空間坐標(biāo)為

X0=(x1,x2,...,xk)。

(6)

Step2：產(chǎn)生一個(gè)隨機(jī)向量b=rand(k,1)，并對其作歸一化處理，則創(chuàng)建天牛左右須的空間坐標(biāo)：

(7)

Step3：更新天牛下一步位置：

Xt+1=Xt-δtb×sign[f(Xl)-f(Xr)]，

(8)

式中：f(X)是適應(yīng)度值；sign()是符號函數(shù)；δt是第t次迭代時(shí)的步長。初始步長更新公式為

δt=eta×δt-1，

(9)

式中eta為步長因子，取值在0～1之間，一般取0.95，其作用是按比例減小步長，提高算法的收斂速度和性能。

2.3 改進(jìn)天牛須搜索算法

BAS算法是一種不改變優(yōu)化對象的隨機(jī)優(yōu)化方法，當(dāng)計(jì)算成本增加時(shí)，搜索算法的實(shí)時(shí)性能將降低。因此，合理的參數(shù)初始化和更新策略可以在一定程度上提高搜索效率[20]。KOU等[21]受到WCA隨機(jī)游蕩行為的啟發(fā)在左右觸角上添加了“隨機(jī)天線”，增強(qiáng)了局部搜索能力。

BAS算法的搜索能力和收斂速度受步長影響較大，原算法的步長策略容易過早收斂陷入局部最優(yōu)，影響搜索效率和精度。本文對其步長策略進(jìn)行改進(jìn)，改進(jìn)后的步長變化公式為

(10)

式中：δstart是天牛初始步長；δend是結(jié)束迭代時(shí)的步長；T是最大迭代次數(shù)。

通過式(10)可以看出，步長與迭代次數(shù)成負(fù)相關(guān)并且步長呈非線性減小，因此在迭代初期步長值較大且變化緩慢，有利于迭代初期找到滿足條件的局部最優(yōu)值，并以較快的速度遍布整個(gè)搜索空間從而確定最優(yōu)值的大概范圍；當(dāng)接近最大迭代次數(shù)時(shí)，步長變化較快且接近迭代結(jié)束時(shí)的步長，由于此時(shí)天牛的搜索空間集中在最優(yōu)值的附近，快速減小的步長能夠快速收斂逼近全局最優(yōu)值。

一般來說，單體搜索的能力弱于群體搜索，在單體層次上可以通過引入慣性權(quán)重Wt，增強(qiáng)個(gè)體的搜索能力。這一原理與添加隨機(jī)天線類似，差別是慣性權(quán)重變化規(guī)律是通過人為設(shè)定的，前期較大的慣性權(quán)重值可以加快天牛對新區(qū)域的搜索速度，后期較小的權(quán)重可以增強(qiáng)天牛的局部搜索能力。權(quán)重更新的表達(dá)式和改進(jìn)后天牛位置更新的表達(dá)式如下：

(11)

Xt+1=WtXt-δtb×sign[f(Xl)-f(Xr)]。

(12)

2.4 IBAS-BPNN模型建立

BP神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的初始權(quán)值和閾值一般是通過隨機(jī)初始化的方式取得的，容易陷入局部最優(yōu)。研究表明，使用優(yōu)化算法對初始權(quán)值和閾值進(jìn)行優(yōu)化，很大程度上提高了BP神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的性能[22]。利用改進(jìn)天牛須搜索算法(IBAS)的優(yōu)點(diǎn)，可以快速搜索出網(wǎng)絡(luò)的最佳初始權(quán)、閾值，以提高網(wǎng)絡(luò)全局最優(yōu)能力。

Stewart平臺的6個(gè)電動缸的長度作為輸入數(shù)據(jù)集，平臺位姿的6個(gè)參數(shù)為輸出數(shù)據(jù)，隱藏層有20個(gè)神經(jīng)元，IBAS優(yōu)化的權(quán)、閾值總數(shù)為266個(gè)，權(quán)、閾值的合集即為天牛的位置。模型采用均方誤差(MSE)作為適應(yīng)度評價(jià)函數(shù)來評估模型的準(zhǔn)確性，通過迭代更新天牛位置得到最佳適應(yīng)度值。IBAS-BPNN模型的結(jié)構(gòu)如圖3所示。

圖3 IBAS-BPNN模型結(jié)構(gòu)圖

3 仿真結(jié)果分析

以下結(jié)果都是在Intel Core i5處理器、8G內(nèi)存、64位Windows 10操作系統(tǒng)、MATLAB 2019a的環(huán)境下仿真得出的。

平臺參數(shù)如表1所示。在平臺工作空間中隨機(jī)選取1 000組位姿進(jìn)行反解計(jì)算得到對應(yīng)的電動缸長度參數(shù)，將數(shù)據(jù)作為神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的訓(xùn)練集，在工作空間中選取1組變化的位姿作為測試集，通過測試集誤差性能驗(yàn)證IBAS-BPNN正解法的適用性；選擇GA-BPNN，PSO-BPNN，BAS-BPNN模型與改進(jìn)方法進(jìn)行對比，并且采用MSE，RMSE和MAPE作為誤差性能指標(biāo)進(jìn)行評價(jià)，驗(yàn)證IBAS-BPNN的優(yōu)越性。

表1 平臺參數(shù)

3.1 IBAS-BPNN正解結(jié)果分析

在改進(jìn)BAS-BPNN模型中，算法的參數(shù)設(shè)定通過反復(fù)實(shí)驗(yàn)確定如下：初始步長δstart為5，結(jié)束步長δend為2，2須之間的距離d0為2，最大慣性權(quán)重Wmax為2，最小慣性權(quán)重Wmin為1/2，迭代次數(shù)為100。采用均方差作為模型迭代時(shí)的適應(yīng)度值，圖4是IBAS-BPNN模型的最佳適應(yīng)度曲線。由圖4可知，在迭代接近100次時(shí)，適應(yīng)度值仍然發(fā)生變化，因此，本文嘗試迭代了200次，結(jié)果發(fā)現(xiàn)適應(yīng)度值并沒有很大的提升，最終為了減少運(yùn)算時(shí)間，綜合考慮后仍采用100次迭代為佳。

圖4 最佳適應(yīng)度曲線

在平臺的運(yùn)動范圍內(nèi)選取一段位姿變化作為模型的測試數(shù)據(jù)，式(13)為選取的100組位姿數(shù)據(jù)點(diǎn)：

(13)

圖5是這段給定位姿通過模型正解的空間位置跟蹤情況，由圖5可以發(fā)現(xiàn)該模型的正解數(shù)據(jù)能夠跟蹤到給定位置。但是圖5無法反映平臺的空間姿態(tài)，因此將6個(gè)位姿參數(shù)分為了3個(gè)位置參數(shù)和3個(gè)姿態(tài)參數(shù)，圖6和圖7分別是測試數(shù)據(jù)的位置誤差和姿態(tài)誤差。由圖6可以發(fā)現(xiàn)，測試數(shù)據(jù)中最大位置誤差僅約0.12 cm；由圖7可以看出，最大姿態(tài)誤差不超過0.32°。由于選取的位姿在變化到參數(shù)接近給定的極限狀態(tài)時(shí)，位姿誤差通常比較大，因此引入誤差百分比這個(gè)指標(biāo)來補(bǔ)充判斷正解精度水平。圖8是模型的誤差百分比，模型的最大誤差百分比不超過0.6%，并且較大誤差百分比都出現(xiàn)在位姿參數(shù)接近于0時(shí)。由于實(shí)際位姿參數(shù)作為分母較小會導(dǎo)致誤差百分比偏大，這也是在選取測試數(shù)據(jù)時(shí)舍去了t=0時(shí)位姿數(shù)據(jù)的原因。綜上所述，IBAS-BPNN作為Stewart平臺的正解方法在精度方面是滿足需求的。

圖5 空間位置跟蹤

圖6 位置誤差

圖7 姿態(tài)誤差

圖8 誤差百分比

3.2 模型性能指標(biāo)對比

為了驗(yàn)證IBAS-BPNN正解方法的優(yōu)越性，本文在相同數(shù)據(jù)集訓(xùn)練，并且迭代進(jìn)化次數(shù)都為100的情況下，對比了GA-BPNN，PSO-BPNN，BAS-BPNN和IBAS-BPNN模型的誤差性能指標(biāo)和運(yùn)算時(shí)間，見表2。

表2 模型的誤差性能指標(biāo)及運(yùn)算時(shí)間

由表2可知，GA-BPNN的均方誤差(MSE)、均方根偏差(RMSE)和平均絕對百分比誤差(MAPE)都大于另外3個(gè)模型，PSO-BPNN的3個(gè)誤差性能指標(biāo)優(yōu)于BAS-BPNN但是運(yùn)算時(shí)間遠(yuǎn)大于BAS-BPNN，而IBAS-BPNN的誤差性能指標(biāo)相比于PSO-BPNN略有優(yōu)勢，并且運(yùn)算時(shí)間僅需31.9 s，相較于改進(jìn)前也有提升。GA-BPNN的正解精度最差且運(yùn)算時(shí)間最長，IBAS-BPNN的正解精度最高且速度最快，而PSO-BPNN和BAS-BPNN在正解精度和運(yùn)算速度上各有優(yōu)勢。

綜上所述，IBAS-BPNN的正解精度和運(yùn)算速度都得到了較大提升，在正解精度方面優(yōu)于PSO-BPNN，在運(yùn)算速度上優(yōu)于BAS-BPNN，因此IBAS-BPNN模型在求解Stewart平臺的正解時(shí)具有一定的優(yōu)越性。

4 結(jié) 論

本文在對六自由度并聯(lián)平臺的運(yùn)動學(xué)進(jìn)行分析的基礎(chǔ)上建立了平臺的空間反解模型和優(yōu)化正解模型，針對BP神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)容易陷入局部最優(yōu)的問題，提出了采用IBAS-BPNN作為平臺的通用正解方法并仿真驗(yàn)證。結(jié)論如下。

1)通過對測試樣本的位置誤差、姿態(tài)誤差和誤差百分比分析，驗(yàn)證了IBAS-BPNN正解方法的適用性，其求解精度較高，解算結(jié)果穩(wěn)定。

2)通過與GA-BP，PSO-BP和BAS-BP對比，驗(yàn)證了IBAS-BP在求解精度和訓(xùn)練速度方面的優(yōu)越性，能夠滿足Stewart平臺精度要求的同時(shí)兼顧求解速度的提升。此正解方法可應(yīng)用于平臺位姿大閉環(huán)控制、故障恢復(fù)、工作空間分析、試驗(yàn)過程的實(shí)時(shí)監(jiān)控等場景。

在一些平臺應(yīng)用場景中對精度的要求非常高，本文的方法也難以滿足。今后在現(xiàn)有工作基礎(chǔ)上可以研究數(shù)值迭代法，將本文結(jié)果作為數(shù)值迭代的初值，探索更精確、快速的位姿正解方法。