奇長度的4q-QAM互補(bǔ)序列集

丁小茂，周亞晶，羅榮

(西南交通大學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)院， 四川 成都 611756)

0 引言

格雷互補(bǔ)序列(Golay complementary sequences,GCS)可用于OFDM信號產(chǎn)生低PMEPR波形. 1999年，Davis-Jedwab[1]基于廣義布爾函數(shù)構(gòu)造了多相GCS[2]，產(chǎn)生的OFDM波形PMEPR最大為2[2-3]. Paterson[4]基于RM碼推廣了Davis-Jedwab的成果. Schmidt[5]將Paterson的構(gòu)造擴(kuò)展到廣義RM碼的高階陪集，獲得了更高的碼率. 上述文獻(xiàn)中基于廣義布爾函數(shù)構(gòu)造的GCS的長度都是2的方冪. Chen[6-7]基于廣義布爾函數(shù)構(gòu)造了長度為非二方冪的q元(q為偶數(shù))互補(bǔ)序列集，其PMEPR為集合大小的上界.

上述互補(bǔ)序列為多相互補(bǔ)序列，QAM互補(bǔ)序列由于其較大的碼率而廣泛應(yīng)用于OFDM系統(tǒng). 基于兩個(gè)四元GCS的組合，R?βing-Tarokh[8]首次從加權(quán)和中構(gòu)造了最大PMEPR為3.6的16-QAM GCS序列. 結(jié)果表明，該序列的碼率是PMEPR略高的多相GCS的兩倍. 后來，Chong-Venkataramani-Tarokh[9]利用廣義布爾函數(shù)推廣了他們的結(jié)果. 在文獻(xiàn)[9]中，作者發(fā)現(xiàn)，在相同的PMEPR約束下，具有16-QAM GCS的OFDM系統(tǒng)比僅具有二元或四元GCS的OFDM系統(tǒng)更能得到較高碼率. 后來學(xué)者們又給出64-QAM GCS的一般性構(gòu)造[10-11]. Li[12]修正了文獻(xiàn)[9]中的序列對描述、文獻(xiàn)[11]中給出的構(gòu)造. Li[13]給出3類4q-QAM (q≥1) GCS構(gòu)造. Liu-Li -Guan[14]利用高斯整數(shù)對，構(gòu)造了2類新的4q-QAM (q≥3) GCS. 在文獻(xiàn)[15]中，Zhou- Zhou -Yang利用廣義布爾函數(shù)構(gòu)造出長度為2m-1+2v(1≤v≤m-2)的4q-QAM (q≥1) CSS. 事實(shí)上，利用廣義布爾函數(shù)構(gòu)造的4q-QAM CSS多為偶長度，但關(guān)于奇長度的4q-QAM (q≥1) CSS研究相對較少，本文中的研究動機(jī)就是設(shè)計(jì)奇長度的4q-QAM CSS. 受文獻(xiàn)[13]和[6]中工作的啟發(fā)，本研究構(gòu)造了奇長度的4q-QAM CSS，確定了新序列數(shù)目，并給出了新序列PMEPR的上界.

1 預(yù)備知識

(1)

令n為正整數(shù)，n={0,1,…,n-1}表示整數(shù)模n后形成的集合.對于廣義布爾函數(shù)為從{0,1}m到n的一個(gè)映射. 給定定義f=(f0,f1,…,f2m-1),其中fi=f(i1,i2,…,im)，(i1,i2,…,im)表示i的二進(jìn)制表達(dá)相應(yīng)系數(shù)，即其中im表示最高位系數(shù).

本研究考慮上述f的截?cái)? 令f(L)為f去掉最后2m-L個(gè)元素，形成L長的序列.取ξ為n次單位復(fù)根. 定義長度為L的復(fù)值序列ψ(f)(L)由f(L)生成：ψ(f)(L)=(ξf0,ξf1,…,ξfL-1).為了簡潔，將忽略f(L)的上標(biāo).

Li[13]中提出了一種4q-QAM GCP的構(gòu)造方法.

2 奇長度4q-QAM CSS的構(gòu)造

E=(E0,E1,…,EL-1),F=(F0,F1,…,FL-1),G=(G0,G1,…,GL-1),H=(H0,H1,…,HL-1)，

為證明定理2，需要用到文獻(xiàn)[6]和文獻(xiàn)[1]中的兩個(gè)定理. 下面將給出這兩個(gè)定理.

定理3[6]各符號含義與定理2一致，則集合{ψ(A(L)),ψ(B(L)),ψ(C(L)),ψ(D(L))}為長為L的互補(bǔ)序列集.

下面對定理2進(jìn)行證明.

由定理3可知，{ψ(a(p)),ψ(b(p)),ψ(c(p)),ψ(d(p))}(0≤p≤q-1)是一個(gè)長度為L的CSS. 因此可以得到Rψ(a(p))(u)+Rψ(b(p))(u)+Rψ(c(p))(u)+Rψ(d(p))(u)=0.從而有

RE(u)+RF(u)+RG(u)+RH(u)=∑p′≠p″rp′rp″[Rψ(a(p′)),ψ(a(p″))(u)+Rψ(a(p″)),ψ(a(p′))(u)

+Rψ(b(p′)),ψ(b(p″))(u)+Rψ(b(p″)),ψ(b(p′))(u)+Rψ(c(p′)),ψ(c(p″))(u)+Rψ(c(p″)),ψ(c(p′))(u)

+Rψ(d(p′)),ψ(d(p″))(u)+Rψ(d(p″)),ψ(d(p′))(u)]

(2)

Rψ(a(p′)),ψ(a(p″))(u)+Rψ(b(p′)),ψ(b(p″))(u)+Rψ(c(p′)),ψ(c(p″))(u)+Rψ(d(p′)),ψ(d(p″))(u)+

Rψ(a(p″)),ψ(a(p′))(u)+Rψ(b(p″)),ψ(b(p′))(u)+Rψ(c(p″)),ψ(c(p′))(u)+Rψ(d(p″)),ψ(d(p′))(u)=0.

因此，我們僅證明下述等式即可

(3)

其中，

并且

要證明等式(3)，可對2m-1≤u

情形1u=2m-1.由2(im-jm)≡2 (mod 4)可得

故等式(3)成立.

情形2 0

(4)

再證明上述方程右邊等于0即可.

先證

(5)

由jm=im=0，由定理1可知：{E,G}和{F,H}皆是長為2m-1的4q-QAM格雷互補(bǔ)對. 再由定理4可知：對所有0≤p≤q-1，{ψ(a(p)),ψ(c(p))},{ψ(b(p)),ψ(d(p))}都是長為2m-1的格雷互補(bǔ)對. 綜上，對所有0≤p′≠p″≤q-1，可得

從而等式(5)成立.

再證

(6)

由于2(jm-im)≡2 (mod 4)，因此有

從而得到等式(6).

根據(jù)上述分析可知，對所有1≤u

一般來說，要得到定理2所生成序列的精確PMEPR是很難的. 然而，基于Liu-Guan[16]的研究結(jié)果，這些序列的PMEPR上界為N.根據(jù)等式(1)，可以得到下述結(jié)果.

推論1定理2中集合{E,F,G,H}的PMEPR上界為4.

推論1的證明對任意0

于是容易得到

結(jié)論得證.

表1給出了大小為4，長度在5和12之間的4q-QAM GCP和4q-QAM CSS. “√”表示對應(yīng)的序列是存在的. 下述結(jié)果表明，定理2所提出的序列參數(shù)具有更強(qiáng)的靈活性. 從表2中可以看出，與其他構(gòu)造相比，只有定理2能得到集合大小為4長度為奇數(shù)的4q-QAM CSS. 表2比較了文獻(xiàn)[13-15]和本文中構(gòu)造QAM互補(bǔ)序列的參數(shù). 可以看出，本文中構(gòu)造的序列彌補(bǔ)了現(xiàn)有參數(shù)的不足.

表1 不同長度的4q-QAM GCP和4q-QAM CSS對比

表2 QAM GSS的已知參數(shù)對比

3 結(jié)論

本研究在廣義布爾函數(shù)的基礎(chǔ)上，構(gòu)造了一個(gè)大小為4的奇長度CSS. 構(gòu)造的4q-QAM CSS的PMEPR是有界的. 并與文獻(xiàn)[13-15]中的4q-QAM 格雷序列的相關(guān)參數(shù)進(jìn)行了比較. 結(jié)果表明，所提出的序列參數(shù)是新的，為通信系統(tǒng)提供了更多的選擇.