鄭文靜， 陳尚杰， 李麟

1.重慶工商大學(xué) 數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院，重慶 400067；2.經(jīng)濟(jì)社會(huì)應(yīng)用統(tǒng)計(jì)重慶市重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，重慶 400067

考慮如下發(fā)展方程：

(1)

(2)

具體可參見(jiàn)文獻(xiàn)[1].熱方程作為拋物型偏微分方程，不僅可以用來(lái)描述熱傳導(dǎo)過(guò)程，也可以用來(lái)描述多種反應(yīng)的擴(kuò)散過(guò)程，諸如液體流動(dòng)、傳染病擴(kuò)散、生物種群的遷移、生物分子的運(yùn)動(dòng)以及飛行器的冷卻與保護(hù)等.目前關(guān)于用變分原理來(lái)研究相關(guān)增權(quán)問(wèn)題解的存在性和不存在性，受到了國(guó)內(nèi)外學(xué)者的廣泛關(guān)注并取得了豐碩的研究成果.

文獻(xiàn)[2]研究了在非線性項(xiàng)f(x，u)分別滿足超線性條件和漸近線性條件的情況下，方程(2)基態(tài)解的存在性.除此之外，更多的學(xué)者研究了方程(2)中非線性項(xiàng)f(x，u)具有臨界增長(zhǎng)的情況，即如下方程：

(3)

其中

文獻(xiàn)[3-8]研究了N≥3且非線性項(xiàng)臨界增長(zhǎng)的情況，通過(guò)改變方程(3)中a(x)，b(x)的取值及討論q和參數(shù)λ的取值范圍，分別得到了相應(yīng)方程的基態(tài)解、非徑向解、非徑向?qū)ΨQ(chēng)基態(tài)解、變號(hào)解、衰減解、非平凡解和多解的存在性結(jié)論.文獻(xiàn)[9-10]研究了方程(3)帶有凹凸非線性項(xiàng)的情況，其中文獻(xiàn)[9]運(yùn)用極小化理論和山路定理證明了方程存在兩個(gè)非負(fù)解，文獻(xiàn)[10]在文獻(xiàn)[9]的基礎(chǔ)上，運(yùn)用測(cè)試函數(shù)和山路定理得到了方程非平凡解的存在性.

與上述方程略有不同，文獻(xiàn)[11]考慮了帶非局部項(xiàng)的橢圓型偏微分方程

(4)

目前關(guān)于該類(lèi)具有快速增權(quán)的方程的研究多限于非線性項(xiàng)為具體函數(shù)，如方程(3).而在非線性項(xiàng)為抽象函數(shù)(如方程(4)的右邊)的情況下，該類(lèi)方程的解是否存在，還尚未可知.

基于對(duì)以上帶權(quán)重K(x)的方程的研究及文獻(xiàn)[11，15]的啟發(fā)，本文將研究如下一類(lèi)帶有一般非線性項(xiàng)的橢圓型方程解的存在性問(wèn)題：

(5)

由于方程(5)不是點(diǎn)態(tài)恒等的，且其右端是一個(gè)抽象函數(shù)，我們不能確定范數(shù)項(xiàng)與非局部項(xiàng)的競(jìng)爭(zhēng)關(guān)系.并且關(guān)于該類(lèi)方程是否存在基態(tài)解這一問(wèn)題，暫無(wú)學(xué)者做相關(guān)研究.因此本文不能利用文獻(xiàn)[2，11]的方法證明方程(5)解的存在性.為了解決這一問(wèn)題，受文獻(xiàn)[2，15]的啟發(fā)，本文考慮將方程放入一個(gè)加權(quán)的Sobolve空間中以解決空間失緊問(wèn)題，并對(duì)非線性項(xiàng)f(x，u)做一些恰當(dāng)?shù)募僭O(shè)，利用山路定理來(lái)證明解的存在性.對(duì)非線性項(xiàng)f(x，u)的假設(shè)如下：

(F4)(局部AR條件) 存在l>0，C2>0，使得

本文的主要結(jié)果為：

定理1假設(shè)條件(F1)-(F4)成立，則方程(5)有一個(gè)非平凡解.

定理2假設(shè)條件(F1)-(F3)和(F5)成立，則方程(5)有一個(gè)基態(tài)解.

注1對(duì)于方程(5)，目前還沒(méi)有類(lèi)似的結(jié)論，且關(guān)于本文中給出的條件，可以找到滿足條件的函數(shù)，如F(x，t)=t4log(1+|t|).

范數(shù)為

對(duì)?q∈[2，6]，定義空間

對(duì)?q∈[2，6]，可以定義

Sq=inf{‖u‖2：u∈X，‖u‖q=1}

方程(5)相應(yīng)的能量泛函為

(6)

顯然，I(u)是連續(xù)可導(dǎo)泛函，且其導(dǎo)數(shù)形式為

(7)

如果對(duì)?v∈X，u∈X滿足〈I′(u)，v〉=0，則u∈X是方程(5)的弱解.

Γ={γ∈C([0，1]，X)：γ(0)=x0，γ(1)=x1}

若泛函I滿足(C)c條件(既對(duì)任何滿足I(un)→c，(1+‖u‖)I′(un)→0的序列{un}都有一個(gè)收斂子列)，則c是I的一個(gè)臨界值，且c>max{I(x0)，I(x1)}.

證設(shè){un}是泛函I的一個(gè)(C)c序列，即滿足

I(un)→c(1+‖u‖)I′(un)→0

(8)

定義集合

則meas(B)≥0.下面分兩種情況考慮：

情況1 若meas(B)>0，根據(jù)‖un‖→∞可以得到，當(dāng)n→∞時(shí)，有|un|→∞(?x∈B).因此，由Fatou引理可得

(9)

又由條件(F1)，(F2)和(F3)知，對(duì)?M>0，存在CM>0，使得

(10)

因此由定理3有

(11)

根據(jù)(9)式和(11)式，當(dāng)n→∞時(shí)，有

不等式兩邊矛盾，說(shuō)明假設(shè)錯(cuò)誤，則序列{un}是有界的.

-C3|t|≤f(x，t)≤C3|t|

因此存在C4>0，使得當(dāng)|t|≤l時(shí)，

f(x，t)-4F(x，t)≥-C4|t|2

f(x，t)-4F(x，t)≥-C5|t|2

因此有

上面已證明對(duì)泛函I的任一(C)c序列{un}在空間X中都是有界的.現(xiàn)證序列{un}在空間X中有一個(gè)強(qiáng)收斂的子列.因?yàn)樾蛄衶un}是有界的，所以存在一個(gè)子列{un}(仍記為{un})和u∈X，使得

un?ux∈X

由(6)式和(7)式可以得到

整理得

當(dāng)n→∞時(shí)，顯然有

〈I′(un)-I′(u)，un-u〉→0

(12)

由序列{un}在X中的有界性，且在空間X中un?u，則當(dāng)n→∞時(shí)，有

(13)

由條件(F1)，(F2)知，存在C6>0，使得

|f(x，t)|≤C6|t|+C6|t|p-1p∈[4，6)

結(jié)合H?lder不等式，有

(14)

結(jié)合(12)，(13)和(14)式可以得到‖un-u‖→0，證畢.

引理2設(shè)條件(F1)-(F3)成立，則泛函I滿足山路幾何結(jié)構(gòu)：

(i)存在ρ，r>0，使得對(duì)任意的u(‖u‖=ρ)，有I(u)≥r；

(ii)存在φ∈X，使得‖φ‖>ρ和I(φ)<0.

證(i)由條件(F1)和(F2)知，對(duì)?ε>0，存在Cε>0使得

結(jié)合定理3，有

又因ε任意小，而p∈[4，6)，因此存在ρ，r>0(ρ足夠小)，對(duì)任意的u(‖u‖=ρ)，都有I(u)≥r>0成立.

令t足夠大，則存在φ=tu使得‖φ‖>ρ和I(φ)<0.

定理1的證明從引理2可以看出，泛函I具有山路幾何結(jié)構(gòu).而引理1已證明泛函I滿足(C)c條件，從而泛函I有臨界值，即存在u∈X滿足I(u)=c>0，I′(u)=0，則u為方程(5)的一個(gè)非平凡解.

定理2的證明觀察條件(F5)可以推出條件(F4)，因此將條件(F5)換成條件(F4)成立時(shí)，引理1和引理2均成立，因此由條件(F1)-(F3)和(F5)可以得出方程(5)有一個(gè)非平凡解.令

m=inf{I(u)：u∈X{0}，〈I′(u)，u〉=0}

假設(shè)u是泛函I的任意一個(gè)臨界點(diǎn)，由條件(F5)得

因此

0≤m≤I(u)<+∞

設(shè){un}是泛函I的臨界點(diǎn)構(gòu)成的序列，使得I(un)→m，因?yàn)閡0是臨界點(diǎn)，所以有I′(un)→0，因此{(lán)un}是在水平m上的一個(gè)(C)c序列，因而其存在收斂子列(仍記為{un})，設(shè)其極限為u0，易知I′(u0)=0，即u0為方程(5)的解.又由Fatou引理可得

因此，方程(5)存在一個(gè)基態(tài)解u0.