運(yùn)用化歸思想求函數(shù)最值的策略*

黑龍江省佳木斯市第一中學(xué) 孔祥文

黑龍江省佳木斯大學(xué) 方海文

在教學(xué)過程中，教師應(yīng)尊重教育規(guī)律，努力把學(xué)生培養(yǎng)為學(xué)習(xí)的主人，使學(xué)生的學(xué)習(xí)真正發(fā)生.但是教師要問自己：教室里大多數(shù)的學(xué)生，學(xué)習(xí)真的發(fā)生了嗎？有的教師無視學(xué)生的自主學(xué)習(xí)動機(jī)，剝奪學(xué)生做事情的權(quán)利，省略與學(xué)生的有效對話，抑制學(xué)生探索的欲望.為了學(xué)生的長遠(yuǎn)發(fā)展，教師應(yīng)該把課堂學(xué)習(xí)的主動權(quán)還給學(xué)生，課堂應(yīng)該充滿更真實(shí)的對話、認(rèn)真的意見和真正的引導(dǎo)，展示“真正的學(xué)習(xí)”是什么樣子的.

1 運(yùn)用化歸思想解決問題的一般模式及基本觀點(diǎn)

在問題解決的過程中，將待解問題不斷變形、轉(zhuǎn)化，直至把它歸結(jié)為已經(jīng)解決的或容易解決的問題，最終得到原問題的解答.這就是化歸思想[1].

1.1 運(yùn)用化歸思想實(shí)現(xiàn)問題解決的一般模式

化歸思想一般模式如圖1所示.

圖1

1.2 基本觀點(diǎn)

(1)運(yùn)動與變化的觀點(diǎn)

事物不是靜止的，它是在不斷地變化著的．解決數(shù)學(xué)問題時(shí)，把靜止變成運(yùn)動，把常量變成變量，利用運(yùn)動與變化的方法解決問題．

(2)聯(lián)系與轉(zhuǎn)化的觀點(diǎn)

事物不是獨(dú)立存在的，是相互聯(lián)系并能夠轉(zhuǎn)化的．在解決數(shù)學(xué)問題時(shí)，要不斷地找出問題之間的聯(lián)系和轉(zhuǎn)化的方法，來解決數(shù)學(xué)中的問題.

(3)優(yōu)選化歸的觀點(diǎn)

一般的數(shù)學(xué)問題可以分為兩種，一種是創(chuàng)造新方法解決問題，一種是與以前所學(xué)的知識相結(jié)合共同來解決問題.同時(shí)，后一種方法在實(shí)際中最常用，并且在解決問題中常常利用化歸的方法.所以，在面對數(shù)學(xué)問題時(shí)，我們通常優(yōu)先考慮化歸方法[2].

2 運(yùn)用化歸思想求解函數(shù)最值的策略

2.1 等價(jià)轉(zhuǎn)化法求最值

兩個(gè)命題A和B，若A?B，則稱A與B邏輯等價(jià).等價(jià)轉(zhuǎn)化法是把待解命題A通過某種方法轉(zhuǎn)化與其同真同假的等價(jià)命題B，通過轉(zhuǎn)換的方法解決命題B得出結(jié)果，就意味著解決了命題A的問題.

例1已知拋物線y2=4(x-1)，試在這個(gè)拋物線上找一點(diǎn)P，使點(diǎn)P到焦點(diǎn)與到點(diǎn)(4,1)的距離之和最小.

圖2

2.2 數(shù)與形的轉(zhuǎn)化求最值

通過數(shù)與形之間的轉(zhuǎn)化，不僅可以把數(shù)量關(guān)系的問題轉(zhuǎn)變成圖形分析的問題，還可以利用圖形關(guān)系的分析，在圖中直接看出變量之間的關(guān)系，從而解決問題，節(jié)省時(shí)間，開發(fā)思維能力.

數(shù)與形之間的轉(zhuǎn)換，通常有以下幾種情形：(1)實(shí)數(shù)與數(shù)軸上的點(diǎn)的對應(yīng)關(guān)系；(2)函數(shù)與圖象的對應(yīng)關(guān)系；(3)曲線與方程的對應(yīng)關(guān)系；(4)以幾何元素和幾何條件為背景，建立起來的概念；(5)所給的等式或代數(shù)式的結(jié)構(gòu)含有明顯的幾何意義.

(1)用數(shù)與形的轉(zhuǎn)化解平面幾何的最值問題

平面幾何中與三角形、圓等有關(guān)的問題，可以利用建立坐標(biāo)系的方法，把圖形問題轉(zhuǎn)化為代數(shù)式的運(yùn)算問題來解決.

圖3

化簡，得

(x-3)2+y2=8(y≠0).

(2)用數(shù)與形的轉(zhuǎn)化解圓錐曲線問題

解析幾何中求代數(shù)式的最值問題常?？梢月?lián)系代數(shù)式中各量的的幾何意義，轉(zhuǎn)化為斜率、截距、距離等模型去解決.與圓錐曲線有關(guān)的最值問題，合理應(yīng)用圓錐曲線的定義是解決此類問題的有效途徑.

圖4

由橢圓定義，可知|PF1|=2a-|PF2|=6-|PF2|.

所以 |PF1|+|PA|

=6-|PF2|+|PA|

=6+|PA|-|PF2|.

2.3 利用基本不等式化歸轉(zhuǎn)化求最值

利用不等式求最值主要是指運(yùn)用基本不等式或它的一些變形式求代數(shù)式的最值.這種方法主要適用于和為定值或積為定值(或可轉(zhuǎn)化為和或積為定值)時(shí)的最值求解問題.

(1)直接應(yīng)用基本不等式化歸轉(zhuǎn)化求最值

若待求式的和或積為定值，則可以直接應(yīng)用基本不等式求解.使用公式時(shí)應(yīng)注意基本不等式成立的條件.

例4已知x>0,y>0，且滿足3x+2y=12，求lgx+lgy的最大值.

所以lgx+lgy的最大值是lg 6.

(2)應(yīng)用不等式化歸轉(zhuǎn)化的技巧

基本不等式的一個(gè)主要功能就是求兩個(gè)正變量和與積的最值，即所謂“和定積最大，積定和最小”.但有的題目需要利用基本不等式的變形求最值，有的需要對待求式作適當(dāng)變形后才可求最值.

(ⅰ)加上一個(gè)數(shù)或減去一個(gè)數(shù)使和或積為定值.

A.-4 B．1 C．5 D．-1

解：由x<3,得3-x>0，所以

所以f(x)的最大值-1．故選：D.

(ⅱ)平方后再使用基本不等式.

(ⅲ)用“1”的代換法化歸轉(zhuǎn)化求最值.

解：因?yàn)閤>0,y>0,所以

3 結(jié)語

本文中基于本真課堂系統(tǒng)研究了如何運(yùn)用化歸思想方法求解最值問題，同時(shí)將最值問題通過相互轉(zhuǎn)化的方法使解題思路變得簡單易懂.通過研究可以得出，最值問題解題思想方法的學(xué)習(xí)，不僅可以積累解題經(jīng)驗(yàn)，還可以鍛煉思考能力和開拓創(chuàng)新能力.因此，最值問題是極其具有研究意義的，也是非常重要的.