對電磁感應中電容器放電問題的定量研究
——以2022年高考全國甲卷第20題為例

辛 亞

（江蘇省梁豐高級中學，江蘇 張家港 215600）

電磁感應中電容器放電問題是近年來各地?？?、高考的熱點之一.2022年高考全國甲卷選擇題第20題考查了這一考點.這題的選項要求學生能夠對電容器放電過程中各個物理量的變化給出定性分析即可，但是為了更好地分析這類問題，我們還需要適度的定量研究，甚至要畫出圖像.這樣才能更直觀地看出各個物理量的變化規(guī)律.

1 原題展示

例題.（2022年高考全國甲卷第20題）如圖1所示，兩根相互平行的光滑長直金屬導軌固定在水平絕緣桌面上，在導軌的左端接入電容為C的電容器和阻值為R的電阻.質量為m、阻值也為R的導體棒MN靜止于導軌上，與導軌垂直，且接觸良好，導軌電阻忽略不計，整個系統(tǒng)處于方向豎直向下的勻強磁場中.開始時，電容器所帶的電荷量為Q，合上開關S后

圖1

（A）通過導體棒MN電流的最大值為.

（B）導體棒MN向右先加速，后勻速運動.

（C）導體棒MN速度最大時所受的安培力也最大.

（D）電阻R上產生的焦耳熱大于導體棒MN上產生的焦耳熱.

2 定性分析

本題考查了電磁感應中電容器放電問題，雖然這是一個常見模型，但又不完全相同，本題具有較高的綜合性和創(chuàng)新性，精巧的一點是考查了基于能量觀點解決問題.通過對該模型的定性分析即可得出正確答案，分析如下.

（B）當u C＞Blv時，導體棒MN加速運動；當u C＝Blv時，導體棒MN速度達到最大值；之后，導體棒MN能不能勻速運動？假設勻速，電容器與MN及R構成回路，電阻R兩端有電勢差，電阻R上就會有電流，那么電阻R將會一直產生電熱，能量會一直消耗，只要MN還有速度，R上就會繼續(xù)產生電熱，直到MN停止為止.由能量守恒可知，最終MN速度為0，假設不成立，故B錯誤.B選項考查了學生的推理能力和創(chuàng)新能力，顯然B選項的分析較困難.

（C）由以上分析可知，當u＝Blv時，MN上電流瞬時為0，安培力為0，此時MN速度最大，故C錯誤.C選項考查了學生物理觀念和科學思維，體現(xiàn)了基礎性和綜合性.

（D）在導體棒MN加速階段，由于MN反電動勢存在，故MN上瞬時電流小于電阻R上的瞬時電流，因為瞬時電流的變化，利用微元法，由Q＝∑i2RΔt可知，加速過程QR＞Q MN；在MN減速為0的過程中，電容器的放電電流和導體棒的電流都流經(jīng)電阻R形成各自的回路，因此可知此時也是電阻R的瞬時電流大.綜上分析可知全過程中電阻R上的熱量大于導體棒上的熱量，故選項（D）正確.故選（A）、（D）.選項（D）選項綜合性較強，導體棒MN的運動要分兩個階段來分析，較為復雜，它考查了學生推理論證的能力和嚴謹?shù)姆治鰡栴}能力.

對于導體棒MN速度達到最大值之后的運動情況，我們是采用了假設法結合能量守恒的觀點來論證導體棒MN做減速運動，從而否定了（B）選項，但是我們還是不能詳盡的說明導體棒MN的運動情況以及電阻R和MN上電流的變化規(guī)律，為了解決這一問題，我們不妨從定量的角度對其研究.

3 定量研究

合上開關S后，電容器放電，t時刻，電容器帶電量為q，導體棒MN在安培力的作用下速度方向向右，大小為v，流過電阻R和導體棒MN的電流分別為i1、i2，以t＝0時刻的各處電流流向為正方向，可知電流關系

將（4）式分別代入（2）、（3）兩式后，對時間t分別求導可得

對導體棒MN，由牛頓第二定律可知

將（7）式代入（6）式后，可得

將（5）式變形為

將（9）式代入（8）式并化簡，可得

（10）式為二階常系數(shù)齊次線性微分方程.為了簡化運算，對式中各物理量賦值，令Q＝1 C，C＝1 F，R＝1Ω，B＝1 T，l＝1 m，m＝1 kg，則（10）式簡化為

其特征方程為（12）式滿足Δ＞0，說明特征方程有兩根，則i1的通解為

將（13）式代入（9）式求出i2的通解為

根據(jù)初始條件，t＝0時刻

4 畫圖模擬

利用計算機軟件Matlab對電流的變化數(shù)值模擬，使結果可視化.

從圖2可以看出，R上流過的電流逐漸減小，但是導體棒MN上流過的電流變化較復雜，在0—0.8 s（約）電流減?。?.8 s以后，電流反向，先增大后減小，最終減為0.安培力方向與電流方向同步變化，從而影響速度的變化.產生這一現(xiàn)象的原因是在0—0.8 s（約）時間內，電容器電壓大于導體棒MN上的反電動勢，電容器對電阻R和導體棒MN放電；0.8 s以后，導體棒MN也相當于電源，和電容器一起在R上產生同向電流.對速度變化數(shù)值的模擬如圖3所示.

圖2

圖3

從圖3可以看出，導體棒MN的速度變化規(guī)律是先增大后減小，最終減為0.在這里我們給出了速度的變化規(guī)律，這與我們前面定性分析的結果完全一致.

5 結束語

這個考題考查學生對電路情況、受力情況和運動情況進行分析和推理的能力，要求學生具備較強的運動與相互作用觀念、能量觀念，學生通過定性分析可以完成.但對于教師既要有符合學生的定性分析，還要有讓自己信服的定量研究.這樣才能對問題有深入而透徹的認識.以上通過對各個物理量賦值，利用Matlab對其復雜的數(shù)學關系數(shù)值計算并繪制圖線，從而實現(xiàn)對這一問題的定量研究.