超臨界機(jī)組快速模型預(yù)測(cè)控制算法及應(yīng)用

汪紅旭，郭驍，石堯，謝磊*

(1.黃岡大別山發(fā)電有限責(zé)任公司，麻城 438304；2.浙江大學(xué)，杭州 310027)

0 引言

從工程熱力學(xué)角度看待，超臨界狀態(tài)指將水的臨界狀態(tài)點(diǎn)參數(shù)定義為22.115Mpa和374.15℃，即一旦水的狀態(tài)達(dá)到或者超出該參數(shù)，則不會(huì)存在飽和水和飽和蒸汽間的汽水共存二相區(qū)。在火力發(fā)電過(guò)程中使用超臨界機(jī)組，其主蒸汽壓力一般為24Mpa，可以避免汽包的使用，發(fā)電效率一般為41%，高于常規(guī)亞臨界機(jī)組對(duì)應(yīng)的38%發(fā)電效率[1]。因此，隨著科學(xué)技術(shù)的不斷進(jìn)步與電力工業(yè)的不斷發(fā)展，可以確定日后在新增大規(guī)?；痣姍C(jī)組中使用發(fā)電效果更佳的超臨界機(jī)組將會(huì)成為必然的選擇。

對(duì)于大規(guī)模超臨界火力發(fā)電機(jī)組來(lái)說(shuō)，系統(tǒng)的協(xié)調(diào)控制至關(guān)重要，對(duì)于單元機(jī)組的良好協(xié)調(diào)控制可以保障機(jī)組安全、穩(wěn)定運(yùn)行[2]。然而，超臨界機(jī)組是一個(gè)多輸入多輸出的復(fù)雜對(duì)象，其非線性特征明顯，且具備相對(duì)較大的慣性與延遲，因此，使用傳統(tǒng)控制手段實(shí)現(xiàn)超臨界火電機(jī)組控制極為困難，需要開(kāi)發(fā)實(shí)施可以應(yīng)用的先進(jìn)控制策略來(lái)滿足系統(tǒng)控制的要求。

模型預(yù)測(cè)控制技術(shù)（MPC），作為近幾十年來(lái)極具代表性的先進(jìn)控制算法[3]，主要由三大基本模塊構(gòu)成，即預(yù)測(cè)模型、反饋校正以及滾動(dòng)優(yōu)化。MPC相較于傳統(tǒng)比例積分最為顯著的特點(diǎn)在于其可以處理約束，而且其在應(yīng)對(duì)多輸入多輸出系統(tǒng)的控制效果更佳[4]。MPC在每個(gè)控制周期預(yù)測(cè)未來(lái)動(dòng)作，并計(jì)算最優(yōu)的操作變量增量，從而實(shí)現(xiàn)未來(lái)行為的優(yōu)化。經(jīng)過(guò)幾十年的發(fā)展，MPC已經(jīng)獲得了大量工程行業(yè)的認(rèn)可，包括能源[5]、航空航天工程[6]、和汽車工業(yè)[7]等領(lǐng)域。由于MPC的良好控制效果以及超臨界機(jī)組的自身特性，MPC可以在超臨界機(jī)組中使用以實(shí)現(xiàn)對(duì)于超臨界機(jī)組的協(xié)調(diào)控制。

超臨界機(jī)組對(duì)于MPC算法的應(yīng)用同樣提出了部分要求，為了保障機(jī)組運(yùn)行，在應(yīng)用MPC算法的過(guò)程中，火電機(jī)組對(duì)控制的時(shí)效性極為關(guān)注，需要確保在系統(tǒng)的采樣間隔內(nèi)，快速地計(jì)算獲得滿足約束的MPC解，從而避免安全事故的發(fā)生。為了提高M(jìn)PC的在線計(jì)算速度，國(guó)內(nèi)外已經(jīng)有眾多學(xué)者進(jìn)行了相關(guān)研究，且根據(jù)其遠(yuǎn)離主要可以分為兩大類：其一是對(duì) MPC 算法進(jìn)行適當(dāng)改進(jìn)從而簡(jiǎn)化在線計(jì)算，其中最具代表性的方法名為顯示控制算法。顯示控制算法由Bemporad[8]在2002年提出，主要分為離線計(jì)算與在線優(yōu)化兩個(gè)部分。在線運(yùn)行前首先需要進(jìn)行離線的操作，對(duì)狀態(tài)空間進(jìn)行適當(dāng)劃分，隨后依次對(duì)每個(gè)子空間設(shè)計(jì)線性控制律，因此，在線計(jì)算時(shí)即可以直接調(diào)用各個(gè)子空間的控制率，從而避免在線計(jì)算。然而，一個(gè)較為明顯的缺點(diǎn)是，狀態(tài)分區(qū)的大小與控制律的計(jì)算會(huì)隨系統(tǒng)控制問(wèn)題規(guī)模的增大隨之呈現(xiàn)指數(shù)增長(zhǎng)，這會(huì)對(duì)存儲(chǔ)量提出極大挑戰(zhàn)。第二類算法則是開(kāi)發(fā)更為高效的優(yōu)化問(wèn)題求解策略從而提高在線求解速度，目前主要為有效集算法[9]、內(nèi)點(diǎn)法[10]以及他們的衍生算法如：不可行有效集法[11]，對(duì)偶有效集法[12]、懲罰函數(shù)內(nèi)點(diǎn)算法[13]等等。

本文為超臨界機(jī)組提出了一種快速模型預(yù)測(cè)控制算法，從而實(shí)現(xiàn)對(duì)超臨界機(jī)組這個(gè)多輸入多輸出系統(tǒng)的良好控制。首先通過(guò)對(duì)超臨界機(jī)組的機(jī)理分析，并獲得了單元機(jī)組的機(jī)理模型。隨后通過(guò)推導(dǎo)獲得了機(jī)組在工作點(diǎn)處的線性模型，以便于MPC的實(shí)施?？紤]到形成的MPC優(yōu)化問(wèn)題黑塞矩陣的不變性，離線進(jìn)行SVD分解以提取特征信息，便于從無(wú)約束最優(yōu)解中選取滿足約束的次優(yōu)解。最后，通過(guò)使用MATLAB，對(duì)超臨界機(jī)組中應(yīng)用快速M(fèi)PC算法進(jìn)行仿真以檢驗(yàn)控制效果，并通過(guò)其與MATLAB內(nèi)置的內(nèi)點(diǎn)法計(jì)算函數(shù)進(jìn)行比較以檢測(cè)所提算法的快速性與合理性。

1 超臨界機(jī)組控制模型

1.1 非線性機(jī)理模型建立

通常情況下，超臨界直流鍋爐的制粉系統(tǒng)采用直吹式方案：首先在磨煤機(jī)中將煤磨制成煤粉，研磨好的煤粉通過(guò)一次風(fēng)機(jī)產(chǎn)生的風(fēng)被吹送到爐膛中進(jìn)行燃燒。從整個(gè)機(jī)組的動(dòng)態(tài)特性而言，直吹式制粉系統(tǒng)主要影響其延遲與慣性，下面將分別對(duì)二者進(jìn)行公式描述。

直吹式制粉系統(tǒng)純延遲環(huán)節(jié)主要體現(xiàn)給煤機(jī)中煤的傳送時(shí)間與管道中煤粉在一次風(fēng)作用下的輸送時(shí)間，則通過(guò)將這些純延遲環(huán)節(jié)相加，可以得到：

其中，r'm代表實(shí)際煤量，rm表示給煤機(jī)煤量，τ為傳送延遲時(shí)間，通常情況下，延遲時(shí)間通常為15s到35s左右。

此外，給定進(jìn)入鍋爐的煤粉量r0與磨內(nèi)存煤量M時(shí)，制粉系統(tǒng)慣性環(huán)節(jié)的平衡公式可以用下式表示

該慣性環(huán)節(jié)主要體現(xiàn)磨煤機(jī)細(xì)粉分離器中的分離過(guò)程。

煤粉量可以根據(jù)磨煤機(jī)特性獲得：

其中，磨的出力系數(shù)用符號(hào)kb表示，煤的可磨性的修正系數(shù)為符號(hào)fh，fw代指煤的水分修正系數(shù)，fr則表示煤粉的細(xì)度修正系數(shù)。

為了構(gòu)建汽水分離器的動(dòng)態(tài)模型，我們通過(guò)對(duì)其壓力關(guān)系進(jìn)行分析。首先，使用如下的公式：

用以描述水冷壁的傳熱過(guò)程。其中，Qi為爐膛煙氣與水的交換熱量，Q0為爐膛煙氣與金屬的交換熱量，Cm表示金屬的蓄熱系數(shù)。

在給定t1管壁平均溫度與t0金屬管平均溫度，金屬與水的換熱系數(shù)λ1，考慮如下的換熱模型：

則將其帶入可以得到

對(duì)于過(guò)熱區(qū)模型，在本文中，為了簡(jiǎn)化起見(jiàn)，假定吸入熱量等同于增加氣體的體積流量。對(duì)于理想氣體，給定氣體比熱c，m為氣體的質(zhì)量。其吸熱量dQ有：

過(guò)熱區(qū)中差壓與流量的關(guān)系為：

將體積流量與熱量的關(guān)系代入上式并進(jìn)行積分可以得到差壓與流量及熱量的關(guān)系：

使用一個(gè)擬合系數(shù)n可以將上式近似簡(jiǎn)化為：

n通常取1.3～1.5，根據(jù)不同機(jī)組的運(yùn)行數(shù)據(jù)其取值也會(huì)隨之改變。

對(duì)于汽輪機(jī)，其將熱能轉(zhuǎn)化為機(jī)械能，隨之將機(jī)械能轉(zhuǎn)移到發(fā)電機(jī)中，并通過(guò)發(fā)電機(jī)切割磁力線產(chǎn)生電能。相對(duì)于鍋爐的化學(xué)燃料燃燒過(guò)程，汽輪機(jī)中能量轉(zhuǎn)化非常迅速，因此其動(dòng)態(tài)過(guò)程很快。

考慮如下汽輪機(jī)的進(jìn)氣量方程

其中，μt代表汽輪機(jī)調(diào)門(mén)開(kāi)度，機(jī)前壓力pt，ts為過(guò)熱蒸汽溫度。此外，機(jī)組輸出功率與調(diào)節(jié)壓力之間關(guān)系為：

其中NE表示輸出功率，p1為調(diào)節(jié)壓力。

1.2 工作點(diǎn)線性化模型

上一節(jié)已經(jīng)通過(guò)機(jī)理分析得到了超臨界機(jī)組非線性模型，工程上，往往采用通過(guò)在非線性模型工作點(diǎn)進(jìn)行線性化的方法獲得超臨界機(jī)組的線性控制模型。根據(jù)所搭建的機(jī)理方程，確定模型輸入為燃料指令μB與汽輪機(jī)調(diào)門(mén)開(kāi)度μT，模型輸出為機(jī)組功率輸出NE與機(jī)前壓力pT。推導(dǎo)獲得超臨界機(jī)組傳遞函數(shù)模型如下：

其中：

2 模型預(yù)測(cè)控制基礎(chǔ)

給定x(k)∈Rnx和u(k)∈Rnu，分別為k時(shí)刻的系統(tǒng)的狀態(tài)和輸入變量，則可以假定系統(tǒng)由如下所示的線性模型系統(tǒng)表示：

在得到模型后，可以使用模型預(yù)測(cè)控制方法對(duì)系統(tǒng)進(jìn)行良好控制。為了實(shí)施MPC，首先需要確定其目標(biāo)函數(shù)。本文假定預(yù)測(cè)時(shí)域和控制時(shí)域相同，均為NP，則模型預(yù)測(cè)控制的目標(biāo)函數(shù)選取如下：

其中Q和R為正定對(duì)角矩陣：

分別是有限時(shí)域下的預(yù)測(cè)狀態(tài)集合和輸入集合，

根據(jù)模型(18)進(jìn)行遞推，可以得到如下預(yù)測(cè)狀態(tài)與輸入之間的關(guān)系作為模型預(yù)測(cè)控制的基礎(chǔ)：

通過(guò)將預(yù)測(cè)狀態(tài)與輸入之間的關(guān)系(22)代入到目標(biāo)函數(shù)(19)中，原目標(biāo)函數(shù)可以消除預(yù)測(cè)狀態(tài)，并用如下的只包含預(yù)測(cè)輸入的函數(shù)表示：其中H=(FTQF+R)，M=(FTQEx(k))T。CONSTANT表示一個(gè)與無(wú)關(guān)的常數(shù)。

3 快速模型預(yù)測(cè)控制方法

3.1 無(wú)約束情況

值得一提的是，在工程上，通常情況下，在經(jīng)過(guò)辨識(shí)后已經(jīng)得到了系統(tǒng)的工作點(diǎn)附近模型后，系統(tǒng)在工作點(diǎn)附近運(yùn)行時(shí)，使用模型預(yù)測(cè)控制算法往往不對(duì)模型進(jìn)行修改。通過(guò)觀察式(22)可以發(fā)現(xiàn)，當(dāng)模型不改變時(shí)，F(xiàn)矩陣在預(yù)測(cè)過(guò)程中保持不變。此外，如果在MPC上線運(yùn)行前固定好權(quán)重系數(shù)Q和R，且在計(jì)算過(guò)程中不對(duì)其做更改，則同時(shí)可以通過(guò)推導(dǎo)發(fā)現(xiàn)MPC目標(biāo)函數(shù)(19)中的Hessian矩陣H保持不變。

根據(jù)上述觀察以及推導(dǎo)得到的信息，下面進(jìn)行基于奇異值分解的快速M(fèi)PC方法的簡(jiǎn)要介紹。首先計(jì)算Hessian矩陣H的共軛向量集P，P滿足：

其中P是Hessian矩陣的SVD分解得到的共軛矩陣，σi是Hessian矩陣的特征值且滿足：

通過(guò)使用P，對(duì)輸入進(jìn)行線性變化，可以將輸入投影到一個(gè)新的空間：

此時(shí)，原目標(biāo)函數(shù)(19)可以通過(guò)使用式(26)轉(zhuǎn)化為與相關(guān)的共軛空間形式：

當(dāng)MPC運(yùn)行過(guò)程中不存在約束的情況下，上述共軛空間目標(biāo)函數(shù)(11)的最優(yōu)無(wú)約束解可以直接通過(guò)下面的等式獲得：

此時(shí)，可以緊接著使用式(28)便捷地從共軛空間解獲得實(shí)際空間中的無(wú)約束最優(yōu)解。

3.2 有約束情況

上一節(jié)是在無(wú)約束情況下進(jìn)行的計(jì)算，然而，在工業(yè)生產(chǎn)實(shí)際過(guò)程中，系統(tǒng)往往存在著各式各樣的約束，MPC運(yùn)行過(guò)程中需要將全部約束納入考慮從而保障設(shè)備安全穩(wěn)定運(yùn)行。同式(22)一樣，通過(guò)使用式(18)，系統(tǒng)約束可以表示為u?k相關(guān)的不等式：

則在線MPC解決的優(yōu)化問(wèn)題如下：

在無(wú)約束情況下，無(wú)約束解是計(jì)算得到的最優(yōu)解，然而系統(tǒng)約束存在時(shí)，無(wú)約束解的直接應(yīng)用勢(shì)必會(huì)造成輸入或輸出約束違反，長(zhǎng)此以往將不可避免地對(duì)設(shè)備造成一定程度的損壞，并最終影響系統(tǒng)的安全性，引發(fā)工業(yè)生產(chǎn)事故。然而，直接丟棄掉無(wú)約束解信息，重新對(duì)新的優(yōu)化問(wèn)題(19)進(jìn)行計(jì)算，又沒(méi)有對(duì)可用信息進(jìn)行合理利用，增大了在線計(jì)算時(shí)間。如果合理地設(shè)計(jì)一個(gè)方案合理利用共軛空間的無(wú)約束最優(yōu)解，以在不求解優(yōu)化問(wèn)題的情況下獲得一個(gè)滿足約束條件的次最優(yōu)解，則可以大大縮短在線計(jì)算時(shí)間。

想要利用無(wú)約束解信息，最簡(jiǎn)單且直觀的方法是無(wú)約束解中使得約束違反的部分移動(dòng)到其邊界上，然而，這種粗暴的方式往往會(huì)使得獲得的解控制性能極差，根本達(dá)不到所需要的控制效果。為此，設(shè)計(jì)了一種新的約束存在下的方案，所設(shè)計(jì)的方案被稱為基于奇異值分解的快速M(fèi)PC方法，其具體方案如下：

為了應(yīng)用所獲得的無(wú)約束最優(yōu)解，首先將經(jīng)過(guò)轉(zhuǎn)化后的目標(biāo)函數(shù)(27)重新寫(xiě)為：

為了充分利用共軛空間無(wú)約束最優(yōu)解，我們基于上述分析，給出了一種次優(yōu)解的線性搜索方式：

根據(jù)特征值大小順序按照特定規(guī)則將其對(duì)應(yīng)的共軛空間無(wú)約束最優(yōu)解元素依次置為零（即先處理最大特征值對(duì)應(yīng)的元素，如果不滿足約束，再將第二大特征值對(duì)應(yīng)元素置0），直到約束條件達(dá)到滿足。定義此時(shí)的元素編號(hào)為r，則共軛空間次優(yōu)解應(yīng)該存在于Ur與Ur+1之間，其中：

λ需要滿足下述關(guān)系：

綜上，基于奇異值分解的快速模型預(yù)測(cè)控制方法總結(jié)如表1所示。

表1 快速模型預(yù)測(cè)控制方法 (FMPC)

4 應(yīng)用研究：超臨界機(jī)組控制

4.1 工作點(diǎn)線性化模型及實(shí)驗(yàn)參數(shù)

實(shí)驗(yàn)所采用的被控對(duì)象數(shù)學(xué)模型引自參考文獻(xiàn)[14]。機(jī)組設(shè)計(jì)額定功率為600MW。根據(jù)歷史數(shù)據(jù)進(jìn)行辨識(shí)，其在50%工況下系統(tǒng)的線性化模型如公式組(36)所示。

實(shí)驗(yàn)過(guò)程中算法的其他參數(shù)選擇如表2所示：

表2 實(shí)驗(yàn)參數(shù)

此外，為了保障設(shè)備安全性，對(duì)于本實(shí)驗(yàn)施加的約束如式(37)所示：

4.2 實(shí)驗(yàn)結(jié)果

為了驗(yàn)證所提快速模型預(yù)測(cè)算法在超臨界火電機(jī)組應(yīng)用的有效性與快速性，對(duì)超臨界火電機(jī)組的設(shè)定值進(jìn)行改變并交由算法進(jìn)行跟蹤。將機(jī)組功率輸出改變?cè)O(shè)定值為1，并維持機(jī)前設(shè)定值為0，進(jìn)行仿真實(shí)驗(yàn)，使用FMPC與使用MATLAB內(nèi)置函數(shù)（quadprog內(nèi)點(diǎn)法求解二次規(guī)劃）得到的仿真對(duì)比結(jié)果如圖1～圖4所示。

圖1 功率設(shè)定值跟蹤變化

圖2 壓力設(shè)定值跟蹤變化

圖3 燃料指令增量變化

圖4 汽輪機(jī)調(diào)門(mén)開(kāi)度增量變化

可以看到兩種算法均能夠快速地跟蹤到給定的設(shè)定值，且都可以將變量控制在約束范圍之內(nèi)。

FMPC兩種算法的在線計(jì)算時(shí)間對(duì)比結(jié)果如圖5所示。

圖5 快速M(fèi)PC算法與內(nèi)點(diǎn)法時(shí)間對(duì)比

可以看到，快速M(fèi)PC方法相較于內(nèi)點(diǎn)法，單次采樣時(shí)間內(nèi)在線計(jì)算時(shí)間更短（約為內(nèi)點(diǎn)法的二分之一），驗(yàn)證了所提算法的快速性與有效性。

5 結(jié)語(yǔ)

隨著科學(xué)技術(shù)的發(fā)展，超臨界機(jī)組已經(jīng)逐漸在火力發(fā)電市場(chǎng)中嶄露頭角。本文首先搭建了超臨界機(jī)組的機(jī)理模型，并推導(dǎo)得到超臨界機(jī)組工作點(diǎn)附近的線性模型?？紤]到超臨界機(jī)組的非線性特點(diǎn)，以及工業(yè)生產(chǎn)過(guò)程中對(duì)于時(shí)效性的考量，設(shè)計(jì)了可以應(yīng)用于機(jī)組的快速模型預(yù)測(cè)控制算法。隨后以某660MW單元機(jī)組為例，選取50%負(fù)荷條件下，在MATLAB使用所提出的快速模型預(yù)測(cè)控制算法對(duì)超臨界機(jī)組進(jìn)行仿真控制，結(jié)果表明所提方法在保障了控制效果的同時(shí)，相較于傳統(tǒng)內(nèi)點(diǎn)法具備更短的在線計(jì)算時(shí)間。