不可壓流在Fourier-Besov空間中的Gevrey正則性及時間衰減

張 瑜

(南京財經(jīng)大學(xué) 應(yīng)用數(shù)學(xué)學(xué)院, 江蘇 南京 210023)

0 引言

長期以來,分?jǐn)?shù)次擴(kuò)散可壓縮流體模型的研究獲得廣泛關(guān)注[1-7]，其中對于流體方程的正則性研究, Gevrey 類的方法得到廣泛的應(yīng)用.1989年,Foias和Temam創(chuàng)造了Gevrey 正則性方法,并首次使用它來研究具有空間周期性邊界條件的Navier-Stokes方程的解析性[8-9].之后,許多作者充分利用這種方法并繼續(xù)深入挖掘,將其推廣到各種泛函空間和方程中.例如,Andrew 和 Edriss[10]研究了一類二維球體上的解析非線性拋物線方程解的正則性. Chueshov和Polatin[11]展示了具有周期性邊界條件的廣義 Benjamin-Bona-Mahony動力系統(tǒng)的全局吸引子的Gevrey 解析性.

具有分?jǐn)?shù)次耗散項-κΛαv的多孔介質(zhì)方程由下式給出

(1)

系統(tǒng)(1)可以通過Duhamel原理表示為以下積分方程

(2)

其中e-κtΛα:=F-1(e-κt|ξ|αF).F表示傅立葉變換,F-1表示傅立葉逆變換.

1 預(yù)備知識

首先給出本文提到的符號.對于兩個常數(shù)A和B,如果存在一個隨行變化的常數(shù)C使得A≤CB,用記號AB表示.接下來給出關(guān)于Littlewood-Paley理論和Fourier-Besov空間的基本結(jié)論.

定義以下頻率局部化算子：

Δju=φj(D)u=F-1φj(ξ)Fu;Sju=ψj(D)u=F-1ψj(ξ)Fu,

由支集性質(zhì)易得以下結(jié)果，若|i-j|≥2,則ΔiΔjf≡0;若|i-j|≥5,則Δi(Sj-1fΔjg)≡0.通過Bony分解,可將乘積uv分為uv=Tuv+Tvu+R(u,v),并且

定義1 對于s∈R,p,r∈[1,∞],Fourier-Besov空間定義如下,

在這里,當(dāng)p=∞或q=∞時,范數(shù)作通常的改變, 其中P是所有多項式的集合.

定義2 對于0

2 適定性

為了方便證明,將系統(tǒng)(1)寫成下面的積分形式

證明首先,要證明

事實上

(3)

接下來證明

(4)

證明為了方便,用B(u,v)表示非線性部分,也就是

接下來,用Δj作用到B(u,v)上,然后做傅立葉變換并取Lp范數(shù),應(yīng)用Minkowski不等式,得到

‖F(xiàn)(ΔjB(u,v))‖Lp‖F(xiàn)(Δje-κ(t-τ)Λα(uv))‖Lpdτe-κ(t-τ)2αj‖F(xiàn)(Δj(uv))‖Lpdτ.

根據(jù)Bony仿積分解,有

即

‖F(xiàn)(ΔjB(u,v))‖LpI1+I2+I3.

其中

基于支集的性質(zhì),有

對于‖F(xiàn)(Δj(Sj′-1uΔjv))‖Lp,利用H?lder不等式和Young不等式,得到

綜上

下面,用同樣的方式估計I2.

接下來,估計I3.已知,存在常數(shù)N0使得

當(dāng)1≤p≤2時,利用H?lder不等式和Young不等式,有

當(dāng)p>2時,仍然可以得到相似的結(jié)論，

因此

接著,‖F(xiàn)(ΔjB(u,v))‖Lp關(guān)于時間取L∞范數(shù),得到

(5)

(6)

下面進(jìn)一步估計上述方程.首先,用·作用到方程u=-κ(p+gγv)上,再利用自由散度定理·u=0,得到

-Δp=?nv.

從而解出p并將p帶到原式.可得

u=-(-Δ)-1?nv-γv.

即ui=-RiRnv(i=1,2,…,n-1).un=-RnRnv-v.其中Ri(i=1,2,…,n)表示Riesz變換[14].因此,觀察到 ‖ui‖Lp≤C‖v‖Lp,其中1

當(dāng)‖F(xiàn)(ΔjB(u,v))‖Lp關(guān)于時間取L1范數(shù)時,得到

(7)

(8)

綜合式(6)和式(8),引理2得證.

現(xiàn)在證明方程(1)的適定性.

首先,在度量空間Δ={v:‖v‖Xp,r≤Cε,d(v-u):=‖v-u‖Xp,r}(I=[0,∞))上定義一個映射:

對于任意的u,v∈Δ,可以得到

(9)

和

‖?v1-?v2‖Xp,r2Cε‖v1-v2‖Xp,r

(10)

基于式(9)和(10)的估計,應(yīng)用標(biāo)準(zhǔn)壓縮映射[15],若2Cε≤1,則?是壓縮映射.因此,存在v∈Δ使得?(v)=v,則v是方程(1)的唯一解.最后,得到

由上述結(jié)果可得,定理1得證.

3 Gevrey正則性

定理2 對應(yīng)定理1,在定理1中得到的時間上的全局解滿足

利用上述正則性,可進(jìn)一步獲得適度解的長時間衰減估計.

(11)

很明顯,B(U,V)表示這部分新的非線性項,即

證明由于

因此

由

有

由以上證明可以得到,引理3成立.

證明因為

又

所以

(12)

利用Bony仿積分解,可得

(13)

然后把式(13)代入式(12),利用支集性質(zhì),有

‖F(xiàn)(ΔjB(U,V))‖LpJ1+J2+J3

(14)

其中

(15)

總之

類似地,可以得到

當(dāng)估計J3時,先考慮

也就是

根據(jù)第三部分的結(jié)果,得到,當(dāng)1≤p≤2時,

當(dāng)p>2時,

通過以上推導(dǎo),有

‖F(xiàn)(ΔjB(U,V))‖LpK1+K2+K3+K4.

因為剩下的證明與第三部分對應(yīng)的相同,證明略.再次利用不動點定理證明定理2,得到

5 適度解的時間衰減

定理3 在定理1的假設(shè)下,對任意σ>0,全局解滿足下面的時間衰減估計,

其中Cα,σ是獨立于α和σ的常數(shù).

根據(jù)以上兩個公式,有

因此

定理3得證.