魏宗萱，王加陽(yáng)

中南大學(xué) 計(jì)算機(jī)學(xué)院，長(zhǎng)沙 410083

粒度計(jì)算（granular computing）一般認(rèn)為是求解復(fù)雜問(wèn)題的一切理論、方法、技術(shù)和工具的總稱(chēng)[1]，是模擬人類(lèi)思考和解決大規(guī)模復(fù)雜問(wèn)題的結(jié)構(gòu)化求解模式[2]，現(xiàn)已成為人工智能領(lǐng)域的研究熱點(diǎn)[3]。商空間理論是粒度計(jì)算的主流計(jì)算模型之一，該理論以三元組(X,f,T)的形式描述問(wèn)題的論域、屬性和結(jié)構(gòu)。由于引入元素之間的相互關(guān)系即“結(jié)構(gòu)”的概念，商空間理論具有更強(qiáng)的表達(dá)與求解能力[4]，被廣泛應(yīng)用于路徑規(guī)劃[5]、圖像處理[6-8]、數(shù)據(jù)分析[9-12]、神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)[13]、故障診斷[14]等領(lǐng)域，具有重要的理論意義與應(yīng)用價(jià)值。近年來(lái)，利用粒度計(jì)算分析代數(shù)系統(tǒng)受到計(jì)算機(jī)科學(xué)領(lǐng)域的廣泛關(guān)注[15]。文獻(xiàn)[16]將商空間理論推廣到代數(shù)系統(tǒng)，建立了基于代數(shù)結(jié)構(gòu)的商空間模型（簡(jiǎn)稱(chēng)代數(shù)商空間模型）并取得了一系列成果[17-21]。研究上述文獻(xiàn)發(fā)現(xiàn)，代數(shù)商空間模型具有較好的應(yīng)用前景，但目前鮮有人對(duì)代數(shù)粒度計(jì)算的粒度轉(zhuǎn)換技術(shù)與問(wèn)題求解做深入研究，為代數(shù)商空間模型的應(yīng)用和發(fā)展帶來(lái)一定限制。

針對(duì)上述問(wèn)題，在介紹代數(shù)商空間模型的基本理論后，首先，以取商空間、商代數(shù)、合成商空間三種方式構(gòu)造代數(shù)商空間簇，并利用基本定理論證其粒度與結(jié)構(gòu)的完備性，進(jìn)而分析代數(shù)粒度轉(zhuǎn)換的封閉性；然后，綜合考慮?；瘻?zhǔn)則的同余性，對(duì)代數(shù)商空間的粒度分解與合成方法進(jìn)行討論；最后，通過(guò)分析代數(shù)商空間的同態(tài)法則得出保真與保假原理在代數(shù)商空間模型中仍成立，結(jié)合代數(shù)粒度轉(zhuǎn)換方法與問(wèn)題求解規(guī)則，提出代數(shù)商空間模型的問(wèn)題求解一致性原理。

1 研究基礎(chǔ)

本章將對(duì)代數(shù)商空間模型的?；瘻?zhǔn)則和論域結(jié)構(gòu)進(jìn)行介紹。代數(shù)商空間模型一般由(X,f,°)構(gòu)成，其中X為論域，f為論域上的屬性函數(shù)，°為元素之間的二元運(yùn)算。由于屬性函數(shù)常與論域結(jié)構(gòu)和領(lǐng)域知識(shí)緊密相連，本文只討論其論域和結(jié)構(gòu)，三元組簡(jiǎn)記為(X,°)。

1.1 同余關(guān)系及其性質(zhì)

代數(shù)商空間以代數(shù)運(yùn)算作為論域結(jié)構(gòu)，而等價(jià)關(guān)系僅能進(jìn)行論域劃分，因此代數(shù)商空間模型以特殊的等價(jià)關(guān)系——同余關(guān)系作為?；瘻?zhǔn)則。

定義1（同余關(guān)系）[16]設(shè)有代數(shù)系統(tǒng)(X,°)，R為論域X上的等價(jià)關(guān)系。若對(duì)?x,y,u,v∈X,且(x,y)∈R，(u,v)∈R，有(x°u,y°v)∈R，則稱(chēng)等價(jià)關(guān)系R為同余關(guān)系（congruence relation），稱(chēng)R的等價(jià)類(lèi)為同余類(lèi)。

定義1表明，不同的同余類(lèi)在運(yùn)算后仍滿(mǎn)足同余關(guān)系，即同余關(guān)系在運(yùn)算°下仍能保持，稱(chēng)這種性質(zhì)為同余關(guān)系R在運(yùn)算°下具有可置換性。下面對(duì)一般等價(jià)關(guān)系R定義同余閉包與同余內(nèi)核。

定義2（同余閉包）[16]設(shè)有代數(shù)系統(tǒng)(X,°)，{C}為(X,°)上的全體同余關(guān)系，R為論域X上的非空等價(jià)關(guān)系。若存在同余關(guān)系c(R)∈{C}滿(mǎn)足R?c(R)，且對(duì)?R′∈{C},R?R′都有c(R)?R′，則稱(chēng)c(R)為R的同余閉包。

定義3（同余內(nèi)核）[20]設(shè)有代數(shù)系統(tǒng)(X,°)，{C}為(X,°)上的全體同余關(guān)系，R為X上的非空等價(jià)關(guān)系。若存在同余關(guān)系int(R)∈{C}滿(mǎn)足int(R)?R，且對(duì)?R′∈{C},R′?R，都有R′?int(R)，則稱(chēng)int(R)是R的同余內(nèi)核。

定理1設(shè)有代數(shù)系統(tǒng)(X,°)，R1與R2為論域X上的非空等價(jià)關(guān)系，若R1?R2，則int(R1)?int(R2)。

證明由定義可知int(R1)?R1，且R1?R2，因此int(R1)?R2。由int(R2) 可知對(duì)?R′?R2,都有R′?int(R2)，因此int(R1)?int(R2)，證明成立。

引理1[17]設(shè)有代數(shù)系統(tǒng)(X,°)，R1與R2為論域X上的非空等價(jià)關(guān)系，若R1?R2，則c(R1)?c(R2)。

引理2[20]設(shè)R1與R2為代數(shù)(X,°)上的非空的等價(jià)關(guān)系，則有：

1.2 商運(yùn)算及其存在條件

代數(shù)系統(tǒng)的商結(jié)構(gòu)為代數(shù)運(yùn)算經(jīng)映射函數(shù)誘導(dǎo)得出的運(yùn)算規(guī)則，稱(chēng)為商運(yùn)算。

定義4（商運(yùn)算）[16]設(shè)有代數(shù)系統(tǒng)(X,°)，R為論域X上的等價(jià)關(guān)系，映射p:X→X/R為投影。若商空間X/R上存在運(yùn)算°′，使p為同態(tài)映射，即對(duì)?x,y∈X，有p(x°y)=p(x)°p(y)成立，則稱(chēng)°′為商空間上的商運(yùn)算。

定義5（商代數(shù)）設(shè)R是代數(shù)(X,°)上的同余關(guān)系，若對(duì)?a,b∈X有[a°b]=[a]°′[b]，則稱(chēng)(X/R,°′)為X關(guān)于R的商代數(shù)。

可見(jiàn)，代數(shù)(X/R,°′)為(X,°)在R上的粒層，當(dāng)且僅當(dāng)R為同余關(guān)系時(shí)，映射p為同態(tài)映射，有(X/R,°′)為(X,°)的商代數(shù)。同時(shí)，同余關(guān)系與同態(tài)映射可以相互誘導(dǎo)，而定義4 表明，商運(yùn)算°′由同態(tài)映射p誘導(dǎo)，因此粒化準(zhǔn)則為同余關(guān)系是商空間上存在商運(yùn)算的充分必要條件。同余關(guān)系為論域X上特殊的等價(jià)關(guān)系，等價(jià)關(guān)系與商集一一對(duì)應(yīng)，同余關(guān)系與映射的誘導(dǎo)結(jié)果也唯一確定，因此商運(yùn)算的運(yùn)算規(guī)則是唯一確定的。由此可知，同余關(guān)系、同態(tài)映射、商運(yùn)算以及商集之間是一一對(duì)應(yīng)的關(guān)系。

2 粒度完備性

2.1 不同代數(shù)商空間簇的完備性

?；瘻?zhǔn)則的完備性是粒度轉(zhuǎn)換的基礎(chǔ)，其決定了商空間簇的完備性與求解結(jié)果的可靠性。由代數(shù)商空間以同余關(guān)系作為?；瘻?zhǔn)則可知，代數(shù)系統(tǒng)上所有同余關(guān)系構(gòu)成完備半序格[16]。但在實(shí)際問(wèn)題中并非所有?；瘻?zhǔn)則均為同余關(guān)系，因此，僅從同余關(guān)系分析粒度完備性是不夠的。為此，本節(jié)以代數(shù)粒度構(gòu)造方式為切入點(diǎn)，提出另外兩種完備半序格。

在拓?fù)渖炭臻g中，全體等價(jià)關(guān)系構(gòu)成完備半序格。因此，代數(shù)商空間中的全體等價(jià)關(guān)系也構(gòu)成完備半序格。

定義6（粒度關(guān)系）設(shè)R1與R2為非空的等價(jià)關(guān)系，若R1?R2，則稱(chēng)R1比R2細(xì)，記為R2≤R1。

引理3（基本定理）[4]對(duì)代數(shù)系統(tǒng)(X,°)，設(shè){R}為X上一切等價(jià)關(guān)系的集合，則{R}在定義6 的偏序關(guān)系“≤”下，構(gòu)成完備半序格({R},≤)。

代數(shù)系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)由論域和運(yùn)算共同決定。其中運(yùn)算僅具備優(yōu)先級(jí)，不具備大小關(guān)系，且運(yùn)算與商運(yùn)算之間僅具有相似性，因此，可在代數(shù)系統(tǒng)中定義如下偏序關(guān)系。

定義7（商代數(shù)關(guān)系）給定代數(shù)系統(tǒng)(X,°)，定義代數(shù)商空間(Xi,°i)，Xi為論域X的商集，°i為Xi上對(duì)應(yīng)于°的運(yùn)算。對(duì)?(Xi,°i),(Xj,°j)，若Xi為Xj的細(xì)分，則(Xj,°j)≤(Xi,°i)。

下面由一般等價(jià)關(guān)系構(gòu)造代數(shù)商空間簇，即對(duì)代數(shù)(X,°)作一般的粒度分解運(yùn)算，并由定理2 證明該商空間簇的完備性。

定義8（代數(shù)商空間簇1）給定代數(shù)系統(tǒng)(X,°),設(shè){X}為論域X中所有等價(jià)關(guān)系誘導(dǎo)的商集集合，{°X}為商集{X}上的運(yùn)算，記代數(shù)商空間簇U=(X,°X)={(Xi,°i)|Xi∈{X},°i∈{°X}}。

定理2設(shè)U=(X,°X)為代數(shù)(X,°)的全體代數(shù)商空間，則U在定義7的偏序關(guān)系“≤”下構(gòu)成完備半序格(U,≤)。

證明商空間理論基于集合論框架進(jìn)行問(wèn)題求解。因此，在劃分模型下，若全體等價(jià)關(guān)系構(gòu)成完備半序格，則其對(duì)應(yīng)的所有劃分也構(gòu)成完備半序格，由基本定理即可證定理2。

對(duì)拓?fù)渖炭臻g而言，等價(jià)關(guān)系保證不同粒層之間具有同態(tài)性。然而在代數(shù)商空間中，以等價(jià)關(guān)系作為?；瘻?zhǔn)則并不適用，故商空間簇U僅為粒度完備的，原代數(shù)與代數(shù)商空間之間不具備同態(tài)性。下面由同余關(guān)系構(gòu)造代數(shù)商空間簇。

引理4[16]設(shè){C}為代數(shù)(X,°)上的全體同余關(guān)系，則{C}在定義6 的偏序關(guān)系“≤”下，構(gòu)成完備半序格({C},≤)。

定義9（代數(shù)商空間簇2）給定代數(shù)(X,°)，設(shè){Y}為論域X中所有同余關(guān)系誘導(dǎo)的商集集合，{°Y}為商集{Y}上對(duì)應(yīng)°的商運(yùn)算，記代數(shù)商空間簇W=(Y,°Y)={(Yi,°i)|Yi∈{Y},°i∈{Yi}}。

定理3設(shè)W=(Y,°Y)，則W在定義7 的偏序關(guān)系“≤”下構(gòu)成完備半序格(W,≤)。

證明由引理4可知，代數(shù)(X,°)上的全體同余關(guān)系{C}構(gòu)成完備半序格[16]，因此W為粒度完備的。W是以同余關(guān)系作為粒化準(zhǔn)則得到的商空間簇，因此W中的商運(yùn)算可由同余關(guān)系與同態(tài)映射誘導(dǎo)得出，原代數(shù)與代數(shù)商空間具有同態(tài)性，因此代數(shù)商空間簇W為商代數(shù)簇。

下面給出最后一種代數(shù)商空間簇。

定義10（等價(jià)關(guān)系簇確界）給定代數(shù)系統(tǒng)(X,°)，設(shè){R} 為論域X上一切等價(jià)關(guān)系集合。令{R′}={R′|{Rα}?{R},R′=∩αRα或t(∪αRα)}，稱(chēng)R′為等價(jià)關(guān)系簇{Rα}的上確界（或下確界）。

定理4設(shè){R′}為論域X上等價(jià)關(guān)系簇的上確界集合（或下確界集合），則{R′}在定義6 的偏序關(guān)系“≤”下，構(gòu)成完備半序格({R′},≤)。

證明由定義10 可知{Rα}為等價(jià)關(guān)系，且R′=∩αRα(或t(∪αRα))，顯然R′為等價(jià)關(guān)系，仿照基本定理[4]，即可得證。

定義11（代數(shù)商空間簇3）給定代數(shù)系統(tǒng)(X,°)，令{X′}={X′|X′=X/R′，即X′為{Rα}所有劃分的上確界空間（或下確界空間）}，{°Z}為商集{X′}上對(duì)應(yīng)°的商運(yùn)算，記代數(shù)商空間簇V=(Z,°Z)={(Zi,°i)|Zi∈{X′},°i∈{Zi}}。

定理5設(shè)V=(Z,°Z)，則V在定義7 的偏序關(guān)系“≤”下構(gòu)成完備半序格(V,≤)。

證明仿照定理2即可得證。

對(duì)同余關(guān)系取上確界或下確界，所得結(jié)果顯然仍為代數(shù)(X,°)上的同余關(guān)系，其與對(duì)等價(jià)關(guān)系的討論相似，因此本文不對(duì)取合成商代數(shù)的構(gòu)造方式作討論。

2.2 代數(shù)商空間簇的關(guān)系與含義

由三種代數(shù)商空間簇的構(gòu)造方式可知，V取U的上確界集合與下確界集合，顯然U?V成立。而同余關(guān)系是特殊的等價(jià)關(guān)系，因此{(lán)C}?{R}，于是W?U成立，這表明同余半序格是等價(jià)關(guān)系半序格中的完備子格。綜上所述，構(gòu)造的三種代數(shù)商空間簇具有包含關(guān)系W?U?V。

此外，完備半序格U、V、W都是對(duì)論域的顆?；?。其中，U是商空間理論中最基本的商空間結(jié)構(gòu)[4]，它由一般等價(jià)關(guān)系簇誘導(dǎo)得出。完備半序格V是在商空間簇U的基礎(chǔ)上由合成等價(jià)關(guān)系誘導(dǎo)得到的新粒度簇。因此，就U與V而言，代數(shù)(X,°)與各粒層之間的同態(tài)性無(wú)法保證，它們僅在粒度層次上完備。而完備半序格W中的粒層均由同余關(guān)系誘導(dǎo)得出，代數(shù)(X,°)與各粒層之間存在同態(tài)映射，因此W是粒度與結(jié)構(gòu)完備的商空間簇。綜合分析，同余關(guān)系使原代數(shù)的運(yùn)算規(guī)則在商空間得以保持。同時(shí)，同余關(guān)系、同態(tài)映射、商運(yùn)算與商集一一對(duì)應(yīng)，因此商集的完備性以及同余關(guān)系對(duì)運(yùn)算的可置換性確保代數(shù)商空間簇的粒度與結(jié)構(gòu)完備性。由此可知，與拓?fù)渖炭臻g不同，代數(shù)商空間的粒度與結(jié)構(gòu)完備性有兩方面要求：一方面要求全體商空間簇構(gòu)成完備半序格；另一方面不同商空間之間要具備同態(tài)性，即存在從一個(gè)粒層到另一個(gè)粒層的同態(tài)映射。稱(chēng)上述要求為代數(shù)粒度結(jié)構(gòu)完備性條件。

最后，所提出的三種商空間簇分別表示代數(shù)(X,°)的商空間簇、商代數(shù)簇以及合成商空間簇。由其粒度完備性可知，代數(shù)粒度計(jì)算中的粒度分解與合成結(jié)果仍落在原論域中，因此代數(shù)粒度轉(zhuǎn)換是封閉的。這表明由上述三種構(gòu)造方式得到的代數(shù)商空間是可靠的，為代數(shù)商空間模型在不同粒度世界的轉(zhuǎn)換提供了理論依據(jù)。

3 粒度轉(zhuǎn)換

在商空間理論中，論域X在粒度轉(zhuǎn)換時(shí)其結(jié)構(gòu)也會(huì)發(fā)生改變。對(duì)代數(shù)商空間模型，同余關(guān)系使原代數(shù)與代數(shù)商空間之間存在同態(tài)映射，于是二者具有相同的構(gòu)成成分與運(yùn)算規(guī)則。顯然，同余關(guān)系是代數(shù)粒度轉(zhuǎn)換的關(guān)鍵。因此研究如何修正粒化準(zhǔn)則R使之具有同余性是十分必要的。本章將以商空間構(gòu)造方式為基礎(chǔ)，對(duì)代數(shù)商空間模型的粒度轉(zhuǎn)換及非同余?；瘻?zhǔn)則的修正進(jìn)行討論。

3.1 粒度分解及非同余修正

根據(jù)?；瘻?zhǔn)則的同余性，要對(duì)代數(shù)粒度分解方法分情況討論。給定代數(shù)(X,°)及?；瘻?zhǔn)則R：

一方面，若R為同余關(guān)系，由定義4 可得商空間(X′,°′)。

定義12（商空間）設(shè)R為代數(shù)(X,°)上的同余關(guān)系，(X′,°′)為R誘導(dǎo)的代數(shù)商空間，則(X′,°′)滿(mǎn)足：X′=X/R′，且映射p:X→X/R使運(yùn)算°′滿(mǎn)足p(a°b)=p(a)°′p(b)，其中a、b為論域X上的任意元素。

顯然，由定義12得到的代數(shù)商空間為(X,°)的商代數(shù)，映射p為從(X,°)到(X′,°′)的同態(tài)。

另一方面，若?；瘻?zhǔn)則R為非同余關(guān)系，本文采用近似同余進(jìn)行修正，修正結(jié)果能夠最大近似原粒化準(zhǔn)則，其既有同余性，也滿(mǎn)足等價(jià)關(guān)系R的要求，具體定義如下。

定義13（近似同余）設(shè)代數(shù)系統(tǒng)(X,°)上的全體同余關(guān)系為{C}，全體等價(jià)關(guān)系集合為{R}，則對(duì)?R∈{R}且R≠?，關(guān)于R都存在近似同余關(guān)系對(duì)，其中：

3.2 粒度合成

多粒度合成可由二粒度合成推導(dǎo)，因此僅討論兩個(gè)粒度的合成。為保證合成前后問(wèn)題關(guān)鍵信息不丟失，代數(shù)商空間粒層合成要求：合成商空間將完全包含商空間簇的全部信息，且不超過(guò)其所能提供的全部信息。因此，代數(shù)商空間粒層合成原則如下：

設(shè)(X1,°1)、(X2,°2)為代數(shù)(X,°)上兩個(gè)不同層次的商空間，將(X1,°1)與(X2,°2)的合成定義為(X3,°3)=(X1,°1)*(X2,°2)，則(X3,°3)滿(mǎn)足：

（1）X1與X2為°3的商空間；

（2）°1與°2為°3在X1、X2上的商運(yùn)算。

同樣，代數(shù)商空間粒層合成根據(jù)?；瘻?zhǔn)則的同余性分為商代數(shù)合成與非商代數(shù)合成。首先，對(duì)商代數(shù)的合成，可直接利用同余關(guān)系誘導(dǎo)合成商空間上的等價(jià)關(guān)系。

定義14（合成商空間）設(shè)(X1,°1)、(X2,°2)為代數(shù)(X,°)的商空間，R1、R2分別為(X1,°1)與(X2,°2)誘導(dǎo)的同余關(guān)系，則X1與X2的合成商空間為X3=X1*X2={a∩b|a∈X1,b∈X2}。商空間X3誘導(dǎo)的等價(jià)關(guān)系為R3，則R3=R1∩R2，為R1與R2的合成。

證明設(shè)[x]3∈X3，因同余關(guān)系為特殊的等價(jià)關(guān)系，則有：

顯然，同余關(guān)系的交R3仍為同余關(guān)系。因?yàn)镽i≥R3,i=1,2，即X/R3為X/Ri的細(xì)分，X/R3≥X/Ri恒成立，所以R3合成滿(mǎn)足合成原則，證明成立。

根據(jù)粒度合成方法以及商運(yùn)算與同余關(guān)系、同態(tài)映射的關(guān)系，合成商代數(shù)上的商運(yùn)算利用同余關(guān)系與同態(tài)映射進(jìn)行誘導(dǎo)可得。

引理5[16]設(shè)(X1,°1)、(X2,°2)分別為代數(shù)(X,°)的商空間，X3=X1*X2,°3為運(yùn)算°1與°2的合成，°3=°1*°2,°3:X3*X3→X3。若°3對(duì)?[x]3有[x]3°3[y]3=[x]1°1[y]1∩[x]2°2[y]2,則°3為X3上相對(duì)于°的商運(yùn)算，且°1與°2分別為X1與X2上相對(duì)于°3的商運(yùn)算。

其次，對(duì)非商代數(shù)合成方法，本文僅討論?；瘻?zhǔn)則R1、R2均為非同余的情況，此時(shí)合成方法分為后合成法與后修正法。

3.3 粒度合成結(jié)果分析

前文所述六種合成結(jié)果，一般有以下大小關(guān)系。

定理9設(shè)R1、R2為代數(shù)(X,°)上的兩個(gè)等價(jià)關(guān)系，X1、X2為其對(duì)應(yīng)的商空間，則有：

顯然，其各劃分必定相等，證明成立。

另一方面，若R1與R2均為非同余關(guān)系，則有定理10成立。

基于以上討論，代數(shù)商空間模型在粒度轉(zhuǎn)換時(shí)首先要分析粒化準(zhǔn)則R是否為同余關(guān)系：若R為同余關(guān)系，則可直接由R進(jìn)行粒度分解或合成，再由定義12 或引理5 誘導(dǎo)商運(yùn)算或合成運(yùn)算；若R為非同余，則在粒度轉(zhuǎn)換時(shí)要對(duì)R進(jìn)行修正。

針對(duì)非同余關(guān)系的合成，后合成法要分別對(duì)R1、R2修正，雖然計(jì)算量有所增加，但修正后的?；瘻?zhǔn)則在運(yùn)算°下具有可置換性，因此可由引理5直接求得新粒度的商運(yùn)算；后修正法在粒層合成時(shí)并未考慮論域結(jié)構(gòu)，因此雖僅修正一次粒化準(zhǔn)則，但新粒度上的運(yùn)算規(guī)則要由定義4 或定義12 逐一誘導(dǎo)，計(jì)算繁瑣。然而結(jié)合式（12）可知，后修正法的合成結(jié)果與原粒層直接合成的結(jié)果最為接近。上述兩種合成方式各有利弊，在粒層合成時(shí)需根據(jù)實(shí)際情況進(jìn)行選擇。

4 代數(shù)商空間求解一致性及應(yīng)用

本章將研究代數(shù)商空間的求解原理，并討論其應(yīng)用意義。

4.1 代數(shù)商空間求解一致性原理

拓?fù)渖炭臻g借助商映射的連續(xù)性與集合的連通性，將求解復(fù)雜問(wèn)題轉(zhuǎn)換為求某一集合的連通集，并根據(jù)同態(tài)法則給出“若問(wèn)題在原空間中有解，則在粗粒度空間上也一定有解；若問(wèn)題在粗粒度空間中無(wú)解，則在原空間也一定無(wú)解”的結(jié)論[4]。上述結(jié)論被稱(chēng)為商空間理論的保真與保假原理。保真與保假原理是商空間理論研究多粒度計(jì)算的重要內(nèi)容，利用該原理可刪除問(wèn)題的無(wú)解部分，縮小求解范圍，大大減少計(jì)算量。因此，該原理在代數(shù)商空間中成立與否是十分重要的問(wèn)題。與拓?fù)淝蠼獠煌鷶?shù)系統(tǒng)以代數(shù)方程是否有解作為問(wèn)題求解依據(jù)，因此某一問(wèn)題是否有解等價(jià)于代數(shù)方程是否有解。下面對(duì)問(wèn)題在某一粒度上是否有解進(jìn)行定義。

定義15（代數(shù)解）設(shè)有代數(shù)系統(tǒng)(X,°)，R為論域X上的等價(jià)關(guān)系，設(shè)?a,b∈X，[X]=X/R。若目標(biāo)方程[a]°[x]=[b]有解，則問(wèn)題在代數(shù)(X,°)的粒度R上有解。

在劃分模型下，定義4表明商空間X/R上存在商運(yùn)算°′使[x°y]=[x]°′[y]，即元素經(jīng)過(guò)運(yùn)算后的投影與投影后進(jìn)行商運(yùn)算的結(jié)果相同。因此，同余關(guān)系與運(yùn)算°′顯然可使映射p為同態(tài)映射，原代數(shù)與代數(shù)商空間遵循同態(tài)法則，由此可知在代數(shù)商空間中，保真原理與保假原理仍成立。結(jié)合粒度轉(zhuǎn)換方法可知：代數(shù)商空間在粒度轉(zhuǎn)換時(shí)，盡管運(yùn)算結(jié)構(gòu)發(fā)生改變，但問(wèn)題的解并未改變，它僅是在粗細(xì)粒度轉(zhuǎn)換中被細(xì)分或合并，由此得出代數(shù)商空間求解一致性原理。

定理11（一致性原理）設(shè)R1與R2為代數(shù)系統(tǒng)(X,°)上的同余關(guān)系，(X1,°1)、(X2,°2)為其對(duì)應(yīng)的代數(shù)商空間，若代數(shù)方程a°x=b在(X,°)上有解，則問(wèn)題在粒度R1與R2上分別有解，其解分別為[x]1與[x]2；若代數(shù)方程[a]1°[x]1=[b]1與[a]2°[x]2=[b]2在(X1,°1)與(X2,°2)上分別有解，則問(wèn)題在合成商代數(shù)中一定有解，其解為[x]1∩[x]2。

證明R1與R2為同余關(guān)系，因此商空間(X1,°1)與(X2,°2)上的運(yùn)算為商運(yùn)算，于是有[a°x]i=[a]i°i[x]i,i=1,2 。若a°x=b有解，則[a°x]i=[a]i°i[x]i=[b]i成立，于是[a]i°i[x]i=[b]i也有解。

設(shè)X3誘導(dǎo)的等價(jià)關(guān)系為R3，則R3=R1∩R2。因R1與R2為同余關(guān)系得R3為同余關(guān)系。由同余關(guān)系、同態(tài)映射、商運(yùn)算的一一對(duì)應(yīng)性可得，合成空間X3上也存在商運(yùn)算°3，根據(jù)合成原則定義°3為：對(duì)?x3,y3∈X3，有[x]3°3[y]3=[x°y]3。顯然，[x]3=[x]1∩[x]2，因此，代數(shù)方程[a]3°3[x]3=[b]3，有：

[b]3=[a]3°3[x]3=[a°x]3=([a]1°1[x]1)∩([a]2°2[x]2)=[b]1∩[b]2

因此[a]3°3[x]3=[b]3有解，且[b]3=[b]1∩[b]2，證明成立。

一致性原理給出代數(shù)方程在粒度轉(zhuǎn)換后的求解結(jié)果，其一致性是指粒度轉(zhuǎn)換前后組成問(wèn)題解的元素為同一論域。該原理表明，代數(shù)商空間以同余關(guān)系作為?；瘻?zhǔn)則使問(wèn)題的關(guān)鍵信息在粒度轉(zhuǎn)換時(shí)得以保存；因此，對(duì)于大規(guī)模的復(fù)雜代數(shù)問(wèn)題，一致性原理確保問(wèn)題能在多個(gè)粗代數(shù)上求解，且各粒層互不影響，在獲得各粒層的求解結(jié)果后取其交集即可得出原問(wèn)題的解。由此可知，代數(shù)商空間在多粒度計(jì)算中仍具有商空間理論求解問(wèn)題的優(yōu)勢(shì)。

例2設(shè)有代數(shù)系統(tǒng)(X,°)，其中X={0,1,2,3,4,5,6,7},°=+6，R1與R2為(X,°)上的同余?；瘻?zhǔn)則，R1={{1,3,5,7},{0,2,4,6}},R2={{0,3,6},{1,4,7},{2,5,1}}，求1 °x=2 的全部解。

利用代數(shù)粒度計(jì)算進(jìn)行問(wèn)題求解，首先R1與R2可分別誘導(dǎo)代數(shù)商空間(X1,°1),(X2,°2)，其中X1={{1,3,5,7},{0,2,4,6}},°=+2;X2={{0,3,6},{1,4,7},{2,5,1}},°=+3。原代數(shù)方程1 °x=2 在(X1,°1)下表達(dá)為[1]1°1[x]1=[2]1，顯然有[1]1°1[1]1=[2]1，故[x]1={1,3,5,7}；在(X2,°2)下表達(dá)為[1]2°2[x]2=[2]2，顯然有[1]2°2[1]2=[2]2，故[x]2={1,4,7}。那么綜上可得原問(wèn)題1 °x=2 的解為x=[x]1∩[x]2={1,7}。顯然，其解得到驗(yàn)證，解的值域不變。

4.2 代數(shù)商空間的應(yīng)用

商空間理論作為多粒度計(jì)算的主要計(jì)算理論已成為問(wèn)題求解與數(shù)據(jù)分析的重要工具。代數(shù)商空間解決了商空間模型在論域分解與合成前后結(jié)構(gòu)不一致的問(wèn)題[17]，本文在對(duì)代數(shù)商空間?；椒?、?；Y(jié)果等的研究基礎(chǔ)上提出求解一致性原理，證明了代數(shù)商空間在粒度轉(zhuǎn)化時(shí)不會(huì)改變問(wèn)題的解，為使用代數(shù)商空間進(jìn)行問(wèn)題求解奠定理論基礎(chǔ)。

近年來(lái)，利用代數(shù)系統(tǒng)分析計(jì)算模型或計(jì)算理論受到計(jì)算機(jī)科學(xué)領(lǐng)域的廣泛關(guān)注，代數(shù)商空間將商空間理論拓展到了更多的領(lǐng)域中。代數(shù)是推理系統(tǒng)表示的有效語(yǔ)言，若利用代數(shù)商空間模型，則定性推理實(shí)際上是在某一代數(shù)商空間上對(duì)問(wèn)題進(jìn)行推理和分析，那么代數(shù)商空間的粒度轉(zhuǎn)換技術(shù)與一致性原理均可應(yīng)用于推理過(guò)程。例如：通過(guò)?；蚝铣蓸?gòu)造定性空間，此時(shí)，對(duì)于非同余的?；瘻?zhǔn)則，不必采用逼近策略計(jì)算上界空間和運(yùn)算，可直接通過(guò)近似同余與定義12 誘導(dǎo)商空間、商運(yùn)算與約束條件等。同時(shí)，在商空間上進(jìn)行推理與分析時(shí)，求解一致性保證了推理結(jié)果的正確性。于是代數(shù)商空間則成為描述定性推理的新的數(shù)學(xué)工具。

5 結(jié)束語(yǔ)

本文以代數(shù)商空間模型的粒度轉(zhuǎn)換為切入點(diǎn)，論證其粒度完備性，系統(tǒng)討論了代數(shù)商空間粒度轉(zhuǎn)換技術(shù)，并提出問(wèn)題解的一致性原理：基于不同的粒度構(gòu)造方式提出三種代數(shù)商空間簇，并探討其聯(lián)系、含義以及粒度結(jié)構(gòu)與運(yùn)算結(jié)構(gòu)的完備性；針對(duì)代數(shù)粒度轉(zhuǎn)換，采用上同余與下同余修正非同余粒化準(zhǔn)則。同時(shí)，綜合考慮粒度轉(zhuǎn)換原則給出粒度分解與合成方法，并證明不同轉(zhuǎn)換結(jié)果之間具有確定的大小關(guān)系及合成結(jié)果的相等條件。最后，提出并論證了代數(shù)商空間的求解一致性原理，結(jié)合實(shí)例與定性推理簡(jiǎn)要討論了對(duì)代數(shù)商空間的應(yīng)用。本文僅對(duì)代數(shù)商空間的核心問(wèn)題進(jìn)行理論探討，在未來(lái)工作中，考慮將代數(shù)商空間應(yīng)用到實(shí)際問(wèn)題中，并繼續(xù)研究使用代數(shù)商空間求解模糊、不確定性問(wèn)題。