一類圓錐曲線定點(diǎn)定值的代數(shù)本質(zhì)

張海泉

(江蘇省興化中學(xué) 225700)

我們知道數(shù)學(xué)對(duì)象的本質(zhì)特征可以有多種等價(jià)的表現(xiàn)形式,圓錐曲線中有著豐富多彩的幾何性質(zhì),而這些幾何性質(zhì)可以通過坐標(biāo)系將所研究的點(diǎn)、線等問題用變量x,y有序數(shù)組化,將幾何問題歸結(jié)為代數(shù)問題.通過代數(shù)推理與運(yùn)算融合,轉(zhuǎn)化為變量之間的“強(qiáng)相關(guān)”,將這些具有“強(qiáng)相關(guān)”的數(shù)與式翻譯成幾何結(jié)論,使得代數(shù)特征幾何視覺化,從而呈現(xiàn)為圓錐曲線中定點(diǎn)、定值、定軌跡等問題.

圖1

圖2 圖3

猜想1 這個(gè)定值是否是因?yàn)橹本€經(jīng)過了焦點(diǎn)F的緣故？

探究1將幾何問題代數(shù)化：

設(shè)P(x1,y1),Q(x2,y2),

①

若PQ不垂直于x軸，設(shè)lPQ:y=k(x-1)，

3+4k2x2-8k2x+4k2-12=0.

代入①，得

若PQ垂直于x軸，可驗(yàn)證同樣成立(驗(yàn)證略).

試著探索這種“強(qiáng)相關(guān)”.

設(shè)x1+x2=A，x1x2+B,即

探究2 是否任意橢圓中都有這種強(qiáng)相關(guān)？

角度1 兩邊同時(shí)平方，得

②

當(dāng)x1=x2時(shí)該式也成立.

這表明x1x2與x1+x2的線性“強(qiáng)相關(guān)”確實(shí)存在.

③

說明y1y2與x1+x2間也有著線性“強(qiáng)相關(guān)”.

y1(x2-m)=y2(x1-m).

展開后得x2y1-x1y2=m(y1-y2).

④

即x2y1-x1y2，x2y1+x1y2與y1+y2間也有著線性“強(qiáng)相關(guān)”.

于是利用這種強(qiáng)相關(guān)可推廣到一般解法：

圖4

解析若PQ不垂直于x軸，設(shè)lPQ:y=k(x-m),

由上述“強(qiáng)相關(guān)”②式得

若PQ垂直于x軸，可驗(yàn)證同樣成立(驗(yàn)證略).

探究4如圖5,直線PQ過定點(diǎn)M,說明P，Q兩點(diǎn)必然有線性“強(qiáng)相關(guān)”,且A，B兩點(diǎn)關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱,所以AP,BQ兩直線應(yīng)該也有“強(qiáng)相關(guān)”,猜想這種“強(qiáng)相關(guān)”表現(xiàn)為AP,BQ的交點(diǎn)必具有某種特定屬性.

圖5

下面來探究這個(gè)交點(diǎn)G,

從教師的命題角度來看，這種利用變量之間“強(qiáng)相關(guān)”相消的方法可以以點(diǎn)帶面擴(kuò)充試題的教學(xué)功能，于是試著將定點(diǎn)拓展為定值問題.

圖6

解析設(shè)Ax1,y1,Bx2,y2,易知F(1,0).

展開得x2y1-x1y2=y1-y2.

由上述強(qiáng)相關(guān)④式得

x1y2+x2y1=4y1+y2

故直線BM過定點(diǎn)(2,0).

經(jīng)過初步對(duì)稱性分析,不難知道定點(diǎn)一定在x軸上,所以只要求出直線BM的橫截距即可,而橫截距表達(dá)式中含有x1y2,x2y1.于是很自然想到y(tǒng)1±y2與x1y2±x2y1之間的“強(qiáng)相關(guān)”,進(jìn)而用y1,y2線性表示出x1y2,x2y1,從而達(dá)到消元成定值的目的.從圓錐曲線的定義看,它本身的解析式就是“定點(diǎn)定值問題”,點(diǎn)在曲線上或某種特定曲線上運(yùn)動(dòng)時(shí),相關(guān)變量存在著與曲線方程相關(guān)聯(lián)的“強(qiáng)相關(guān)”,以坐標(biāo)法的研究問題為主線,結(jié)合代數(shù)推理與運(yùn)算,借助于這種“強(qiáng)相關(guān)”消元即可解決此類定點(diǎn)定值問題.