三角函數(shù)最值問(wèn)題的“七十二變”

謝賢祖

(廣東省華南師大附中汕尾學(xué)校 516600)

1 源于教材，對(duì)接高考

例1(人教A版必修4第144頁(yè)第6題)

(1)求y=3sinx+4cosx的最值.

(2)求y=asinx+bcosx的最值.

例2(人教A版第一冊(cè)第227頁(yè)例9)

(2)求y=3sinx+4cosx的最值.

例3(2017年全國(guó)Ⅱ卷文科第13題)

y=2cosx+sinx的最大值為____.

2 系數(shù)平移，角度加倍

可以發(fā)現(xiàn)上述題目的不同之處在于sinx和cosx的系數(shù)不同，而且它們的系數(shù)都在三角函數(shù)的外面，因此可以考慮讓系數(shù)“動(dòng)起來(lái)”，不要僅限于讓系數(shù)待在sinx和cosx的外面，可以在sinx和cosx的內(nèi)部引入倍數(shù).

例4(2017年全國(guó)Ⅱ卷文科第13題·改編)y=cos2x+sinx的最大值為____.

分析這種考法對(duì)于高三的老師和學(xué)生來(lái)說(shuō)屢見不鮮，適合給基礎(chǔ)中等偏弱的學(xué)生訓(xùn)練.

由二倍角公式得

y=cos2x+sinx

=1-2sin2x+sinx

例5(原創(chuàng))y=cos3x-cosx的最大值為____.

分析三倍角公式cos3x=4cos3x-3cosx對(duì)于參加競(jìng)賽的學(xué)生是要牢記于心的.對(duì)于只參加高考的學(xué)生，現(xiàn)場(chǎng)推導(dǎo)即可，無(wú)需背誦.具體過(guò)程如下：

利用cos3x=cos2x+x展開，得

cos3x=cos2xcosx-sin2xsinx

=2cos2x-1cosx-21-cos2xcosx

=4cos3x-3cosx.

因此，y=4cos3x-4cosx.

令t=cosx，則y=4t3-4t-1≤t≤1.

求導(dǎo)得y′=12t2-4.

反思此題結(jié)合三倍角公式和換元思想，轉(zhuǎn)化成三次函數(shù)，最后借助導(dǎo)數(shù)判斷單調(diào)性求極值，三倍角公式看似超綱，但推導(dǎo)過(guò)程不超綱，筆者自認(rèn)為是一道綜合性強(qiáng)的好題.但對(duì)于普通學(xué)生來(lái)說(shuō)偏難，所以實(shí)際教學(xué)中應(yīng)當(dāng)適當(dāng)取舍，因材施教，給尖子生或是競(jìng)賽班的學(xué)生訓(xùn)練比較合適.根據(jù)所教學(xué)生水平，還可以考慮改編成y=sin3x+sinx讓學(xué)生類比模仿，遷移變通，由于解法類似，在此不詳細(xì)展開.

3 系數(shù)上浮，浮想聯(lián)翩

由于上一道題難度較大，筆者繼續(xù)思考，還可以考慮讓系數(shù)“上浮”成平方，又是另一番風(fēng)景，題目難度也不會(huì)太大，具體改編如下：

例6 (2017年全國(guó)Ⅱ卷文科第13題·改編)y=cos2x+sinx的最大值為____.

分析對(duì)學(xué)生來(lái)說(shuō)，這種考法在高一就已經(jīng)見過(guò)了，適合普通學(xué)生在高三復(fù)習(xí)課訓(xùn)練使用.

筆者繼續(xù)嘗試，想讓平方升級(jí)為“三次方”：求y=cos3x+sinx的最大值.但是目測(cè)難度很大，用幾何畫板畫圖如圖1，復(fù)雜無(wú)規(guī)律，筆者嘗試求導(dǎo)換元勉強(qiáng)可以算出最值，但是計(jì)算繁雜，不適合考查學(xué)生，所以就此作罷.只能繼續(xù)改進(jìn)，思考如何讓題目的最值可求、易算、不超綱.于是想到如下改編方式：升級(jí)為“四次方”，為了保證結(jié)構(gòu)對(duì)稱，有章可循，讓sinx和cosx次數(shù)一致，具體題目如下：

圖1

例7 (原創(chuàng))y=cos4x+sin4x的最大值為____.

分析為了立足課內(nèi)知識(shí)并且“創(chuàng)造”出四次方，想到1=cos2x+sin2x，于是得到

y=cos4x+sin4x

這樣一箭雙雕，把最大值、最小值一起解決.若把“四次方”改成“立方”，又是另一個(gè)難度.

例8 (原創(chuàng))y=cos3x+sin3x的值域?yàn)開___.

分析y=cosx+sinxcos2x+sin2x-cosxsinx

=cosx+sinx1-cosxsinx,

令cosx+sinx=t，則

又g(-1)=-1，g(1)=1，

故g(t)的值域?yàn)閇-1,1].

4 式子下沉，曲徑通幽

略有遺憾的是cos2x+sin2x=1為定值，無(wú)法直接命制成求最值的題目.但是筆者結(jié)合自己做競(jìng)賽題的經(jīng)歷，想到如下改編方法，讓cos2x和sin2x“下沉”到分母位置.

分析使用“1”的代換巧妙變形，

還可以考慮將平方去掉，繼續(xù)推廣，則會(huì)涉及競(jìng)賽結(jié)論，適合教給競(jìng)賽生.

分析令cosx+sinx=t，則

分析這樣推廣則涉及到競(jìng)賽結(jié)論，由權(quán)方和不等式得

評(píng)注權(quán)方和不等式詳細(xì)內(nèi)容如下,

5 內(nèi)外嵌套，雙管齊下

這一想法不是筆者原創(chuàng)，是受到高考題的啟發(fā)，又跟本文有所關(guān)聯(lián)，所以順便納入文中，以饗讀者.還可以考慮在三角函數(shù)的內(nèi)外同時(shí)“嵌套”系數(shù).先看高考真題.

例12(2018全國(guó)Ⅰ卷理科16題)fx=2sinx+sin2x的最小值為____.

對(duì)于這兩道題的解答，前人之述備矣，網(wǎng)絡(luò)上早已流傳各種解法，限于篇幅，不在此展示.受到上述題目的啟發(fā)，筆者又繼續(xù)嘗試改編出下列題目，并且研究是否可解，可以考慮讓sinx和cosx交換搭配.

例14(改編)y=2sinx+cos2x的最小值為____.

例15(改編)y=2cosx+cos2x的最小值為____.

分析易知使用二倍角公式后可以將原函數(shù)轉(zhuǎn)化成二次函數(shù)求最值，較為簡(jiǎn)單，不適合當(dāng)壓軸題，適合普通學(xué)生復(fù)習(xí)訓(xùn)練使用，相信命題專家肯定是考慮過(guò)、研究過(guò)，所以選擇了例8作為2018年的填空壓軸題.

6 命題不易，且行且思

(2)解題研究和命題研究無(wú)禁區(qū)，但是解題教學(xué)有禁忌.筆者認(rèn)為把題目進(jìn)行改編和推陳出新對(duì)老師來(lái)說(shuō)是好事，但是不應(yīng)該超綱，創(chuàng)造出來(lái)的題目適不適合給學(xué)生訓(xùn)練還需要反復(fù)斟酌，集體備課、集思廣益后再呈現(xiàn)在課堂上才合理.比如例8其實(shí)還可以演變成探索函數(shù)f(x)=sinnx+cosnx(n∈Z)的值域問(wèn)題．經(jīng)過(guò)學(xué)習(xí)競(jìng)賽、查閱書刊、請(qǐng)教同行，筆者得知下列結(jié)論：

設(shè)f(x)的值域?yàn)榧螴，則

很明顯這個(gè)問(wèn)題已經(jīng)不適合在常規(guī)課堂向?qū)W生展開討論了，但在競(jìng)賽班筆者會(huì)引導(dǎo)學(xué)生一起探索.所以命題研究要靈活發(fā)散，但是解題教學(xué)要點(diǎn)到為止、因材施教.

(3)通過(guò)對(duì)例9-例12的研究，筆者揣摩到命題者的意圖，甚至可以猜想到命題者的改編歷程，與命題者對(duì)話.受此啟發(fā)，我們老師應(yīng)該加強(qiáng)對(duì)高考真題的命題研究，探討題目的來(lái)龍去脈，思考題目的“七十二變”，不僅有利于提升自己的解題水平、命題水平，也能更好地指導(dǎo)自己的日常教學(xué)，有的放矢.甚至可以讓學(xué)生嘗試自己出題，獲得自信.比如筆者在高三復(fù)習(xí)課上就嘗試過(guò)讓學(xué)生自己改編，在展示例題：求y=cos2x+sinx的最大值之后，啟發(fā)學(xué)生思考還可以如何變式，學(xué)生眾說(shuō)紛紜，給出了如下變式：

例16 求y=sin2x+sinx的最小值.

例17 求y=cos2x+cosx的最大值.

例18 求y=cosx+sin2x的最小值.

例19 求y=cosx+sin2x的值域.

當(dāng)然學(xué)生的創(chuàng)造天馬行空，這個(gè)時(shí)候就需要我們老師見多識(shí)廣，運(yùn)籌帷幄，收放自如，去偽存真，引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行合理的變式和有效的訓(xùn)練，平時(shí)老師進(jìn)行命題研究形成的功力此時(shí)便派上用場(chǎng)了.

(4)命題研究不能閉門造車，還得廣泛閱讀書刊，多與同行交流，不斷學(xué)習(xí)他人的優(yōu)秀思想.源于教材，立足基礎(chǔ)，對(duì)接高考，適度綜合，因材施教.筆者感悟最深的一點(diǎn)就是對(duì)一個(gè)題目不斷的探索和改編可能會(huì)涉及到競(jìng)賽領(lǐng)域，這對(duì)于提升教師個(gè)人水平是極好的訓(xùn)練機(jī)會(huì)，有時(shí)不小心把題目改難了，超過(guò)了自己的水平，會(huì)逼迫我們?nèi)ァ安?、?wèn)、學(xué)、思”，過(guò)程有點(diǎn)艱辛，需要專研的時(shí)間和毅力，但是筆者相信功不唐捐，在此與志同道合者共勉.