一道高中數(shù)學預賽試題的多解探究及推廣

貴州師范大學數(shù)學科學學院 (550025) 劉遠桃

1.試題呈現(xiàn)

分析：這是2022年全國高中數(shù)學聯(lián)賽江西賽區(qū)預賽試題中的一道根式函數(shù)求最大值問題.我們知道根式函數(shù)不易直接求得最值，解題思路可以分為兩個，一個是對式子化簡、變形，湊出“xy+yz+zx”項，從而將條件式子整體代入得到最大值；另一個是通過換元將原式有理化，或者將其變得更具特點，從不等式的角度進行求解.因此，如何將函數(shù)表達式化簡和變形，將問題化歸和轉化，成為解答此題的關鍵.

2.試題解析

評注：此解法利用換元法將根式函數(shù)有理化，再借助不等式知識，求出最大值.

評注：此解法通過“先設后求”思想，將最值問題轉化為不等式問題，利用基本不等式，求得最大值.

評注：此解法通過“先設后求”思想，將最值問題轉化為不等式問題，利用算術平均數(shù)與冪平均數(shù)之間的關系，求得最大值.

評注：此解法通過換元法將問題轉化，再利用函數(shù)的切線性質，求得最大值.

評注：此解法通過換元法將問題轉化，再利用函數(shù)凹凸性和琴生不等式，求得最大值.

一題多解是建立在扎實的數(shù)學知識、深刻的理解問題核心和掌握豐富的解題策略基礎上的，可以培養(yǎng)和加強學生的全面分析問題的能力、綜合運用知識的能力和數(shù)學思維能力[1].通過上述六個視角的六種解法，體現(xiàn)了一題多解思維，同時將函數(shù)最值問題與不等式相結合，尋得更多的解題思路，體現(xiàn)了化歸與轉化思想.

3.試題推廣

1.一般化：即對不等式中所含數(shù)字一般化.

2.增元：即改變不等式中未知數(shù)的個數(shù).

3.變冪：即改變不等式中未知數(shù)的冪.

4.加權:即改變不等式的結構形式.

數(shù)學具有嚴謹?shù)倪壿嬓?，提倡“大膽猜想，小心求證”.利用柯西不等式可以證明推廣1、2、3、4；利用琴生不等式可以證明推廣5和推廣6；而推廣7的證明則是另外的思路.下面例舉推廣1、推廣5和推廣7的證明過程，其他推廣的證明不再敘述.

推廣是數(shù)學學習、數(shù)學研究和數(shù)學發(fā)展的重要手段和途徑.在數(shù)學學習中，推廣可以加強對觀察、分析、比較、綜合、概括、歸納、類比和發(fā)現(xiàn)能力以及創(chuàng)新意識等的培養(yǎng)；在數(shù)學研究中，推廣可以加深對問題本身的認識和理解，可以產生新問題和新方法；在數(shù)學發(fā)展中，推廣可以引導數(shù)學發(fā)現(xiàn)，可以產生新定理和新理論.