陶海莉 高孝君

（1.廣東美的暖通設(shè)備有限公司 佛山 528311；2.佛山鴻威技術(shù)有限公司 佛山 528311）

引言

永磁同步電機(jī)具有動(dòng)態(tài)性能好，效率高等優(yōu)點(diǎn)，在工業(yè)領(lǐng)域、民用領(lǐng)域有著越來越多的應(yīng)用[1]?；谑噶靠刂品椒?，將其控制方式等效為直流電機(jī)，獲得更好的控制效果和性能。永磁同步電機(jī)的控制系統(tǒng)由電流環(huán)和速度環(huán)構(gòu)成，并采用PI控制器結(jié)構(gòu)[2]。PI控制器雖然具有結(jié)構(gòu)簡(jiǎn)單，調(diào)試方便等優(yōu)點(diǎn)，但是其本質(zhì)是“基于誤差的反饋來消除誤差”，對(duì)于系統(tǒng)的擾動(dòng)以及模型變化等，其控制性能將受到限制。預(yù)測(cè)控制、自適應(yīng)控制等現(xiàn)代控制方法在永磁同步電機(jī)控制系統(tǒng)的應(yīng)用受到廣泛的關(guān)注。但是，自適應(yīng)預(yù)測(cè)控制算法復(fù)雜，對(duì)處理器的性能要求較高；預(yù)測(cè)控制算法存在模型預(yù)測(cè)精度不高、滾動(dòng)優(yōu)化策略少、反饋校正方法單調(diào)等問題[3]。

自抗擾控制器（active disturbance rejection controller,ADRC）是一種新型的控制方法。該控制器通過對(duì)整個(gè)系統(tǒng)的內(nèi)外擾動(dòng)進(jìn)行實(shí)時(shí)估計(jì)，并進(jìn)行動(dòng)態(tài)補(bǔ)償，結(jié)合設(shè)計(jì)合適的控制律，從而使得系統(tǒng)獲得更好的魯棒性和動(dòng)態(tài)性能[4-7]。雖然自抗擾控制器（ADRC）在永磁同步電機(jī)應(yīng)用上存在不少的研究成果[8-12]，但是其控制結(jié)構(gòu)復(fù)雜，參數(shù)整定困難等特點(diǎn)，限制了應(yīng)用范圍。

為了降低自抗擾控制器的設(shè)計(jì)難度，本文研究了一種基于ADRC的永磁同步電機(jī)速度環(huán)控制器設(shè)計(jì)方法。將電機(jī)的參數(shù)變化以及內(nèi)外擾動(dòng)擴(kuò)張為二階變量，構(gòu)建系統(tǒng)的擴(kuò)張狀態(tài)觀測(cè)器（extended state observer, ESO）。將擾動(dòng)量前饋補(bǔ)償，使得系統(tǒng)等效為串聯(lián)積分環(huán)節(jié)。基于擾動(dòng)補(bǔ)償后的系統(tǒng)模型，設(shè)計(jì)狀態(tài)誤差反饋控制律（state error feedback control law）。為了提升系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)性能，引入了基于跟蹤微分器（tracking differentiator，TD）的前饋控制器?？刂葡到y(tǒng)的整定參數(shù)依賴于系統(tǒng)轉(zhuǎn)動(dòng)慣量，本文引入了基于擴(kuò)張狀態(tài)觀測(cè)器的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量辨識(shí)方法。

通過MATLABSIMULINK搭建仿真模型和永磁同步電機(jī)控制器實(shí)驗(yàn)環(huán)境，驗(yàn)證控制器設(shè)計(jì)方法的有效性，并和PI控制器的矢量控制系統(tǒng)進(jìn)行對(duì)比研究。實(shí)驗(yàn)以及仿真的結(jié)果均表明，ADRC的動(dòng)態(tài)性能以及抗擾動(dòng)性能優(yōu)于PI控制器。

1 永磁同步電機(jī)動(dòng)力學(xué)模型

基于轉(zhuǎn)子磁鏈定向的矢量控制理論，永磁同步電機(jī)在忽略高次諧波影響，并進(jìn)行同步坐標(biāo)旋轉(zhuǎn)變換可得電壓-電流方程組如下所示：

式中：

uq、ud、id、iq—定子側(cè)電壓電流；

Rs—定子電阻；

ω—電氣角速度；

ψd、ψq—磁鏈。

使用d-q電流解耦控制，并基于典I型設(shè)計(jì)的電流環(huán)控制器，在考慮控制器以及功率逆變電路上的延時(shí)，可以等效為一階慣性環(huán)節(jié)。

式中：

TΣi—電流環(huán)控制器的總延時(shí)，包含PWM更新、電流采樣濾波器等；

使用標(biāo)幺化的運(yùn)動(dòng)方程如下所示：

式中：

nN—永磁同步電機(jī)的額定轉(zhuǎn)速；

n*—電機(jī)轉(zhuǎn)速；

Kt—轉(zhuǎn)矩系數(shù)；

TL—負(fù)載轉(zhuǎn)矩；

J—系統(tǒng)的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量；

B—系統(tǒng)粘滯系數(shù)；

2 轉(zhuǎn)速環(huán)自抗擾控制器設(shè)計(jì)

由于電流控制帶寬較高，通常采樣PI控制器可以滿足性能要求。速度環(huán)作為外環(huán)，控制帶寬相對(duì)較低，且需要面對(duì)復(fù)雜的外界工況，結(jié)合自抗擾控制原理，構(gòu)成了如圖1的控制方案。一階自抗擾控制器主要由跟蹤微分器（tracking differentiator，TD）、擴(kuò)張狀態(tài)觀測(cè)器（ESO）以及線性狀態(tài)誤差反饋控制率（state error feedback control law，NLSEF）。自抗擾控制器的跟蹤微分器使系統(tǒng)的過渡過程更加平緩，無超調(diào)。采用擴(kuò)展?fàn)顟B(tài)觀測(cè)器對(duì)系統(tǒng)的擾動(dòng)及參數(shù)變化進(jìn)行補(bǔ)償，提升系統(tǒng)的抗擾性能。

圖1 基于ADRC的永磁同步電機(jī)速度環(huán)控制框圖

2.1 擴(kuò)張狀態(tài)觀測(cè)器設(shè)計(jì)

將式子（3）中的永磁同步電機(jī)動(dòng)力學(xué)方程變形成如式子（4）所示。其中a(t)為系統(tǒng)的干擾項(xiàng)，包含了負(fù)載轉(zhuǎn)矩以及摩擦力等非線性特性。

將系統(tǒng)擴(kuò)展成二階，并根據(jù)系統(tǒng)模型設(shè)計(jì)擴(kuò)展觀測(cè)器，如下公式（5）所示。

其中b為：

當(dāng)t→∞時(shí)，擴(kuò)展?fàn)顟B(tài)觀測(cè)器的擴(kuò)展?fàn)顟B(tài)z2收斂于如下式所示：

根據(jù)式子（5）所示，擴(kuò)展?fàn)顟B(tài)觀測(cè)器的輸入值為轉(zhuǎn)速n*和q，輸出值通過狀態(tài)反饋到電流環(huán)的輸入端。

永磁同步電機(jī)的電流環(huán)傳遞函數(shù)表達(dá)式等效為式（8）所示。

引入擴(kuò)張狀態(tài)觀測(cè)器后，電流環(huán)的控制器輸入將滿足如下關(guān)系是：

電流環(huán)的頻帶寬度遠(yuǎn)大于機(jī)械環(huán)節(jié)的頻帶寬度。因此在機(jī)械環(huán)節(jié)的頻帶寬度內(nèi)，可將電流環(huán)等效為低通濾波器并視為為直通環(huán)節(jié) 結(jié)合式（4）、（8）和（9）表達(dá)式，實(shí)現(xiàn)對(duì)擾動(dòng)量進(jìn)行全補(bǔ)償，速度環(huán)的被控對(duì)象可以簡(jiǎn)化為一階積分環(huán)節(jié)，有助于系統(tǒng)的設(shè)計(jì)，提高系統(tǒng)的穩(wěn)定性以及抗擾性能。

使用后向差分方法對(duì)轉(zhuǎn)速環(huán)擴(kuò)張狀態(tài)觀測(cè)器進(jìn)行離散化，有利于在計(jì)算機(jī)系統(tǒng)上實(shí)現(xiàn)。其中h為系統(tǒng)的離散化步長(zhǎng)。

對(duì)公式（5）進(jìn)行拉普拉斯變換，并使β1=2ω0，可得式（12）。

將擴(kuò)展?fàn)顟B(tài)觀測(cè)器同控制系統(tǒng)結(jié)合后，根據(jù)公式（12）和圖2的結(jié)構(gòu)，系統(tǒng)傳遞函數(shù)模型如圖3所示。其中a(s)為擾動(dòng)量傳遞函數(shù)表達(dá)式。

圖2 加入擴(kuò)張狀態(tài)觀測(cè)器的轉(zhuǎn)速環(huán)控制結(jié)構(gòu)圖

圖3 加入擴(kuò)張狀態(tài)觀測(cè)器后的擾動(dòng)模型

根據(jù)系統(tǒng)框圖，可得擾動(dòng)量通道的傳遞函數(shù)表達(dá)式為：

當(dāng)擾動(dòng)信號(hào)為階躍信號(hào)時(shí)，式（13）的總擾動(dòng)量將接近0，如式（14）所示。

當(dāng)擾動(dòng)信號(hào)為斜坡信號(hào)時(shí)，系統(tǒng)的總擾動(dòng)量將存在一個(gè)靜態(tài)的誤差值。

不引入擴(kuò)展?fàn)顟B(tài)觀測(cè)器時(shí)，系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差為：

將擴(kuò)張狀態(tài)觀測(cè)器設(shè)計(jì)成二階共零點(diǎn)的形式，將保證系統(tǒng)的快速性和穩(wěn)定性。并能夠?qū)τ陔A躍信號(hào)擾動(dòng)保持無靜差跟蹤。根據(jù)以上設(shè)計(jì)，提升了系統(tǒng)的抗擾動(dòng)性能。

2.2 控制器設(shè)計(jì)

根據(jù)“分離原理”，速度環(huán)控制器和擴(kuò)展觀測(cè)器單獨(dú)設(shè)計(jì)，就能夠滿足系統(tǒng)的穩(wěn)定性需求，不存在相互耦合的關(guān)系。

（1）線性狀態(tài)反饋控制律

將電流環(huán)等效成一階慣性環(huán)節(jié)，控制環(huán)路結(jié)構(gòu)簡(jiǎn)圖如圖4所示。

圖4 轉(zhuǎn)速環(huán)控制結(jié)構(gòu)簡(jiǎn)圖

其中反饋回路上的濾波器為：

式中：

Tfn—轉(zhuǎn)速反饋環(huán)路等效延時(shí)。

將永磁同步電機(jī)的速度環(huán)為二階系統(tǒng)，將其控制器設(shè)計(jì)為典II型。在設(shè)計(jì)速度環(huán)控制器過程中，將系統(tǒng)等效成單位反饋，把控制系統(tǒng)的濾波器提入到前向通道中，如圖5所示。將電流環(huán)等效閉環(huán)傳遞函數(shù)同低通濾波器環(huán)節(jié)合并，合并后的時(shí)間常數(shù)為：

圖5 轉(zhuǎn)速環(huán)控制框圖等效變換

速度環(huán)控制器的線性反饋率的傳遞函數(shù)如下式所示：

式中：

Kn—比例系數(shù)；

τn為積分時(shí)間常數(shù)。

因圖5的中開環(huán)傳遞函數(shù)表達(dá)式為：

從公式（18）、（19）、（20）中對(duì)比可知，基于線性狀態(tài)反饋控制率的速度環(huán)參數(shù)如式（22）、（23）所示：

2.3 TD跟蹤微分器

引入前饋系統(tǒng)，可以提升系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)響應(yīng)性能，拓寬頻帶寬度。根據(jù)圖4控制系統(tǒng)框圖，系統(tǒng)前饋表達(dá)式如公式（24）所示：

上式（24）是無法通過物理實(shí)現(xiàn)分子的階次高于分母的控制系統(tǒng)。雖然可以通過引入三階小慣性環(huán)節(jié)，讓系統(tǒng)變?yōu)榭蓪?shí)現(xiàn)系統(tǒng)，但是引入速度的三階導(dǎo)數(shù)將帶來大量的高頻干擾，影響系統(tǒng)控制精度，增加系統(tǒng)的損耗。通過忽略高次項(xiàng)，引入一個(gè)可調(diào)系數(shù)kff，增加系統(tǒng)的可靠性和穩(wěn)定性，可以控制系統(tǒng)的系統(tǒng)簡(jiǎn)化為：

當(dāng)系統(tǒng)存在模型不準(zhǔn)確時(shí)，可以通過可調(diào)系數(shù)kff使得控制器達(dá)到最佳的控制效果，實(shí)現(xiàn)系統(tǒng)的部分動(dòng)態(tài)補(bǔ)償。

系統(tǒng)模型中存在微分項(xiàng)目，使用跟蹤微分器（TD）代替微分項(xiàng)，更加快速跟蹤微分信號(hào)，減少相位滯后，提升噪聲抑制能力。

2.4 總結(jié)

速度環(huán)控制器的結(jié)構(gòu)如圖6所示，使用ADRC的控制器，提升系統(tǒng)的快速性。

圖6 轉(zhuǎn)速環(huán)控制結(jié)構(gòu)框圖

3 基于擴(kuò)展?fàn)顟B(tài)觀測(cè)器的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量辨識(shí)

永磁同步電機(jī)的速度環(huán)控制器設(shè)計(jì)過程中，都包含轉(zhuǎn)動(dòng)慣量參數(shù)。在實(shí)際應(yīng)用過程中，不同的負(fù)載將引起轉(zhuǎn)動(dòng)慣量變化，進(jìn)而導(dǎo)致控制對(duì)象的變化。引起系統(tǒng)的控制性能下降等。考慮轉(zhuǎn)動(dòng)慣量的變化量?J，對(duì)公式（3）和公式（7）進(jìn)行重寫，

根據(jù)式（24）、（25）可知，給定一個(gè)轉(zhuǎn)動(dòng)慣量的初值Jint，并使負(fù)載轉(zhuǎn)矩TL=0，線性擴(kuò)展?fàn)顟B(tài)觀測(cè)器輸出值，將包含轉(zhuǎn)動(dòng)慣量變化值。

通過輸入給定的三角波信號(hào)源，系統(tǒng)的擴(kuò)張狀態(tài)觀測(cè)器z2的輸出如式（27）所示，輸出值和轉(zhuǎn)速存在一定的關(guān)系。在實(shí)際工程中，電機(jī)的摩擦系數(shù)相對(duì)較小。因此摩擦力等非線性力矩，可以忽略不計(jì)。對(duì)半個(gè)周期內(nèi)的z2進(jìn)行積分并計(jì)算平均值，如式（28）、（29）所示：

將式（28）和式（29）作差，可得：

在給定的三角波信號(hào)源中dn*dt的斜率是已知量，對(duì)式（30）進(jìn)行求解，可得：

4 仿真與分析

本文所使用的永磁同步電機(jī)的參數(shù)如表1所示。

表1 電機(jī)參數(shù)

根據(jù)電機(jī)參數(shù)，設(shè)計(jì)電機(jī)的轉(zhuǎn)速環(huán)以及擴(kuò)展?fàn)顟B(tài)觀測(cè)器的參數(shù)。并基于此，搭建系統(tǒng)的仿真框圖，如圖7所示。

圖7 轉(zhuǎn)速環(huán)傳遞函數(shù)仿真模型

仿真結(jié)果如圖8所示，使用傳統(tǒng)PI控制器，在相同的上升時(shí)間，基于自抗擾控制器的速度環(huán)控制器性能優(yōu)于PI控制器，具有更小的超調(diào)量，更強(qiáng)的抗擾動(dòng)性能。

圖8 速度環(huán)性能仿真對(duì)比圖

實(shí)驗(yàn)電機(jī)，加入對(duì)拖電機(jī)后，轉(zhuǎn)動(dòng)慣量將發(fā)生變化。在仿真系統(tǒng)中，加入轉(zhuǎn)動(dòng)慣量變化量，輸入轉(zhuǎn)速激勵(lì)信號(hào)，擴(kuò)展?fàn)顟B(tài)觀測(cè)器的輸出波形如同圖9（b）所示。最終轉(zhuǎn)動(dòng)慣量收斂于有真實(shí)值。

圖9 轉(zhuǎn)動(dòng)慣量辨識(shí)仿真波形圖

5 實(shí)驗(yàn)

本文所使用的實(shí)驗(yàn)平臺(tái)如圖10所示。該實(shí)驗(yàn)平臺(tái)包含永磁同步電機(jī)及其控制系統(tǒng)以及簡(jiǎn)易的對(duì)拖平臺(tái)，被拖動(dòng)電機(jī)為安川400 W電機(jī)及其驅(qū)動(dòng)器，并使用自研的開發(fā)的上位機(jī)獲取實(shí)驗(yàn)波形圖。

圖10 永磁同步電機(jī)控制系統(tǒng)實(shí)驗(yàn)平臺(tái)

實(shí)驗(yàn)平臺(tái)上，速度環(huán)的慣量包含了實(shí)驗(yàn)電機(jī)、聯(lián)軸器以及對(duì)拖電機(jī)的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量。速度環(huán)控制器設(shè)計(jì)時(shí)，需要考慮以上全部慣量值。因此，使用本文提出的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量辨識(shí)方法，實(shí)驗(yàn)波形如圖11所示。

圖11 轉(zhuǎn)動(dòng)慣量辨識(shí)實(shí)驗(yàn)波形圖

傳統(tǒng)PI控制器的實(shí)驗(yàn)結(jié)果如圖12（a）所示。啟動(dòng)過程中，系統(tǒng)存在超調(diào)量，并且恢復(fù)時(shí)間更長(zhǎng)。在突加負(fù)載實(shí)驗(yàn)時(shí)，PI控制器的最大調(diào)節(jié)量為3.14 %，轉(zhuǎn)矩變換的時(shí)間響應(yīng)為2.42 ms；自抗擾控制器的最大調(diào)節(jié)時(shí)間為2.23 %，轉(zhuǎn)矩變換的時(shí)間響應(yīng)為1.37 ms，控制系統(tǒng)有更強(qiáng)的抗擾性能。

圖12 速度環(huán)控制器實(shí)驗(yàn)波形圖

6 結(jié)論

本文從理論出發(fā)，通過分析自抗擾控制器的傳遞函數(shù)以及永磁同步電機(jī)速度環(huán)的數(shù)學(xué)模型，得到了永磁同步電機(jī)擴(kuò)張狀態(tài)觀測(cè)器、反饋控制律以及TD微分器的設(shè)計(jì)方法。通過仿真與實(shí)驗(yàn)，驗(yàn)證了設(shè)計(jì)方法的有效性和可靠性。通過對(duì)比驗(yàn)證，基于ADRC的永磁同步電機(jī)速度環(huán)控制器，具有更快的響應(yīng)性能，更強(qiáng)的抗擾動(dòng)性能。