鄭 軍

(湖北煤炭地質(zhì)物探測(cè)量隊(duì)，湖北 武漢 430200)

1 引 言

井間電磁波 CT(Electromagnetic Computed Tomography)是20世紀(jì)80年代發(fā)展起來(lái)的地球物理探測(cè)技術(shù)[1]，以其抗干擾能力強(qiáng)，不受地形限制等優(yōu)勢(shì)，近年來(lái)在工程地質(zhì)勘察中得到了廣泛的應(yīng)用[2]，大量的工程實(shí)例表明，電磁波 CT 探測(cè)技術(shù)在工程地質(zhì)勘察中具有較好的應(yīng)用效果和應(yīng)用前景[3]。

圖像重建是井間電磁波 CT技術(shù)中最關(guān)鍵的步驟，其理論基礎(chǔ)為Radon 變換和 Radon 逆變換[4,5]，實(shí)質(zhì)是借助于介質(zhì)間的收發(fā)裝置采集數(shù)據(jù)，按照數(shù)學(xué)和物理關(guān)系反演介質(zhì)內(nèi)部物理量的分布，然后借助各種數(shù)據(jù)處理方法，最終以圖像形式呈現(xiàn)。圖像重建實(shí)現(xiàn)的過(guò)程可以歸結(jié)為求解一個(gè)大型的、稀疏的、常常是病態(tài)的線性方程組[6]，比較常用的方法是迭代算法，包括：代數(shù)重建法(Algebraic Reconstruction Technique, ART)，聯(lián)合迭代法(Simultaneous Iterative Reconstruction Technique, SIRT)，正交分解最小二乘算法(Least Square QR Decomposition,LSQR)等[7]，以上這些方法均需要首先從初始模型開(kāi)始，因此初始模型關(guān)系到反演的效率甚至成像的正確性。

通過(guò)收集資料來(lái)看，有關(guān)電磁波CT的理論研究多集中于各種反演算法的研究，對(duì)初始模型的研究很少，陳國(guó)金等[8]對(duì)井間地震層析成像中自動(dòng)生成初始速度模型的方法進(jìn)行了研究，提出了一種自動(dòng)求取層析成像初始速度模型的方法；段心標(biāo)等[9]對(duì)井間地震層析成像初始速度模型研究，提出了一種生成模型網(wǎng)格節(jié)點(diǎn)初始速度方法，均為地震層析成像中初始模型的相關(guān)研究[10]。參照地震層析成像中初始模型的給定方法，本文嘗試以溶洞模型為例分別利用平均值法、水平測(cè)線值法以及BPT反投影法給出電磁波CT層析成像初始模型，通過(guò)層析成像將基于三種初始模型的反演結(jié)果進(jìn)行對(duì)比，之后結(jié)合工程應(yīng)用實(shí)測(cè)數(shù)據(jù)，驗(yàn)證實(shí)際成像結(jié)果與模擬成果的一致性，為今后層析成像的結(jié)果解釋和判斷提供借鑒和依據(jù)[11]。

2 電磁波CT成像原理

井間電磁波 CT 成像的基本思想，是在利用高頻電磁波穿透兩孔間介質(zhì)得到的投影數(shù)據(jù)，通過(guò)反演方法來(lái)精確地界定地下目標(biāo)體的吸收系數(shù)和電導(dǎo)率等屬性，最終得到兩個(gè)鉆孔之間的高分辨率地質(zhì)剖面圖像，由此來(lái)判斷地下目標(biāo)體的屬性[12]。直射線理論是目前電磁波CT成像中常用、實(shí)用的技術(shù)，本文將電磁波在地下介質(zhì)的傳播路徑看作是直射線。

根據(jù)電磁波理論，電磁波傳輸過(guò)程中，耗散介質(zhì)的初始場(chǎng)強(qiáng)E0(單位：V/m)與接收?qǐng)鰪?qiáng)E(單位：V/m)關(guān)系為[13]：

(1)

其中，α為介質(zhì)對(duì)電磁波吸收系數(shù)；r為收發(fā)點(diǎn)間距，單位為m；f(θ)為收發(fā)天線方向因子；θ為接收點(diǎn)處天線與電場(chǎng)方向夾角,單位為°;e為自然常數(shù)。

由上述理論，假設(shè)R是n條電磁波射線在m個(gè)網(wǎng)格單元中的射線元組成的m×n維矩陣；X是電磁波吸收系數(shù)組成的矩陣X=(α1，α2，α3，α4，…，αn)T；D為接收?qǐng)鰪?qiáng)的觀測(cè)值D=(d1,d2,d3,d4,…,dn)T；則所有觀測(cè)點(diǎn)的發(fā)射和接收之間得到的線性方程組可以寫成：RX=D；求解該線性方程組，就能夠得到井間介質(zhì)的吸收系數(shù)，進(jìn)而得到吸收系數(shù)的等值線衰減圖[16]。求解上述線型方程通常采用的方法為：首先給定吸收系數(shù)向量的初始值，求取系數(shù)矩陣，然后將吸收系數(shù)向量視為未知向量，其次用誤差很小的迭代反演算法求解該線性方程組的解，即新的吸收系數(shù)向量，求出新的吸收系數(shù)向量對(duì)應(yīng)的場(chǎng)強(qiáng)，根據(jù)此時(shí)的場(chǎng)強(qiáng)與已知的場(chǎng)強(qiáng)進(jìn)行比較，修正吸收系數(shù)向量，并將修正后的吸收系數(shù)向量作為新的初始值；重復(fù)以上的過(guò)程，直至場(chǎng)強(qiáng)達(dá)到足夠小，滿足要求為止[17]。

3 模擬分析

3.1 原始模型建立

利用 Matlab 軟件分別建立了包含溶洞的均勻介質(zhì)和層狀介質(zhì)模型，模型尺寸大小均設(shè)置為 20 m×30 m，兩個(gè)模型中均設(shè)置溶洞一處，整個(gè)模型剖面以1.0 m為單元網(wǎng)格進(jìn)行剖分，共生成20×30=600個(gè)網(wǎng)格。圖2(a)為均勻介質(zhì)模型，整個(gè)模型剖面電磁吸收系數(shù)相同，取吸收系數(shù)為0.1 Np/m，相當(dāng)于地下介質(zhì)為完整的灰?guī)r；溶洞設(shè)置為2 m×2 m正方形，中心與模型中心重合，取吸收系數(shù)為0.3 Np/m。圖2(b)為層狀介質(zhì)模型，模型給出了一個(gè)二層介質(zhì)模型，由上往下0～10 m，取吸收系數(shù)為0.3 Np/m，相當(dāng)于第四系黏土層；10～30 m取吸收系數(shù)為0.1 Np/m，相當(dāng)于地下為完整的灰?guī)r；溶洞設(shè)置在模型中心位置，設(shè)置為2 m×2 m正方形，取吸收系數(shù)為0.3 Np/m。

圖2 均勻介質(zhì)及二層介質(zhì)原始模型Fig.2 Original model of homogeneous medium and two-layer medium

3.2 初始模型設(shè)置

電磁波CT數(shù)據(jù)成像網(wǎng)格初始模型的設(shè)置常用的方法包括：平均值法、水平測(cè)線值法以及BPT(Back Projection Technique,BPT)反投影法。

平均值法是將模型剖面看做是一個(gè)均勻的背景場(chǎng)，給出一個(gè)固定的吸收系數(shù)值作為背景場(chǎng)值，該數(shù)值并非隨意給定，而是取模型中所有網(wǎng)格的算術(shù)平均值；通過(guò)計(jì)算，得到上述兩個(gè)原始模型的平均值分別為0.101 Np/m和0.201 Np/m，利用平均值法所得到初始模型如圖3(a)和圖3(d)所示。

水平測(cè)線值法是將水平射線經(jīng)過(guò)的每一個(gè)網(wǎng)格即每一行網(wǎng)格的吸收系數(shù)看做是相等的，其數(shù)值大小為該行所有網(wǎng)格的平均值，于是模型剖面在每個(gè)不同的深度均有一個(gè)相應(yīng)的吸收系數(shù)背景值，初始模型則為層狀模型。圖3(b)、圖3(e)為兩個(gè)原始模型的水平測(cè)線值初始模型。

BPT反投影法是電磁波CT反演基本算法之一，將每一個(gè)網(wǎng)格都看作是獨(dú)立的，網(wǎng)格內(nèi)的介質(zhì)看成是均勻的，把每條射線的貢獻(xiàn)平均分配給射線途經(jīng)的每個(gè)網(wǎng)格,然后對(duì)每個(gè)網(wǎng)格求通過(guò)其內(nèi)所有射線貢獻(xiàn)的加權(quán)平均值。BPT反投影法不需要迭代,其速度只相當(dāng)于其它迭代算法一次迭代所用的時(shí)間，但通過(guò)BPT 重建圖像邊界模糊，異常反映不清晰，通常將其重建的圖像作為其他反演方法的初始值。圖3(c)、圖3(f)為兩個(gè)原始模型的BPT反投影法初始模型。

圖3 初始模型設(shè)置Fig.3 Initial model settings

3.3 反演成像

使用常用的聯(lián)合迭代法(SIRT)對(duì)前述均勻介質(zhì)(圖2a)和二層介質(zhì)(圖2b)原始模型進(jìn)行反演成像，反演的初始模型分別采用平均值法、水平測(cè)線值法、BPT反投影法生成的初始吸收系數(shù)模型，為了便于對(duì)比不同的反演初始模型對(duì)成像效果的影響，其它反演參數(shù)設(shè)置均保持一致。

反演成像過(guò)程中，先進(jìn)行不同初始模型條件下反演誤差的統(tǒng)計(jì)分析，統(tǒng)一進(jìn)行300次迭代，圖4(a)為原始均勻介質(zhì)模型分別采用平均值法、水平測(cè)線值法、BPT反投影法生成的初始吸收系數(shù)模型進(jìn)行反演的迭代殘差曲線，由于模型較為簡(jiǎn)單，三種初始模型反演殘差整體差別不大，初期迭代殘差最高的為平均值法，迭代殘差0.078，其次為BPT反投影法，迭代殘差0.067，最小的為水平測(cè)線值法，迭代殘差0.06；經(jīng)過(guò)多次迭代最終迭代殘差均趨于一致，平均值法反演在迭代次數(shù)達(dá)到90次之后、水平測(cè)線值法反演在迭代次數(shù)達(dá)到10次之后，以及BPT反投影法反演在迭代次數(shù)達(dá)到60次之后，其迭代殘差均趨于穩(wěn)定的0.056，90次迭代之后三者誤差曲線基本重合。

圖4(b)為原始二層介質(zhì)模型采用相應(yīng)初始模型反演結(jié)果的誤差曲線，相對(duì)于均勻介質(zhì)模型，三種初始模型反演誤差整體略大，初期迭代殘差最高的仍為平均值法，迭代殘差2.106，其次為BPT反投影法，迭代殘差0.505，最小的仍然為水平測(cè)線值法，迭代殘差0.06；經(jīng)過(guò)多次迭代最終迭代殘差均仍然趨于一致，平均值法反演在迭代次數(shù)達(dá)到200次之后、水平測(cè)線值法反演在迭代次數(shù)達(dá)到30次之后，以及BPT反投影法反演在迭代次數(shù)達(dá)到150次之后，其迭代殘差均趨于穩(wěn)定的0.043，200次迭代之后三者誤差曲線基本重合。

可以看出，采用不同初始模型在多次迭代后均能夠得到收斂的反演結(jié)果，不同之處在于其初期迭代殘差與收斂速度存在明顯的區(qū)別；平均值法初期迭代殘差最高，BPT反投影法次之，水平測(cè)線值法初期迭代殘差最低，在設(shè)定相同的收斂誤差閾值情況下，平均值法迭代次數(shù)最多，BPT反投影法次之，水平測(cè)線值法迭代次數(shù)最少，即收斂速度水平測(cè)線值法>BPT反投影法>平均值法。

圖4 不同初始模型迭代誤差曲線Fig.4 Iteration error curves of different initial models

3.4 成像效果對(duì)比

成像效果分析分兩種情況，一是根據(jù)上述反演誤差曲線，取三種模型反演誤差曲線重合時(shí)的迭代次，作為最終成像的迭代參數(shù)，將三種模型完成相同迭代次數(shù)的反演結(jié)果進(jìn)行對(duì)比；二是限定反演誤差的閾值，將每種模型反演后達(dá)到設(shè)定迭代殘差閾值的結(jié)果作為成像結(jié)果進(jìn)行對(duì)比。

由前節(jié)迭代殘差情況可以看出，原始均勻介質(zhì)模型情況下，不同初始模型在反演迭代90次之后誤差曲線基本重合且穩(wěn)定，原始二層介質(zhì)模型情況下，誤差曲線則在迭代200次之后基本重合且穩(wěn)定。圖5(a)、圖5(b)、圖5(c)為均勻介質(zhì)模型情況下，三種初始模型迭代90次成像結(jié)果。通過(guò)比對(duì)可以看出，反演誤差趨于穩(wěn)定的情況下，三者取相同迭代次數(shù)的成像結(jié)果整體形態(tài)一致，在縱向上均可以準(zhǔn)確地反應(yīng)出異常體的上下標(biāo)高，但在橫向和斜向上又都有不同程度的拉伸，與真實(shí)模型差別較大，相比之下水平測(cè)線值法在橫向上拉伸程度略大于平均值法和BPT反投影法。圖5(d)、圖5(e)、圖5(f)為二層介質(zhì)模型情況下，三種初始模型迭代200次的成像結(jié)果。通過(guò)對(duì)比，三種方法在對(duì)上下兩層不同介質(zhì)界限的反應(yīng)上準(zhǔn)確、一致，對(duì)異常體也有較好的反應(yīng)，水平方向上拉伸變形也較均勻介質(zhì)模型??；從成像細(xì)節(jié)來(lái)看，平均值法成像異常規(guī)模及強(qiáng)度略小于水平測(cè)線值法及BPT反投影法，水平測(cè)線值法成像異常在橫向上拉伸略大于平均值法和BPT反投影法。另外對(duì)比發(fā)現(xiàn)，成像結(jié)果吸收系數(shù)在數(shù)值上比真實(shí)模型偏低，但三種初始模型的成像結(jié)果又基本統(tǒng)一，因此數(shù)值強(qiáng)度上的偏差可能主要由反演算法造成，本文不進(jìn)行討論。

圖5 不同初始模型相同迭代次數(shù)成像結(jié)果Fig.5 Imaging results of different initial models with the same iteration times

同理根據(jù)前節(jié)中迭代殘差曲線，原始均勻介質(zhì)模型情況下，三種初始模型誤差曲線均趨于穩(wěn)定的0.056。原始二層介質(zhì)模型情況下，三種初始模型誤差曲線均趨于穩(wěn)定的0.044，因此分別設(shè)置原始均勻介質(zhì)模型反演誤差閾值為0.056，原始二層介質(zhì)模型反演誤差閾值為0.044。圖6(a)、圖6(b)、圖6(c)為均勻介質(zhì)模型情況下，迭代殘差達(dá)到0.056時(shí)三種初始模型成像結(jié)果。不考慮迭代次數(shù)，三者反演誤差達(dá)到同一閾值，縱向上均可以準(zhǔn)確反應(yīng)異常體的上下標(biāo)高，但在橫向和斜向上亦都有不同程度的拉伸，與真實(shí)模型相比，BPT反投影法變形最小，平均值法略大，水平測(cè)線值法變形最大。圖6(d)、圖6(e)、圖6(f)為二層介質(zhì)模型情況下，迭代殘差達(dá)到0.044時(shí)三種初始模型成像結(jié)果。通過(guò)對(duì)比，三種方法在對(duì)上下兩層不同介質(zhì)界限的反應(yīng)上準(zhǔn)確、一致，在對(duì)異常體的反應(yīng)上，平均值法與BPT反投影法基本一致，水平測(cè)線值法成像的異常體強(qiáng)度明顯變低。

綜合比較圖5與圖6，平均值法和水平測(cè)線值法在迭代殘差穩(wěn)定的情況下各自成像結(jié)果之間仍有較大的差別，高迭代次數(shù)的結(jié)果要優(yōu)于低迭代次數(shù)的結(jié)果，而B(niǎo)PT反投影法基本保持一致，因此反演過(guò)程中平均值法和水平測(cè)線值法以高迭代次數(shù)作為約束條件的成像結(jié)果可能優(yōu)于以迭代殘差閾值作為約束條件的成像結(jié)果，但過(guò)高的迭代次數(shù)往往會(huì)產(chǎn)生結(jié)果的局部畸變，BPT反投影法不論采用迭代次數(shù)或者殘差閾值做為約束條件均可取得較好的效果。

圖6 不同初始模型相同迭代殘差成像結(jié)果Fig.6 Imaging results of different initial models with the same iteration error

3.5 綜合分析

綜合以上兩種情況，在反演迭代殘差收斂的情況下，取相同的迭代次數(shù)，三種初始模型成像之間差別不大，細(xì)節(jié)上BPT反投影法略好于其它兩種；由于三種初始模型收斂速度不同，平均值法收斂最慢，當(dāng)平均值法迭代殘差穩(wěn)定時(shí)水平測(cè)線值值法及BPT反投影法迭代殘差早已收斂，因此水平測(cè)線值法及BPT反投影法成像時(shí)如何確定合適的迭代次數(shù)是比較困難的。實(shí)際應(yīng)用中，往往取固定的迭代殘差閾值或誤差變化率值作為反演終止的條件，通過(guò)上述試驗(yàn)可知以相同的迭代殘差閾值作為約束條件時(shí)，三種初始模型成像之間差別較大，從成像效果來(lái)看BPT反投影法明顯優(yōu)于其它兩種。

4 應(yīng)用實(shí)例

通過(guò)以上模擬分析，對(duì)比了三種初始模型對(duì)電磁波CT反演成像效果的影響，接下來(lái)選擇某巖溶勘查項(xiàng)目中一對(duì)電磁波CT鉆孔來(lái)說(shuō)明實(shí)際應(yīng)用中的效果。

圖7 實(shí)測(cè)電磁波CT反演斷面Fig.7 CT inversion section of measured electromagnetic wave

該項(xiàng)目場(chǎng)區(qū)內(nèi)地層主要有素填土、紅黏土和灰?guī)r，素填土厚度0.4～3.8 m，平均值2.3 m。紅黏土層厚度為4.5～21.5 m，平均厚度13.8 m，地下水豐富，灰?guī)r上部區(qū)域裂隙比較發(fā)育且裂隙之間彼此連通，裂隙中含有豐富的裂隙水，下部灰?guī)r中有溶洞存在。

使用的設(shè)備為湖南奧成科技有限公司研發(fā)的HX-JDT-02B型井下無(wú)線電波透視儀[18,19]，采用掃頻4～8 MHz 進(jìn)行測(cè)量，選用4 MHz 頻率采集數(shù)據(jù)進(jìn)行處理。通過(guò)多次迭代，發(fā)現(xiàn)實(shí)測(cè)數(shù)據(jù)反演迭代殘差約在0.500附近收斂，因此設(shè)置反演迭代殘差閾值為0.500，成像結(jié)果如圖7所示；圖中淺藍(lán)色豎線為地質(zhì)勘察鉆孔(一組三條豎線表示以該位置為中心，0.5 m為半徑的范圍內(nèi)施工三個(gè)鉆孔)，紅色閉合曲線為地質(zhì)勘察鉆孔揭露溶洞的位置；從圖中可以看出水平測(cè)線值法和BPT反投影法對(duì)異常的反應(yīng)較平均值法更加清晰，水平測(cè)線值法異常在橫向上存在拉伸變形現(xiàn)象，剖面下部?jī)蓚?cè)兩個(gè)異常，在圖7(b)中則反應(yīng)為一個(gè)水平條帶異常。總體來(lái)看，BPT反投影法成像效果優(yōu)于水平測(cè)線值法，水平測(cè)線值法優(yōu)于平均值法，與模擬分析結(jié)果一致。

5 結(jié) 論

1)電磁波CT成像采用不同形態(tài)的初始模型，經(jīng)過(guò)多次反演迭代都能重現(xiàn)異常體的位置與形態(tài)，細(xì)節(jié)上存在差異。

2)水平測(cè)線值法和BPT反投影法初始模型成像結(jié)果對(duì)異常的反應(yīng)較平均值法更加清晰，水平測(cè)線值法初始模型成像結(jié)果在橫向上存在拉伸變形現(xiàn)象?？傮w來(lái)看，BPT反投影法成像效果優(yōu)于水平測(cè)線值法，水平測(cè)線值法優(yōu)于平均值法。

3)推薦實(shí)際電磁波CT反演過(guò)程中優(yōu)先以迭代殘差閾值或誤差變化率值作為反演終止的條件，選用BPT反投影法初始模型可以取得較好的成像效果。