黨愛然，欒秀春，孫賀濤，王俊玲，周 杰，楊志達(dá)

(1. 哈爾濱工程大學(xué)黑龍江省核動(dòng)力裝置性能與設(shè)備重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，哈爾濱 150001；2.哈爾濱工程大學(xué)核安全與先進(jìn)核能技術(shù)工信部重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，哈爾濱 150001；3.哈爾濱工程大學(xué)核安全與仿真技術(shù)國防重點(diǎn)學(xué)科實(shí)驗(yàn)室，哈爾濱 150001)

0 引言

分布參數(shù)系統(tǒng)是一種由偏微分方程、泛函微分方程及偏微分-積分方程等多種形式組成的系統(tǒng)，在物理學(xué)中，很多現(xiàn)象都是用偏微分方程來描述的，這些現(xiàn)象的控制問題也具有很強(qiáng)的現(xiàn)實(shí)背景。分布參數(shù)系統(tǒng)廣泛應(yīng)用于熱工、導(dǎo)彈、航空及核裂變等工程系統(tǒng)，并且分布參數(shù)系統(tǒng)的穩(wěn)定性對(duì)于設(shè)計(jì)控制器也起到至關(guān)重要的影響。另一方面，由于非線性問題在實(shí)際工程中普遍存在，國際上對(duì)非線性系統(tǒng)的控制設(shè)計(jì)問題進(jìn)行了大量的探討。其中，模糊控制技術(shù)，尤其是Takagi-Sugeno(T-S)模糊控制技術(shù)在非線性系統(tǒng)的分析和解決綜合問題時(shí)得到了廣泛應(yīng)用，因?yàn)檫@種控制技術(shù)具有同時(shí)兼顧模糊邏輯理論和線性系統(tǒng)理論的優(yōu)點(diǎn)。

在國際上，有關(guān)非線性分布參數(shù)系統(tǒng)的穩(wěn)定性分析和控制器設(shè)計(jì)方面成果頗豐，可是已有的一些方法在某些情況下仍然存在問題,有待進(jìn)一步改進(jìn)與創(chuàng)新。采用T-S模糊模型描述非線性分布參數(shù)系統(tǒng)，并以此為基礎(chǔ)設(shè)計(jì)P-sD狀態(tài)控制器是一種較為新穎的設(shè)計(jì)方式，此種方式既有較強(qiáng)的創(chuàng)新性，又能同時(shí)兼顧系統(tǒng)的穩(wěn)定性，在實(shí)際設(shè)計(jì)中有著較強(qiáng)的實(shí)際意義。

分布參數(shù)系統(tǒng)的穩(wěn)定性對(duì)于設(shè)計(jì)控制器非常重要，各國學(xué)者在此方面做了很多研究。文獻(xiàn)[1]研究了非線性分布參數(shù)系統(tǒng)在平衡狀態(tài)時(shí)的局部指數(shù)穩(wěn)定；文獻(xiàn)[2]針對(duì)具有特定邊界條件的非線性分布參數(shù)系統(tǒng)的穩(wěn)定性進(jìn)行了證明；文獻(xiàn)[3]對(duì)分布參數(shù)系統(tǒng)設(shè)計(jì)了反饋控制器，并驗(yàn)證了引入控制器后整個(gè)系統(tǒng)的穩(wěn)定性；文獻(xiàn)[4]不僅證明了分布參數(shù)系統(tǒng)的穩(wěn)定性，同時(shí)證明了分布參數(shù)系統(tǒng)的能控能觀性；文獻(xiàn)[5]基于魯棒性，針對(duì)非線性分布參數(shù)系統(tǒng)設(shè)計(jì)了觀測器；文獻(xiàn)[6]研究了非線性分布系統(tǒng)的漸進(jìn)穩(wěn)定性和同步性，提出了一個(gè)新分布引理，并給定了幾個(gè)充分條件和數(shù)值算例，以證明該分布模型的漸進(jìn)穩(wěn)定性和同步性。在文獻(xiàn)[7-9]中均提出了將分布參數(shù)系統(tǒng)視為無窮維系統(tǒng)的思想，即將算子與狀態(tài)函數(shù)視為無窮維矩陣與向量，文獻(xiàn)[10]還依據(jù)這樣的思想來證明分布參數(shù)系統(tǒng)的能控性與穩(wěn)定性。將分布參數(shù)系統(tǒng)視為無窮維系統(tǒng)的思想可以將分布參數(shù)系統(tǒng)與集中參數(shù)系統(tǒng)進(jìn)行類比，文獻(xiàn)[11]中采用Lyapunov方法來證明系統(tǒng)的穩(wěn)定性。

在系統(tǒng)穩(wěn)定性分析方面，降階建模是一種十分有效的手段，國內(nèi)外學(xué)者在降階建?；A(chǔ)上的研究與創(chuàng)新成果頗豐。在驗(yàn)證系統(tǒng)穩(wěn)定性方面，線性分布參數(shù)系統(tǒng)相比非線性分布參數(shù)系統(tǒng)更加容易驗(yàn)證，所以文獻(xiàn)[7-8]中提出了將非線性分布參數(shù)系統(tǒng)降階建模的理念。文獻(xiàn)[12]提出了一種新的低階時(shí)空最小二乘支持向量機(jī)方法對(duì)非線性分布新系統(tǒng)進(jìn)行建模，并提出了一種基于核空間的空間相關(guān)分析方法；文獻(xiàn)[13]針對(duì)具有馬爾可夫跳變執(zhí)行器故障的非線性分布參數(shù)系統(tǒng)的事件觸發(fā)有限時(shí)間可靠控制問題，提出了采用T-S模糊模型描述所考慮的非線性分布系統(tǒng)，采用一種新的事件觸發(fā)策略調(diào)節(jié)采樣數(shù)據(jù)的傳輸瞬間，并通過仿真研究驗(yàn)證了該方法有效性；文獻(xiàn)[14]利用采樣數(shù)據(jù)模糊控制方法，研究了一類非線性拋物型偏微分方程系統(tǒng)的指數(shù)穩(wěn)定問題，通過對(duì)擴(kuò)散方程和FHN方程的控制進(jìn)行仿真，驗(yàn)證了提出設(shè)計(jì)方法的有效性；文獻(xiàn)[15]提出了一種非線性度量方法，以量化分布系統(tǒng)的非線性嚴(yán)重程度；文獻(xiàn)[16]回顧、討論和比較了非線性測度的定義和計(jì)算方法，討論了混合系統(tǒng)和由耦合微分、積分和代數(shù)方程描述的非線性測度的擴(kuò)展。針對(duì)參數(shù)未知以及存在時(shí)滯的分布參數(shù)系統(tǒng)，通常采用參數(shù)辨識(shí)以及智能控制的方法進(jìn)行設(shè)計(jì)。文獻(xiàn)[17]提出了針對(duì)參數(shù)未知的分布參數(shù)系統(tǒng)進(jìn)行狀態(tài)估計(jì)；文獻(xiàn)[18]采用迭代學(xué)習(xí)控制，針對(duì)系統(tǒng)參數(shù)變化的分布參數(shù)系統(tǒng)進(jìn)行設(shè)計(jì)；文獻(xiàn)[19]采用學(xué)習(xí)算法解決非線性分布參數(shù)系統(tǒng)的跟蹤控制問題；文獻(xiàn)[20]在參數(shù)未知的非線性分布參數(shù)系統(tǒng)中引入了神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的方法進(jìn)行控制；文獻(xiàn)[21]討論了分布參數(shù)系統(tǒng)中參數(shù)辨識(shí)的一般問題，提出了一種基于量子引導(dǎo)跟隨的變異策略優(yōu)化算法作為優(yōu)化策略；文獻(xiàn)[22]研究了具有時(shí)滯的分布參數(shù)模型多智能體系統(tǒng)的一致性控制問題，提出了一種分布式P型迭代學(xué)習(xí)控制方法；文獻(xiàn)[23]研究了線性不穩(wěn)定分布參數(shù)系統(tǒng)的異常時(shí)空源檢測與估計(jì)問題，基于空間域分解方法進(jìn)行理論分析，并設(shè)計(jì)了相應(yīng)的自適應(yīng)控制；文獻(xiàn)[24]研究了參數(shù)未知并且不確定分布的分布參數(shù)系統(tǒng)的跟蹤控制問題；文獻(xiàn)[25]針對(duì)非線性分布參數(shù)系統(tǒng)設(shè)計(jì)了魯棒神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)自適應(yīng)控制器，采用智能控制方法中的神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)，既滿足了非線性分布參數(shù)系統(tǒng)的穩(wěn)定性，又實(shí)現(xiàn)了參數(shù)不確定系統(tǒng)的自適應(yīng)控制；文獻(xiàn)[26]提出了當(dāng)分布參數(shù)系統(tǒng)中輸入是有限維的情況下，模糊控制仍然可以實(shí)現(xiàn)設(shè)計(jì)要求。

分布參數(shù)系統(tǒng)建模廣泛應(yīng)用于各類工程系統(tǒng)的設(shè)計(jì)與分析中。在現(xiàn)實(shí)的工程問題當(dāng)中，分布參數(shù)系統(tǒng)十分普遍，在涉及傳熱以及振動(dòng)等現(xiàn)象時(shí)，往往采用分布參數(shù)系統(tǒng)進(jìn)行建模。因此，證明系統(tǒng)的穩(wěn)定性和面臨非線性以及參數(shù)未知等情況下的降階建模及設(shè)計(jì)相應(yīng)的控制器是十分重要的。文獻(xiàn)[27]就核電站中蒸汽發(fā)生器的傳熱過程進(jìn)行了分布參數(shù)建模，并以此為基礎(chǔ)設(shè)計(jì)了符合需求的控制器；文獻(xiàn)[28]就太陽能發(fā)電以及發(fā)熱系統(tǒng)進(jìn)行了分布參數(shù)系統(tǒng)建模，并對(duì)其中環(huán)節(jié)進(jìn)行了參數(shù)調(diào)節(jié)方式的分析，以從中尋求降低成本與提高效率的方法。

本文從分布參數(shù)系統(tǒng)的穩(wěn)定性著手，將非線性分布參數(shù)系統(tǒng)中的非線性項(xiàng)用T-S模糊方法建模，并根據(jù)此模型設(shè)計(jì)狀態(tài)反饋控制。由于分布參數(shù)系統(tǒng)中存在空間一階微分項(xiàng)與二階微分項(xiàng)，在運(yùn)用Lyapu-nov方法證明穩(wěn)定性的過程中，Lyapunov函數(shù)的微分中將出現(xiàn)常數(shù)項(xiàng)與積分項(xiàng)。針對(duì)積分項(xiàng)，采用狀態(tài)反饋的方法進(jìn)行控制，根據(jù)配置空間極點(diǎn)函數(shù)來設(shè)計(jì)狀態(tài)反饋，非線性分布參數(shù)系統(tǒng)中的非線性項(xiàng)采用文獻(xiàn)[11]中的T-S模糊建模方法，以確保設(shè)計(jì)過程的順利進(jìn)行。T-S模糊建模將非線性項(xiàng)表達(dá)成在不同時(shí)刻線性項(xiàng)的組合形式，對(duì)分布參數(shù)系統(tǒng)的參數(shù)時(shí)空分離進(jìn)行了討論，在文獻(xiàn)[29]中，有時(shí)空分離的方法能夠提高建模精度的論述，在本文中引入的T-S模糊建模方法和原本的非線性分布參數(shù)系統(tǒng)是相同的。針對(duì)常數(shù)項(xiàng)，引入狀態(tài)變量的空間一階微分項(xiàng)，通過狀態(tài)變量的邊界條件進(jìn)行計(jì)算，以抵消Lyapunov函數(shù)的微分中的常數(shù)項(xiàng)，文獻(xiàn)[30]也提出了通過邊界條件實(shí)現(xiàn)控制分布參數(shù)系統(tǒng)。這樣引入狀態(tài)反饋以及狀態(tài)變量空間一階微分項(xiàng)的控制方法，在文獻(xiàn)[11]中被稱為P-sD狀態(tài)控制。與現(xiàn)有的P-sD狀態(tài)反饋相比，通過考慮邊界條件來消除影響，增強(qiáng)了極點(diǎn)配置對(duì)于性能的調(diào)節(jié)作用。

1 分布參數(shù)系統(tǒng)的穩(wěn)定性

對(duì)于線性分布參數(shù)系統(tǒng)系統(tǒng)

A(x)Y(x,t)+B(x)U(x,t)

(1)

采用Lyapunov直接法討論系統(tǒng)的穩(wěn)定性。式中，Y(x,t)=[y1(x,t)y2(x,t) …yn(x,t)]T，x∈[l1,l2]，y1…n(x,t)是閉區(qū)間[l1,l2]上的連續(xù)函數(shù)；Θ1(x)、Θ2(x)和A(x)是連續(xù)n×n矩陣函數(shù)；B(x)是連續(xù)n×1矩陣函數(shù)。

考慮Lyapunov函數(shù)

(2)

(3)

將式(1)代入式(3)中，得

B(x)U(x,t))dx

式中，積分項(xiàng)中分為四部分，其中包含空間二次微分項(xiàng)的第一部分采用分部積分法進(jìn)行處理

(4)

式中

(5)

(6)

將式(6)代入到式(4)中，得

(7)

包含空間一次偏導(dǎo)項(xiàng)的第二部分仍然采用分部積分法進(jìn)行處理

(8)

(9)

將式(7)與式(9)代入得

(10)

(a)

(b)

Y(x,t)dx

(c)

(d)

1)矩陣函數(shù)Θ1(x)為對(duì)稱矩陣，且Θ1(x)>0；

2)矩陣函數(shù)Θ2(x)為對(duì)稱矩陣；

3)矩陣函數(shù)P(x)=I(x)，在此處是為了簡便推導(dǎo)過程，其實(shí)矩陣函數(shù)P(x)為對(duì)稱矩陣，且P(x)>0，則接下來的推導(dǎo)過程也成立。在這里，即使將P(x)選取為對(duì)角矩陣也不會(huì)增強(qiáng)結(jié)論的保守性。

2 控制器設(shè)計(jì)

設(shè)計(jì)合適的控制器保證系統(tǒng)的穩(wěn)定性。根據(jù)式(10)中不同部分，采用對(duì)應(yīng)的方法設(shè)計(jì)控制器。

2.1 極點(diǎn)配置

U1(x,t)=K(x)Y(x,t)

式中，K(x)為1×n維連續(xù)矩陣函數(shù)。

通過調(diào)節(jié)矩陣函數(shù)K(x)，可以使F(x)+B(x)K(x)的特征函數(shù)λ(x)為指定的空間函數(shù)，滿足系統(tǒng)的穩(wěn)定性與符合性能要求。

2.2 P-sD狀態(tài)反饋

式(10)中可以根據(jù)邊界條件求出確切數(shù)值的部分，正負(fù)是不確定的。針對(duì)這部分采取的方法是在輸入中引入狀態(tài)變量的空間微分項(xiàng)，使這一部分的數(shù)值變?yōu)?，從而對(duì)整個(gè)系統(tǒng)的穩(wěn)定性沒有影響。

式中，L為1×n維實(shí)數(shù)矩陣，由此可得

在這里，B(x)L=LTBT(x)。所以

通過設(shè)計(jì)實(shí)數(shù)矩陣L，使

那么，引入設(shè)計(jì)好的控制器，輸入U(xiǎn)(x,t)為

這是一種設(shè)計(jì)P-sD狀態(tài)反饋控制的新思路。

3 T-S模糊模型

非線性分布參數(shù)系統(tǒng)中的非線性項(xiàng)表示為f(x,Y(x,t))，則非線性分布參數(shù)系統(tǒng)表示為

根據(jù)最大值與最小值，ξ(x,t)可以表達(dá)為

ξ(x,t)=h1(ξ(x,t))m1+h2(ξ(x,t))m2

式中，h1(ξ(x,t))，h2(ξ(x,t))∈[0,1]，且h1(ξ(x,t))+h2(ξ(x,t))=1。

隸屬度函數(shù)如圖1所示。定義模糊集為“大”與“小”，那么非線性分布參數(shù)系統(tǒng)由如下規(guī)則的T-S模糊模型描述：

如果ξ(x,t)屬于“小”，則

A(x)Y(x,t)+m1Y(x,t)+B(x)U(x,t)

如果ξ(x,t)屬于“大”，則

A(x)Y(x,t)+m2Y(x,t)+B(x)U(x,t)

那么，非線性分布參數(shù)系統(tǒng)表示為

圖1 隸屬度函數(shù)Fig.1 Membership function

4 系統(tǒng)仿真結(jié)果及分析

對(duì)如下具有兩個(gè)不同邊界條件的具體的非線性分布參數(shù)系統(tǒng)設(shè)計(jì)控制器并進(jìn)行仿真。控制器設(shè)計(jì)步驟為:

4.1 具有第一類邊界條件非線性分布參數(shù)系統(tǒng)

受約束與一類邊界條件，x∈[0,π]，t≥0，y1(0,t)=0，y1(π,t)=1，y2(0,t)=0，y2(π,t)=1，初始條件，y1(x,t0)=sin(0.5x)，y2(x,t0)=sin(0.5x)。

模糊T-S模型為

由此可以計(jì)算

設(shè)置極點(diǎn)為-1±i，則

y1(x,t))mi)-1]

此時(shí)

令y1(x,t∞)=x/π，仿真結(jié)果如圖2所示。

圖2 y1(x,t)演化圖形Fig.2 Evolution diagram of y1(x,t)

4.2 具有第二類邊界條件非線性分布參數(shù)系統(tǒng)

根據(jù)此方法設(shè)計(jì)狀態(tài)變量具有二類邊界條件的分布參數(shù)系統(tǒng)

該系統(tǒng)模糊T-S模型為

根據(jù)式(10)，該系統(tǒng)是不穩(wěn)定的，無控制器時(shí)，y1(x,t)的變化如圖3所示。為滿足系統(tǒng)的穩(wěn)定性，按步驟設(shè)計(jì)控制器為

圖3 無控制器y1(x,t)演化圖形Fig.3 y1(x,t) evolution diagram without controller

引入控制器后，y1(x,t)的變化如圖4所示。

圖4 引入控制器后y1(x,t)演化圖形Fig.4 y1(x,t) evolution diagram with controller

4.3 非線性分布參數(shù)系統(tǒng)實(shí)例與方針

在核反應(yīng)堆領(lǐng)域中，與反應(yīng)堆功率相關(guān)的中子擴(kuò)散方程如下

邊界條件為z∈[0,1]；t≥0；Nr(0,t)=0；Nr(1,t)=0。采用Lyapunov方法判斷該系統(tǒng)的穩(wěn)定性

Nr(z,t))+f(Nr)ρr(z,t))+

Cr(z,t)(λ(Nr(z,t)-Cr(z,t)))+

ρr(z,t)(GVr(z,t))dt

經(jīng)整理推導(dǎo)

ρr(z,t)(GVr(z,t))dt

此時(shí)系統(tǒng)的穩(wěn)定性是無法確定的，為保證系統(tǒng)穩(wěn)定，設(shè)置期望極點(diǎn)為[-1+i-1-i-300]，設(shè)計(jì)控制器為

Vr(z,t)=

令反應(yīng)堆功率階躍提高10%的仿真結(jié)果如圖5和圖6所示。

圖5 加入極點(diǎn)配置后功率演化圖形Fig.5 Relative power evolution after adding pole assignment

圖6 未加入極點(diǎn)配置功率演化圖形Fig.6 Relative power evolution without adding pole assignment

通過對(duì)比加入節(jié)點(diǎn)配置前后的反應(yīng)堆相對(duì)功率演化圖形可以看出，加入極點(diǎn)配置后的堆內(nèi)相對(duì)功率分布響應(yīng)快速，而未加入極點(diǎn)配置的堆內(nèi)相對(duì)功率超調(diào)過大。

5 結(jié)論

分析Lyapunov函數(shù)時(shí)間微分項(xiàng)，并以此根據(jù)極點(diǎn)配置的方法設(shè)計(jì)狀態(tài)反饋，其中對(duì)于極點(diǎn)配置無指導(dǎo)作用的部分有兩項(xiàng)，分別為常數(shù)項(xiàng)以及分布參數(shù)系統(tǒng)中的非線性項(xiàng)。針對(duì)常數(shù)項(xiàng)的處理方法為引入狀態(tài)變量的空間一次微分項(xiàng)進(jìn)行抵消；針對(duì)分布參數(shù)系統(tǒng)中的非線性項(xiàng)采用T-S模糊模型進(jìn)行表達(dá)。根據(jù)此思路設(shè)計(jì)的P-sD狀態(tài)控制器應(yīng)用于兩個(gè)非線性分布參數(shù)系統(tǒng)數(shù)學(xué)模型的仿真結(jié)果可以得到如下結(jié)論：

1)P-sD狀態(tài)控制器可以使分布參數(shù)系統(tǒng)穩(wěn)定；

2)采用T-S模糊模型可以精確描述非線性分布參數(shù)系統(tǒng)。

此控制器設(shè)計(jì)方法就是基于Lyapunov穩(wěn)定性推導(dǎo)而來，那么設(shè)計(jì)的控制器一定可以保證分布參數(shù)系統(tǒng)的穩(wěn)定，對(duì)于非穩(wěn)定的分布參數(shù)系統(tǒng)，該控制器表現(xiàn)出良好的性能。在仿真過程中，當(dāng)隸屬度函數(shù)如圖1所示時(shí)，非線性模糊T-S模型與原非線性分布參數(shù)系統(tǒng)在任何狀態(tài)都是相同的。因此，以非線性模糊T-S模型為參考設(shè)計(jì)的P-sD狀態(tài)控制應(yīng)用于原非線性分布參數(shù)系統(tǒng)不會(huì)帶來模型化簡所引起的偏差。