朱芳甫，陳亮亮，蔣科堅

(1.浙江理工大學 信息學院，浙江 杭州 310018； 2.南昌航空大學 信息工程學院，江西 南昌 330063)

20世紀90年代，作為軸承高端技術，磁懸浮軸承研究逐步興起。與傳統(tǒng)軸承相比，磁懸浮軸承具有無摩擦、無需潤滑、轉速高、損耗小、轉子振動主動控制等技術優(yōu)勢，受到越來越多的關注，逐漸在工業(yè)應用中嶄露頭角。目前，磁懸浮軸承在飛輪儲能、大型空壓機、分子泵、航天器定位陀螺等領域有較多成功應用的實例，具有良好的推廣潛力。本文的關注點在于提升電磁軸承磁極驅動的可靠性問題。傳統(tǒng)8極定子結構的電磁軸承運行時需要驅動8路磁極控制回路同時工作，只要其中任一路磁極回路故障，轉子懸浮將會失控。針對電磁軸承的磁極驅動可靠性問題，文獻[1]提出了一種新的電磁作動器故障診斷算法。該研究通過理論分析負載電流在調制過程中的變化特性，將負載電流的等效斜率定義為故障診斷閾值。文獻[2]提出了一種具有較強容錯能力的9極徑向混合磁懸浮軸承，以提高混合磁懸浮軸承的可靠性。文獻[3]在基本拓撲的基礎上，提出了兩種新型磁力軸承驅動拓撲修正方法，并能保持磁懸浮。文獻[4]通過對磁路的分析和力不變性原理的分析，解決了控制電流與一路或相應功率放大器系統(tǒng)故障的關系，得到了故障情況下電流補償模式。文獻[5]針對五自由度磁懸浮軸承系統(tǒng)，提出了一種帶容錯支路的五相六橋臂開關功率放大器，增加了一個容錯橋臂來實現(xiàn)容錯操作。文獻[6]提出了一種傳感器容錯控制方法，利用專門設計的小波濾波器對傳感器故障進行檢測，并在故障發(fā)生后利用自檢測技術保持系統(tǒng)的穩(wěn)定性。文獻[7]提出一種有串聯(lián)繞組拓撲結構的容錯變流器，在保證DC電壓利用率的同時，降低了相腳的電流應力，并實現(xiàn)容錯控制。文獻[8]提出了種容錯重構策略，并驗證了兩周重構方法的可行性。文獻[9]采用提出的電流控制技術避免了在一個機器扇區(qū)的開路繞組的情況下出現(xiàn)徑向力，并改進了徑向力容錯控制，以補償軸承故障或在這種開路繞組條件下的另一個徑向力源。文獻[10]提出了一種五級嵌套核電廠變流器的故障診斷和容錯解決方案。該研究針對故障診斷，提出了一種融合小波包變換和長短期記憶的深度學習方法，并通過仿真和實驗驗證了容錯策略的有效性。文獻[11]利用同步鎮(zhèn)定理論設計了一種被動容錯控制器。文獻[12]對一類存在驅動故障的高階非線性多輸入多輸出系統(tǒng)，提出了一種具有用于PI增益自動調諧分析算法的低成本容錯控制方法。該方法可控制動作連續(xù)且能夠確保閉環(huán)系統(tǒng)所有信號的一致最終有界性。文獻[13]以最小功耗分配策略，采用拉格朗日乘子法計算電流分布矩陣，實現(xiàn)了繞組的容錯控制。文獻[14]提出一種應用于磁懸浮軸承的在線電磁線圈故障診斷方法。文獻[15]通過建立數(shù)字開關功放輸出電流的數(shù)學模型，從理論上分析線圈發(fā)生故障對輸出電流變化率的影響。文獻[16]對異步電機進行了電磁仿真采用場路結合的方法將定轉子端部的電阻和漏感參數(shù)化等效處理到模型中。文獻[17]分析了3種不同的電磁軸承結構模型仿真磁場。該研究通過計算，得出了最大承載力的條件和數(shù)學表達式，給出了參數(shù)設計和計算過程。文獻[18]提出采用應急軸承作為輔助支撐，防止電磁軸承停電或掉電時與轉自碰撞而損壞。

以往的研究提出了以“電磁力等效”為目標實現(xiàn)容錯的方法。當某個磁極回路故障時，由其余正常磁極替代承擔故障磁極的電磁力任務，以實現(xiàn)故障前后8個磁極的電磁合力不變，從而實現(xiàn)容錯控制。但是，由于電磁力和驅動電流的強非線性關系，難以得出驅動電流和電磁力之間的準確換算關系。此外，電磁力等效的思路方法很難有效處理磁極間由于磁路耦合形成的電磁力耦合。因此，本文提出以磁極端面有效磁通不變的原則實現(xiàn)電磁軸承的容錯控制。當某個磁極回路發(fā)生故障時，利用其他正常磁極產生耦合磁通，使8個磁極端面的磁通在故障前后保持不變，即“磁通等效”。磁通環(huán)境相同，電磁力也自然相同，即可實現(xiàn)容錯運行。磁通與電流成線性關系，更利于提高控制精度。

1 電磁軸承的電磁力

8磁極結構是最為常用的徑向電磁軸承定子結構，其常采用差動驅動方式，結構如圖1所示。兩個相鄰定子磁極繞組兩兩串聯(lián)構成4個C型磁極，而這4個C型磁極可以提供定子徑向平面內X、Y軸正反4個坐標方向的電磁力，從而控制轉子懸浮。由于在差動驅動方式中，4個C型磁極的電磁力在方向上沒有冗余，因此當某個磁極驅動回路發(fā)生故障時，不能利用其他磁極實現(xiàn)容錯。

圖1 8磁極C型磁極差動驅動結構Figure 1. 8-pole C-type magnetic pole differential drive structure

為了能實現(xiàn)磁極回路故障的容錯，將4個C型磁極拆分為8個獨立的磁極，得到如圖2所示的徑向8磁極獨立驅動的定子結構。該結構在方向上存在冗余，可以實現(xiàn)容錯控制。

圖2 8磁極獨立驅動結構Figure 2. 8-pole independent drive structure

8磁極定子有3種磁極拓撲結構：全N(S)型、強耦合NSNS型以及弱耦合NNSS型，具體如圖3所示。全N(S)型有大部分磁力線直接在空氣中形成回路，磁路磁阻大，使得驅動電流轉化為電磁力的效率較低，此種拓撲一般不采用。NSNS型與NNSS型相比，因為本文的“磁通等效”方法是利用磁極間磁路耦合實現(xiàn)容錯控制，故本文以下分析采用強耦合NSNS型磁極拓撲結構。根據(jù)本文前期研究的數(shù)據(jù)分析，強耦合NSNS型的容錯性能優(yōu)于弱耦合NNSS型。

(a)

本文主要研究單個磁極回路故障情況，以磁通等效方法達到容錯控制的目的。對于兩個或兩個以上磁極故障，理論上只要能在磁極端面構成磁通回路，用磁通等效是可行的，后續(xù)會展開相應的研究與驗證工作。

2 電磁軸承磁極回路故障容錯控制

2.1 電流-磁通影響系數(shù)法

根據(jù)麥克斯韋方程推導出單個磁極對轉子的電磁力為

(1)

式中，μ0表示真空中的磁導率；A表示定子的有效橫截面積；N表示磁極線圈匝數(shù)；I表示磁極驅動電流；X表示定子與轉子間的氣隙寬度。

式(1)中電磁力與電流是非線性關系。在考慮磁路耦合、漏磁等因素情況下，在實際中較難獲得上式參數(shù)的數(shù)值，進而難以得到電磁力與驅動電流的精確對應關系，不利于提高控制精度。因此，本文提出磁通等效算法，當磁極通電后，其產生磁通大小與驅動電流成線性關系，且不僅在本磁極內產生磁通，還會對周邊磁極也產生耦合磁通。在線性范圍內，8個磁極同時通電運行產生的磁通分布等于各個磁極單獨通電產生磁通的疊加，即滿足疊加性。磁通比電磁力更容易描述磁極間的耦合問題。

磁通等效的算法任務就是為保持故障前后各個磁極端面上產生的磁通不變，重新計算出分配8個磁極所需的驅動電流，故障磁極電流為0。本文采用電流-磁通影響系數(shù)來描述驅動電流與磁通之間的關系。

為簡化計算，做出以下假設與簡化：

(1)忽略定子與轉子鐵芯的漏磁現(xiàn)象；

(2)忽略渦流效應；

(3)不考慮鐵磁材材的磁飽合特性；

(4)不考慮邊緣效應。

假設定子磁極回路通電時，各個磁極工作電流為I，各磁極的有效磁通為φ，有

MI=φ

(2)

式中，M矩陣就是電流-磁通影響系數(shù)矩陣，每個影響系數(shù)aij表示第i個磁極的驅動電流在第j個磁極處產生磁通的關系系數(shù)。

2.2 電流重分配矩陣

假設8磁極電磁軸承的1號磁極回路發(fā)生故障，如圖4所示。

圖4 磁極回路故障圖Figure 4. Magnetic pole circuit fault diagram

如果希望故障前后各個磁極端面的磁通保持不變，則有

MI1=φ

(3)

將式(2)與式(3)比較可知，M矩陣和φ矩陣相同，I為已知，求解I1，即重新分配后的驅動電流。I1=[ 0i2i3i4i5i6i7i8]，1號磁極故障，電流為0。

由(3)可計算得出如下等式

(4)

由式(4)可知，已知1號磁極故障，求解7個正常磁極驅動電流產生8個磁極的磁通，并且磁通與故障前相同。故障磁極電流已知為0，由8個方程求解7個未知數(shù)。

在線性代數(shù)中，方程個數(shù)大于未知數(shù)個數(shù)的方程組稱為超定方程。以超定方程理論解釋這個電磁軸承的方程組，要解出7個驅動電流，只需從7個方程的約束求解；多余的方程為多余條件，反而不能求解。因此，超定方程沒有精確解，只有近似解。在電磁軸承方程中，可理解為用7個磁極產生最接近期望值的8個磁極的端面磁通。

先分析超定方程有最小二乘解的有解條件。根據(jù)超定方程最小二乘解定理：形如Ax=b有最小二乘解的充分必要條件為ATx=ATb有解。方程兩側都乘以AT，A當矩陣的列向量線性無關并且ATA是可逆矩陣，則方程ATAx=ATb有解，Ax=b有最小二乘解。

將式(4)轉化為

KI′1=φ

(5)

式中，I′1=[i2i3i4i5i6i7i8]T；K是M矩陣去除故障磁極列系數(shù)后的子矩陣，為8×7矩陣。因為K矩陣為電流-磁通影響系數(shù)，列向量線性無關并且KTK是可逆矩陣，因此式(5)一定有最小二乘解。

基于上述定理可將式(5)可轉化為

KTKI′1=KTφ

(6)

將式(3)帶入式(6)化簡可得

(7)

式(7)表示把故障前8個磁極的電流，為實現(xiàn)磁通等效容錯控制，重新分配驅動電流的變換矩陣。W為電流重分配矩陣。

W=(KTK)-1KTM

(8)

3 算例分析

3.1 算例分析方案

在ANSYS仿真平臺上搭建了8磁極獨立驅動的NSNS型電磁軸承仿真模型，模型參數(shù)為本文實驗室電磁軸承實驗臺實物數(shù)據(jù)，如表1所示。

表1 模型參數(shù)表

電磁軸承磁極電流由偏置電流和控制電流疊加而成。偏置電流為所有磁極加載相同電流，能使電磁軸承的非線性支承特性工作在合適工作點，由控制電流產生期望的電磁力。在線性范圍內，磁通和電磁力都滿足疊加性。因此，以下算例分析從偏置電流和控制電流兩個方面，分別檢測和評價在容錯前后磁極端面磁通、磁力線分布、控制電流形成磁通的等效性能。

3.2 偏置電流形成的端面磁通

本測試將在不同的偏置電流下，評估發(fā)生磁極故障后磁通等效的效果，4組算例電流分別為3 A、5 A、8 A、10 A。故障前各個磁極端面磁感應強度相同，發(fā)生故障后，磁極端面磁感應強度發(fā)生變化，故障磁極端面磁感應強度大幅減少。在實現(xiàn)“磁通等效”后，端面磁感應強度基本恢復到故障前。

圖5 3 A故障前磁感應強度Figure 5. Magnetic induction intensity before fault at 3 A

圖6 3 A故障后磁感應強度Figure 6. Magnetic induction intensity after fault at 3 A

圖7 3 A等效磁感應強度Figure 7. Equivalent magnetic induction intensity at 3 A

表2 激勵電流為3 A時重新分配的電流值

圖8 5 A故障前磁感應強度Figure 8. Magnetic induction intensity before fault at 5 A

圖9 5 A故障后磁感應強度Figure 9. Magnetic induction intensity after fault at 5 A

圖10 5 A等效磁感應強度Figure 10. Equivalent magnetic induction intensity at 5 A

圖11 8 A故障前磁感應強度Figure 11. Magnetic induction intensity before fault at 8 A

圖12 8 A故障后磁感應強度Figure 12. Magnetic induction intensity after fault at 8 A

圖13 8 A等效磁感應強度Figure 13. Equivalent magnetic induction intensity at 8 A

表4 激勵電流8 A時重新分配的電流值

圖14 10 A故障前磁感應強度Figure 14. Magnetic induction intensity before fault at 10 A

圖15 10 A故障后磁感應強度Figure 15. Magnetic induction intensity after fault at 10 A

圖16 10 A等效磁感應強度Figure 16. Equivalent magnetic induction intensity at 10 A

表5 激勵電流10 A時重新分配的電流值

3.3 偏置電流形成的磁力線分布

本算例將分析故障前后及經(jīng)磁通等效后的磁力線分布變化。當無故障時，激勵電流5 A磁力線分布如圖17所示。每個磁極端面磁力線分布均勻，相鄰磁極磁力線成蝶狀環(huán)型。

圖17 故障前磁力線圖Figure 17. Magnetic line diagram before failure

假設1號磁極回路發(fā)生故障，磁力線分布如圖18所示。磁力線分布變化較大，故障處磁力線稀疏，且磁力線分布不均勻。

圖18 故障后磁力線圖Figure 18. Magnetic line diagram after failure

圖19為使用磁通等效方法后得到磁力線分布圖。由圖可見磁力線已經(jīng)基本恢復了故障前分布，因此使用磁通等效方法可以較好地還原故障前的磁力線分布。

圖19 磁通等效磁力線圖Figure 19. Magnetic flux equivalent magnet line diagram

3.4 控制電流形成磁場的等效誤差

根據(jù)前文分析，利用線性代數(shù)的理論，解出超定方程的最小二乘解。在理論上超定方程的解就存在誤差，只是以最小二乘為原則，解得了最接近理想值的解。下文將重點分析超定方程解的誤差對本文提出方法磁通等效效果的影響。

以在傳統(tǒng)差動磁極驅動條件下，產生二維平面內任意X軸Y軸±100 N內組合的力所對應8個磁極端面的磁通值為等效對象，計算平面內所有情況的磁通等效誤差。

磁通等效誤差的計算過程如下，在二維平面內的一個任意力，先求出其差動驅動且磁極無故障時8個磁極的磁通φ1。再假設1號磁極故障，通過磁通等效重新分配電流后的8個磁極的磁通φ2。

(9)

(10)

最后，對應8個磁極的端面磁通的誤差，取最大的相對誤差。

(11)

在X軸Y軸±100 N的平面內，以1 N為間隔進行計算。對于二維平面上的每個力，得到磁極故障前后的磁通等效誤差如圖20所示。

圖20 1號磁極故障前后的磁通等效誤差圖Figure 20. Equivalent error diagram of magnetic flux before and after No.1 pole fault

由圖20可知，X軸和Y軸為電磁力平面，縱軸表示該點力的磁通等效誤差。假設1號磁極損壞，在如圖標記位置。由圖可知，在X軸Y軸±100 N的平面內，大部分地方(圖中較平坦的地方)的磁通等效誤差較小，在0.5%以內，誤差峰值出現(xiàn)在X軸上。誤差值沿X軸呈山脊狀，最大誤差出現(xiàn)在(100 N，0)處，誤差值為3.2%。

與預想不同的是，圖20中最大誤差沒有出現(xiàn)在故障磁極的位置，而是出現(xiàn)在離故障磁極最近的坐標軸上，即X軸上。這可能是因為本文的磁通等效是以差動驅動的磁通為期望值，而差動驅動產生坐標軸方向的力，只涉及該坐標軸方向磁極，不牽涉其他方向磁極的耦合電磁力，導致等效精度降低。

本文又對假設2號磁極損壞的磁通等效誤差數(shù)據(jù)進行了分析，如圖21所示。由圖可知，最大誤差仍然出現(xiàn)在離故障磁極最近的坐標軸上，即Y軸。

圖21 2號磁極故障前后的磁通等效誤差圖Figure 21. Equivalent error diagram of magnetic flux before and after No.2 pole fault

由于在電磁力是矢量，重構電磁力在方向上存在夾角，故將電磁力正交分解于X、Y軸進行誤差分析。由上述重構電流計算出磁極電磁力，得到如下所示電磁力誤差圖。

圖22 Y軸方向力誤差圖Figure 22. Y-axis direction force error diagram

由圖22可知，將等效后的電磁力正交分解于X軸上，平面大部分區(qū)域誤小于2%，最大誤差出現(xiàn)在(100 N，0)處，誤差值為7%。

由圖23可知，將等效后的電磁力正交分解于X軸上，平面大部分區(qū)域誤小于2%，最大誤差出現(xiàn)在(100 N，0)處，誤差值為7%。

圖23 X軸方向力誤差圖Figure 23. X-axis directional force error diagram

4 結束語

針對電磁軸承運行時有可能發(fā)生的磁極回路故障導致轉子懸浮失控的問題，本文提出了以定子磁極端面的有效磁通不變?yōu)榭刂颇繕说娜蒎e方法。通過ANSYS平臺仿真結果分析，可以得到如下結論：

(1)某個磁極回路發(fā)生故障后，本文提出的以“磁通等效”為原則的容錯方法能夠通過對定子磁極電流的重新分配，利用其他正常磁極產生耦合磁通，使8個磁極端面的磁通在故障前后保持不變。磁通環(huán)境相同，電磁力也自然相同，實現(xiàn)容錯運行；

(2)在磁通等效中，對偏置電流在磁極故障發(fā)生后，磁極端面磁感應強度和定子整體的磁力線分布可以基本恢復到故障前的正常情況。

(3)磁通等效中，控制電流最大誤差出現(xiàn)在離故障磁極最近的坐標軸上，當力為100 N時，最大磁通誤差值為3.2%，最大力誤差為7%；平面上大部分地方的磁通誤差小于0.5%，力誤差小于1.5%。