黑洞的穩(wěn)定性和數(shù)學美

李新洲

從常人看來，數(shù)學結(jié)構，特別是應用于物理學的數(shù)學結(jié)構實在太復雜，除了贊嘆不已外，很難發(fā)生共鳴。廣義相對論如此，粒子物理的規(guī)范模型也是如此，而黑洞穩(wěn)定性的論證更是如此。新近，美國哥倫比亞大學的埃萊娜·喬治（Elena Giorgi）、杰里米·賽福特（Jeremie Szeftel）和普林斯頓大學的賽奇尤·克拉納曼（Sergiu Klainerman）在長達2100頁的5篇論文中，證明了緩慢轉(zhuǎn)動的克爾黑洞確實是穩(wěn)定的，這是廣義相對論的數(shù)學進展中的一座里程碑。

古希臘的赫拉克利特曾說過，自然愛隱藏。確實如此，要在2500年前看到原子是遠遠超過了當時的技術水平。今天，自然也將黑洞的穩(wěn)定性蘊藏了起來。2019年9月14日，在高等引力波激光干涉儀（aLIGO）項目正式啟動的前4天，兩臺探測儀在相隔幾毫秒內(nèi)測量到了一個持續(xù)0.2秒的幾乎相同的信號。這是人類歷史首次觀測到黑洞雙星系統(tǒng)，也是有史以來對黑洞的最直接觀測。黑洞不僅在轉(zhuǎn)動，還在脈動。時空曲率波動在黑洞附近的反彈可以看作它自身的脈動。于是，我們自然會發(fā)問，黑洞與車輪或者恒星的脈動有什么類似之處？快速轉(zhuǎn)動的車輪偏離轉(zhuǎn)動會產(chǎn)生脈動，脈動從轉(zhuǎn)動中獲得能量。在極端情況下，甚至發(fā)生輪子飛離輪軸的事故。力學家說，車輪振動是不穩(wěn)定的。轉(zhuǎn)動恒星也會有類似的現(xiàn)象。所以，人們自然會問，轉(zhuǎn)動的黑洞會發(fā)生不穩(wěn)定的脈動嗎？脈動會從黑洞的轉(zhuǎn)動中獲得能量，愈來愈強嗎？脈動會強到撕裂黑洞的程度嗎？2022年5月31日，喬治、賽福特和克拉納曼在一篇長達912頁的論文中證明了慢轉(zhuǎn)動的克爾黑洞確實是穩(wěn)定的，給徹底解決穩(wěn)定性問題帶來了曙光。

大約在1960年代，物理學家開始對黑洞進行深入的研究。他們用廣義相對論進行一次又一次的計算，發(fā)現(xiàn)黑洞會自轉(zhuǎn)、會脈動，黑洞儲藏能量，也釋放能量，而且沒有毛發(fā)。黑洞只有4類：①球?qū)ΨQ、電中性的靜態(tài)黑洞；②球?qū)ΨQ、帶電的靜態(tài)黑洞；③轉(zhuǎn)動而電中性的克爾黑洞；④轉(zhuǎn)動而帶電的黑洞。由于電磁相互作用遠遠強于引力相互作用，在宇宙中真實存在的黑洞是克爾黑洞。

1963年，新西蘭數(shù)學家克爾（Roy Kerr）發(fā)表了一篇著名文章，描述了轉(zhuǎn)動恒星外面時空曲率的廣義相對論場方程的解。物理學家開始認為，這是一個簡單化的數(shù)學解，因為它只有質(zhì)量和角動量兩個參數(shù)。不久后，劍橋大學的研究生卡特（Brandon Carter）指出，克爾解描述的不是轉(zhuǎn)動恒星而是轉(zhuǎn)動黑洞。到了1970年代中期，卡特和包括彭羅斯在內(nèi)的物理學家證明了，克爾解描述了自然界中所有可能存在的旋轉(zhuǎn)黑洞。

克爾解（表達式很長，讀者可參閱相關廣義相對論教材）是關于z軸對稱的，也就是它獨立于繞z軸轉(zhuǎn)動的Ф角?？藸柦獠皇庆o態(tài)解，而是穩(wěn)態(tài)解；它不是時間t的顯示函數(shù)，但它在時間反演下卻不是不變的，因為它含有一個dtdФ非對角項，其中有一個參數(shù)α，是單位質(zhì)量的角動量。描寫旋轉(zhuǎn)黑洞的克爾解，存在一個所允許的極大轉(zhuǎn)動速度，正因為這樣，我們在外面就無法看到它的內(nèi)部。事實上，這個最大轉(zhuǎn)動速度正對應了黑洞視界上的線速度不超過光速。

旋轉(zhuǎn)的黑洞拉拽黑洞周圍的時空，這有點像災難片中的龍卷風。龍卷風是一種直立管狀旋轉(zhuǎn)的氣流，它由冷暖氣團相互作用而產(chǎn)生。龍卷風常發(fā)生于熱帶和溫帶地區(qū)，最為常見的地區(qū)包括美國的中西部和南部，澳大利亞西部和印度東北部，我國廣東、江蘇地區(qū)也偶有發(fā)生。歷史上最強的龍卷風發(fā)生在1925年的美國，風速高達26.8米/秒，造成2000多人傷亡的大災難。離龍卷風愈近，破壞性愈強，這是一種局部性的災難。克爾黑洞帶動周圍空間一起旋轉(zhuǎn)，離視界愈近，空間轉(zhuǎn)動愈快，在視界處，空間依附在上面一起轉(zhuǎn)動。

克爾黑洞周圍的時空像個大漩渦，漩渦的中心就是黑洞。受引力彎曲的時空也像渦流那樣流動。與水面上的船只一樣，宇宙飛船或者任何物質(zhì)粒子的運動都受制于這個大漩渦。飛船運動的光錐，不僅朝引力中心傾斜，而且被黑洞轉(zhuǎn)動方向拖拽。這種螺旋運動在一個靜止面以內(nèi)是不可抗拒的?？藸柡诙吹慕Y(jié)構比史瓦西黑洞復雜得多，比如克爾黑洞存在兩個無限紅移面，這兩個曲面并不對應物理奇點，它們只是說，粒子不能靜止在這兩個曲面上，只有徑向方向發(fā)射的光信號才能靜止在上面?？藸柡诙催€存在兩個視界面，外邊界r+和內(nèi)邊界r-，它們是單向膜。視界面也不是奇點，在局域測地坐標中，曲率保持為有限。唯一的物理奇點產(chǎn)生在r=0，此處的曲率張量是發(fā)散的。靜態(tài)且電中性的史瓦西黑洞比克爾黑洞的結(jié)構簡單得多，它只有一個無限紅移面和一個視界面，并且兩者合二為一。對于克爾黑洞，只是在極點（θ=0， Ф=π）處，無限紅移面才與視界面重合。

對黑洞穩(wěn)定性早期研究做出過重要貢獻的錢德拉塞卡（Subrahmanyan Chandrasekha），因?qū)π求w結(jié)構及其演化研究獲得1983年的諾貝爾物理學獎。他的父親是位官員，也是位卡納蒂克音樂演奏家，對音樂學造詣頗深。錢德拉塞卡受父親的影響，在黑洞穩(wěn)定性研究中引進了術語“擬正則模（quasi normal mode，QNM）”。意大利語quasi是指“恰如、近乎”的意思，常用于音樂術語之中。當你身處深山，聽到遠處傳來的古剎鐘聲，就是一種擬正則模。

做一天和尚撞一天鐘，倘若和尚用鐵錘代替木魚撞鐘，就可能撞破了鐘。鐘對外部擾動（撞鐘）的穩(wěn)定性，在下述語境下提出了問題：對于有限距離內(nèi)的初始擾動，在擾動所有演化時間內(nèi)，它會保持有界嗎？如果我們將討論對象從鐘換成球?qū)ΨQ的史瓦西黑洞，就可以將問題約化成一個1維波動方程（類薛定諤方程），它帶有一個短程勢，是一個對能量的本征值問題。于是，任何初始擾動在其最后階段將以黑洞固有方式演化，與初始原因無關，而只與黑洞的固有性質(zhì)有關。這就是黑洞擬正則模概念的基礎。

更準確地說，擬正則模是擾動方程的解，它滿足無窮遠處純出射波和視界處純?nèi)肷洳ǖ倪吔鐥l件，屬于不同本征值的解定義了擬正則模。鐘和黑洞都有一個脈動的自然復頻率，這個脈動就是它們的擬正則模。鐘的構造決定了鐘的音調(diào)，同樣，黑洞的結(jié)構也決定了黑洞的擬正則模。在史瓦西黑洞的情形下，黑洞的脈動會逐漸變?nèi)?，所以它是穩(wěn)定的?？藸柡诙丛谵D(zhuǎn)動，是否會像發(fā)生輪子飛出輪軸事故那樣，脈動會愈來愈強嗎？1971年，錢德拉塞卡認為克爾黑洞的轉(zhuǎn)動最終會撕裂自身，并與研究生普雷斯（W. H. Press）打了賭。但是，判定輸贏的工具尚不存在，在此后的競爭中，圖科斯基（Saul Teukolsky）率先創(chuàng)建了他的克爾幾何框架下的微擾方程。

利用圖科斯基方程，可以分析多種問題：克爾黑洞的擬正則模，黑洞脈動的穩(wěn)定性，黑洞與中子星、或者雙黑洞、或者雙中子星并合時發(fā)出的引力波。利用這個方程，圖科斯基和普雷斯通過數(shù)值計算表明，不論黑洞旋轉(zhuǎn)多快，脈動都是穩(wěn)定的。理由很簡單，黑洞脈動確實從轉(zhuǎn)動中獲得了能量，但發(fā)射引力波也使黑洞輻射出能量，計算表明發(fā)射的能量速率大于從轉(zhuǎn)動中獲得能量的速率，從而黑洞不可能被脈動破壞。盡管錢德拉塞卡輸了這場賭局，他為卡特爾訂閱了一年《聽眾》雜志，但是他卻在以后的歲月將他的數(shù)學天才都用到了完善這個研究上。1983年，他的巨著《黑洞的數(shù)學理論》出版了，這是一本黑洞擾動理論的百科全書。

蕭何等漢初三杰人稱“三人幫”，在雙曲型方程研究領域也有一個聞名遐邇的“三人幫”，他們就是克拉納曼、塞福特和喬治?？死{曼是普林斯頓大學數(shù)學系教授，1950年出生于布加勒斯特，他自我介紹道：“我是一個對廣義相對論中偏微分方程發(fā)生強烈興趣的分析家，熱衷于黑洞的數(shù)學理論，特別是它的穩(wěn)定性。我對黑洞捕獲面和奇點形成的動力學也感興趣。”塞福特是哥倫比亞大學藝術與科學研究生院的教授，而年輕的喬治是該院的助理教授。著名的原子彈曼哈頓計劃就誕生在這里，杰出的科學家費米、李政道和吳健雄都在這里工作過。

涌現(xiàn)數(shù)學物理方面的女天才，是哥倫比亞大學的特色。吳健雄在曼哈頓計劃中起到了重要作用，并且她用實驗證明了弱相互作用過程中的宇稱不守恒。每一個遇到她的人，都會被她旺盛的精力、美麗的容貌和華貴的儀態(tài)所吸引。她被同行們譽為“實驗原子核物理學的執(zhí)政女王”，并成為美國物理學會歷史上第一位女性主席。多年之后，哥倫比亞大學又涌現(xiàn)出一位驚艷數(shù)學物理學界的女科學家，她與吳健雄一樣具有充沛的精力與美麗的容貌。她在論述三人幫研究的課題重要性時說道：這與一個“終極猜想”有關，所謂終極是指宇宙的最終命運?？藸柡诙吹姆€(wěn)定性是這個猜想的前提之一。倘若克爾黑洞是絕對穩(wěn)定的，那么宇宙最終將演變成眾多遠遠分離的克爾黑洞。

三人幫采用的論證策略就是常用的反證法。這是一種間接論證的方法，對所要論證的論題，設定反論題，并依據(jù)邏輯推理，證明反論題為偽。最后根據(jù)排中律，確立論題為真。三人幫認為，圖科斯基和普雷斯的數(shù)值論證是不夠的，需要對圖科斯基方程進行嚴格的分析，才能得到使人信服的結(jié)論。三人幫假設的反論題為克爾解不可能長期存在。為了證明這個反論題是偽的，喬治說，三人幫采用了偏微分方程分析技巧，他們能將克爾解擴展到設定的最長時間之外。由此證明了，克爾黑洞是穩(wěn)定的。

20世紀著名畫家埃舍爾（Maurits Comnelis Escher）的那幅《圓的極限Ⅳ》將簡單性與復雜性交融的藝術美發(fā)揮到了極致。畫中的天使和魔鬼盤根錯節(jié)，層層疊疊，直至消失在無限分形的邊界里。這幅畫同時體現(xiàn)了簡單性與復雜性交融的數(shù)學美，它是一幅描述負曲率空間的圖畫，精確地展現(xiàn)了反德西特（AdS）空間的2維截面。這是埃舍爾與魔鬼做了一筆交易，讓他能夠畫出天使無數(shù)，還是另有深意？只要我們朝乾夕惕，努力去看，就能看到最后一位可見的天使。

伽利略說，大自然這本書是用數(shù)學的語言寫成的。從這個意義上說，對自然規(guī)律的陳述必定是簡短的。然而，自然規(guī)律的本質(zhì)隱藏得很深，特別是有關詳情隱藏得更深。數(shù)學家利用邏輯推理，對于這些陳述的論證往往很長。費馬大定理的證明歷程是一個純數(shù)學例子，費馬大定理的陳述并不復雜，但是懷爾斯（Andrew Wiles）的證明卻極其復雜。三人幫關于克爾黑洞穩(wěn)定性的數(shù)學證明又是一個例證，簡單性和復雜性相互交融是數(shù)學研究的一個普遍特征，也是數(shù)學美之所在。一個簡短的數(shù)學陳述常常需要一個極長的證明。

三人幫在2022年5月31日在arXiv上發(fā)布的論文《波動方程估算和慢轉(zhuǎn)動克爾黑洞的非線性穩(wěn)定性》長達912頁，倘若加上克拉納曼和塞福特2021年發(fā)表的長達800頁的論文《小角動量的克爾穩(wěn)定性》以及有關數(shù)學工具的3篇文章，論證總長達到2100頁。閱讀全文的論證確實令人生畏！不過，三人幫給出的物理圖像是清晰而優(yōu)美的。用引力波或者電磁波給一個慢轉(zhuǎn)動克爾黑洞一個撞擊，只要耐心等待，它會安定下來，還是一個克爾黑洞。

盡管在克爾黑洞穩(wěn)定性證明上，克拉納曼、塞福特和喬治已經(jīng)取得了重要進展，但是離喬治的“終極猜想”的證明還十分遙遠。目前證明的前提是，黑洞在慢旋轉(zhuǎn)，也就是說，證明只是針對角動量與質(zhì)量之比遠小于1的黑洞。對于快速轉(zhuǎn)動的情形尚未得到證明，況且已進行的證明并未給出具體的快慢。為此，人們認為至少還需要證明下述3個問題：① 所有穩(wěn)定的軸對稱解一定是克爾解；② 所有克爾解都是穩(wěn)定的；③ 物理奇點只出現(xiàn)在黑洞視界內(nèi)，不存在裸奇點。目前這些問題尚處在猜測階段，最樂觀的估計，證明要在幾十年后才會獲得。路漫漫其修遠兮，需人們上下而求索，需要青年數(shù)學家們的努力！

[1]Giorgi E， Klainerman S， Szeftle J. Wave equations estimates and the nonlinear stability of slowly rotating Kerr black hole. http：//www.quantamagazine.org/black-holes-finally-provenmathematically-stable-20220804/.

[2]Li X Z， Hao J G， Liu D J. Quasinormal modes of stringy black hole. Physics Letters B， 2001（507）： 312-316.

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[4]Liu D J， Yang B， Zhai Y J， et al. Quasinormal modes of asymptotic safe black holes. Classical and Quantum Gravity. 2012（29）： 145009.

[5]Li P， Huang Y， Feng C J， et al. Super radiant instabilities for a charged black hole in de Rham-Gabadadze-Tolley theory. Physical Review D， 2020（102）： 024063.

[6]Chandrasekhar S. The mathematical theory of black holes. Oxford： Oxford University Press， 1983.

關鍵詞：克爾黑洞 穩(wěn)定性 無限紅移面 視界 圖科斯基方程 ■