筆者最近開設了一節(jié)“二次根式復習”市級公開課。在準備這節(jié)課的過程中，筆者依據(jù)《義務教育數(shù)學課程標準（2022年版）》（以下簡稱“新課標”）理念，圍繞大觀念引領(lǐng)的單元整體教學進行設計，有效探索了吳鍔教授提出的“基于情境、問題導向、深度理解、高度參與、開放多元”教學模式。單元復習課一般有兩種設計方式：一種是廣鋪式，對所有知識點進行梳理；另一種是深挖式，圍繞某一知識點充分挖掘其價值展開復習。本課是一節(jié)廣鋪式的單元復習課，下面結(jié)合課例加以說明。

一、憑借問題，梳理要點，激活經(jīng)驗，構(gòu)建知識體系

問題1：為美化環(huán)境，某小區(qū)決定在小區(qū)配電房前面的長方形空地上都種上草皮。已知配電房的使用面積為54平方米。如果配電房是正方形的，那么配電房的每條邊長為[54]米，也就是說長方形空地長為[54]米。如果空地的寬為[6]米，鋪滿一塊長方形空地需要購買多少平方米的草皮？

設計意圖：基于生活情境設計問題，引出二次根式課題和概念。連同后續(xù)問題，以問題串的形式，讓學生回顧二次根式研究內(nèi)容，包括概念、性質(zhì)、運算、運用，并通過追問，引導學生回憶二次根式乘法法則和最簡二次根式的概念。

筆者隨后給出相應的題組，以幫助學生及時鞏固知識。

題組1：（1）下列各式中，（）是二次根式。

A.[a] B.[x2-1]C.[π]D.[-15]

（2）求使[x-2]有意義的x的取值范圍。

（3）若a＜1，請化簡[a-12]-1。

（4）計算：3[5]×2[10]。

設計意圖：設置（1）（2）（3）的目的是讓學生深度理解二次根式的雙重非負性。被開方數(shù)是非負數(shù)，才能確定它是二次根式。算術(shù)平方根本身也是非負數(shù)，即[a2]=[a]。題目（4）是讓學生鞏固乘法法則，在計算時做到明算理、懂算法。學生經(jīng)歷計算，將結(jié)果化成最簡二次根式的過程，可以深化對最簡二次根式概念的理解。

問題2：草坪的長是寬的多少倍呢？

題組2：（5）計算：[32]÷[18]。

設計意圖：問題2是讓學生回憶二次根式除法法則，再通過題（5）及時鞏固。類比有理數(shù)的除法法則，讓學生體會法則在二次根式中仍然適用，強化“結(jié)果必須化成最簡二次根式”。

問題3：為了保護草坪，就得用籬笆把四周圍起來。要做到合理用料，請計算長方形空地的周長是多少米？長比寬長多少米？

題組3：（6）化簡：①[2000]；②[x4+x2y2]。

（7）下列是同類二次根式的是（）。

A.[13]和[18] B.[3]和[13]

C.[a2b]和[ab2] D.[a+1]和[a-1]

（8）計算：（[48]+[20]）+（[12]-[5]）。

設計意圖：問題3讓學生回憶二次根式的加法法則、減法法則并通過題組3及時鞏固。通過題（6）的①，學生可以體會化簡二次根式實質(zhì)上就是把被開方數(shù)分解質(zhì)因數(shù)；通過題（6）的②，學生討論被開方數(shù)的正負性，進一步感悟分類的數(shù)學思想。題（7）的C選項可以引導學生發(fā)現(xiàn)在這兩個二次根式成立的條件下，a、b都是非負數(shù)，從而歸納出“解題時一定要注意隱含條件”。

二、典型例析，訓練思維，深度理解，感悟數(shù)學思想方法

例題的選擇必須要有針對性、典型性，難度適中，最好是針對學生在新課學習時掌握不到位的知識點，這樣才能突出重點、訓練思維，讓學生在解決問題的同時不斷感悟數(shù)學思想方法，完善對知識的認識，做到深度理解。

例1：如果表示a、b兩個實數(shù)的點在數(shù)軸上的位置如圖1所示，那么化簡[a-b]+[a+b2]，結(jié)果等于（）。

圖1

A.-2b B.2b C.-2a D.2a

例2：已知[9-xx-6]=[9-xx-6]，且x為偶數(shù)，求（1+x）[x2-5x+4x2-1]的值。

設計意圖：例1是針對難點[a2]=[a]而設計的，目的是讓學生深刻感悟解題方法，體會數(shù)形結(jié)合思想。例2給人的直覺是條件和結(jié)論都比較復雜，好像都可以化簡，但學生通過小組討論，發(fā)現(xiàn)只能先轉(zhuǎn)化條件，再轉(zhuǎn)化結(jié)論，否則（1+x）的正負性無法判定。設計例2的目的是培養(yǎng)學生嚴謹?shù)乃季S。在化簡結(jié)論的過程中，學生先對代數(shù)式進行因式分解，可以發(fā)展運算素養(yǎng)，加深對轉(zhuǎn)化思想的理解。

三、綜合運用，提升能力，升華理解，形成數(shù)學核心素養(yǎng)

要發(fā)展學生的創(chuàng)造能力和創(chuàng)新精神，就需要我們的課堂更加開放，設計開放性的問題，給學生獨立探究的空間和時間。只有這樣，才能讓學生的思維更有深度，課堂生成更加靈動。

問題4：你能夠想到幾種分母有理化的情形？嘗試編一道分母有理化的題目。

題組4：（9）嘗試化簡：[13+1]+[15+3]+[17+5]+…+[12n+1+2n-1]。

（10）觀察下列各式及驗證過程：

①2×[23]=[2+23]，驗證：2×[23]= [233]=[23-2+222-1]=[222-1+222-1]=[2+23]；

②3×[38]=[3+38]，驗證：3×[38]= [238]=[33-3+332-1]=[332-1+332-1]=[3+38]；

③4×[415]=[4+415]，驗證：4×[415]= [4315]=[43-4+442-1]=[442-1+442-1]=[4+415]；

a. 針對上述式①②③的規(guī)律，請再寫出一條按以上規(guī)律變化的式子；

b. 請寫出滿足上述規(guī)律的用n（n為任意自然數(shù)，且n≥2）表示的等式，并加以驗證。

設計意圖：問題4讓學生列舉分母有理化的情形，復習分母有理化的三種類型，為學生自主編題奠定基礎(chǔ)。學生基礎(chǔ)不同，編寫的題目難度也不同。教師可以讓各層次的學生展示編寫的題目，并追問分母有理化的結(jié)果。對于第（9）題，學生可以很自然地就完成該題的化簡；對于題（10），筆者讓學生先自主探究，再小組合作探究，最后分小組進行展示。

四、歸納小結(jié)，整體建構(gòu)，升華理解，形成知識的完整脈絡

筆者引導學生從知識、思想和方法等方面對本節(jié)課的學習進行小結(jié)，從而建構(gòu)本章的知識體系、思想體系和方法體系，幫助學生從本質(zhì)上理解二次根式。類比數(shù)的運算來研究式的運算，可以幫助學生感悟數(shù)式通性。回顧數(shù)與代數(shù)的學習歷程，即從數(shù)字到字母，再到整式、分式、二次根式，有利于學生感悟?qū)W習代數(shù)問題的一般路徑，從而形成代數(shù)問題的大觀念。板書設計（略）。

五、教學反思

1. 基于情境，貫穿始終，建立二次根式的知識體系

新課標指出，要強化情境設計，注重創(chuàng)設真實情境。教學情境一般包括三類，分別是生活情境、學科內(nèi)部情境和跨學科情境。本節(jié)課以學生熟悉的長方形草坪作為情境，設計了一系列的問題，引出二次根式的概念、性質(zhì)、加減乘除和混合運算等內(nèi)容，并通過相應的題組及時鞏固；基于生活情境，從學生已有的經(jīng)驗出發(fā)，梳理知識脈絡，幫助學生形成二次根式的知識體系。同時，情境的引入激發(fā)了學生學習數(shù)學的興趣，增加了學生的閱讀量，培養(yǎng)了學生的閱讀理解能力、數(shù)學的應用意識和應用能力。

2. 問題導向，促進思考，形成研究問題的方法和思想

新課標還指出，要強化問題提出，重視設計合理問題。問題是數(shù)學的心臟。好的問題能激發(fā)學生的學習興趣，引導學生深度思考。本節(jié)課設計了一系列循序漸進的問題，沿著“問題→對話（或追問）→生成→發(fā)展”這一注重課堂生成的有效途徑，促進了學生思維的發(fā)展。整堂課以問題為引領(lǐng)，引導學生類比整式的運算，探究二次根式的運算，并對二次根式的研究方法進行系統(tǒng)思考，對相關(guān)知識體系進行全面理解，從而逐步形成研究二次根式的思想體系。

3. 深度理解，活用變式，提高分析、解決問題的能力

同一個問題的變式教學，能讓學生深刻領(lǐng)會二次根式運算的算理，并熟練運用算法進行計算。在進行混合運算時，先分析題目結(jié)構(gòu)，再進行運算，可以培養(yǎng)學生從宏觀、中觀、微觀三個角度思考問題的習慣。本節(jié)課的兩個例題讓學生充分地感悟了類比、轉(zhuǎn)化等數(shù)學思想，同時對于二次根式中“因式在非負條件下才能自由‘進出根號”這個易錯點，學生也有了更深刻的認識。

4. 深度參與，落實“三會”，彰顯學生主體地位

新課標指出，數(shù)學課程要培養(yǎng)的學生核心素養(yǎng)主要包括三個方面：會用數(shù)學的眼光觀察現(xiàn)實世界；會用數(shù)學的思維思考現(xiàn)實世界；會用數(shù)學的語言表達現(xiàn)實世界。數(shù)學核心素養(yǎng)是課程目標的集中體現(xiàn)，因此，平時的數(shù)學章節(jié)課教學應充分落實“三會”。本節(jié)課所選的題目，全部由學生自主完成并上臺講解，教師只做必要的引導和補充。學生自主經(jīng)歷數(shù)學觀察、數(shù)學思考、數(shù)學表達、概括歸納、遷移運用等學習過程，培養(yǎng)了良好的學習習慣。

5. 開放多元，創(chuàng)新編題，形成數(shù)學核心素養(yǎng)

新課標指出，初中階段核心素養(yǎng)的主要表現(xiàn)之一是創(chuàng)新意識。創(chuàng)新意識主要指學生能從日常生活、自然現(xiàn)象或科學情境中發(fā)現(xiàn)和提出有意義的數(shù)學問題。本節(jié)課在拓展提升環(huán)節(jié)中設計了自主編題這樣一個開放性、多元化的問題，培養(yǎng)了學生的創(chuàng)新精神和創(chuàng)新能力，著力發(fā)展學生核心素養(yǎng)。

總之，復習課要從學生的認知基礎(chǔ)出發(fā)，從知識的系統(tǒng)性和整體性的角度進行建構(gòu)，注重教學內(nèi)容的結(jié)構(gòu)化，這樣才能在教學的過程中讓學生“既見樹木，又見森林”，形成對知識的整體認識，提煉大觀念，讓知識在課堂上自然地生成，讓學生的能力得到全面提升，最終提升學生的數(shù)學核心素養(yǎng)。

（作者單位：江蘇省蘇州市相城區(qū)教育發(fā)展中心）