董芳芳, 裴瑞昌

(天水師范學(xué)院 數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院, 甘肅 天水 741001)

1 預(yù)備知識(shí)

緊框架在框架理論的研究中扮演著非常重要的角色，它不僅具有優(yōu)于其他框架的性質(zhì)，還具有更廣泛的應(yīng)用.HilbertK_模是一種特殊的HilbertC*-模[1]，其中底代數(shù)K為作用在Hilbert空間上的全體緊算子組成的C*-代數(shù)，顯然I?K，因此，HilbertK_模無(wú)法膨脹，但是Bakic等[2]證明了有限或可數(shù)生成的HilbertK_模一定有特殊的標(biāo)準(zhǔn)正交基，其特殊點(diǎn)在于相同基向量的內(nèi)積為K中的一個(gè)秩1的自伴投影eξ,ξ，它是HilbertK_模的標(biāo)志(見(jiàn)定義2)，本文將eξ,ξ的亮點(diǎn)體現(xiàn)的淋漓盡致.另外，本文中涉及到的Λ為有限或可數(shù)的指標(biāo)集，本文研究的模均為有限或可數(shù)生成的.

定義1[2]設(shè)K為作用在Hilbert空間H上的全體緊算子組成的C*-代數(shù)，M是復(fù)數(shù)域C上的線性空間，M是左K_模，滿足：μ(kx)=(μk)x=k(μx)，其中任意的μ∈C，k∈K，x∈M，若〈·,·〉:M×M→K具有性質(zhì):

1) 〈x,x〉≥0，?x∈M；

2) 〈x,x〉=0?x=0，?x∈M；

3) 〈x,y〉=〈y,x〉*，?x,y∈M；

4) 〈kx,y〉=k〈x,y〉，?k∈K，?x,y∈M；

5) 〈x+y,z〉=〈x,z〉+〈y,z〉，?x,y,z∈M.

定義3[2]稱HilbertK_模M中的序列{eξ,ξxλ,λ∈Λ}為框架，若存在常數(shù)a>0,b>0，使得對(duì)?x∈M，

若a=b，則稱{eξ,ξxλ,λ∈Λ}為緊框架；若a=b=1，則稱{eξ,ξxλ,λ∈Λ}為正規(guī)緊框架.

定義4[3]設(shè)M為HilbertK_模，{eξ,ξxλ,λ∈Λ}為M的框架，{vλ,λ∈Λ}為M的標(biāo)準(zhǔn)正交基，定義算子：θ:M→M，使得對(duì)?x∈M，有

稱θ為{eξ,ξxλ,λ∈Λ}的框架變換，S=θ*θ稱為{eξ,ξxλ,λ∈Λ}的框架算子，顯然，S為可逆自伴的正算子，且對(duì)任意的x∈M，

2 收斂的“內(nèi)積級(jí)數(shù)”的存在性

定理1[4]設(shè)M為HilbertK_模，{eξ,ξxλ,λ∈Λ}為M的以a>0為緊框架界的緊框架，θ為其框架變換，P:M→θ(M)為正交投影，則

且θθ*=aP，其中{vλ,λ∈Λ}為M的標(biāo)準(zhǔn)正交基.

證明設(shè)θ1和θ1分別為其框架變換，結(jié)合定理1有

從而

因此，〈(aP+bQ)(vλ),vλ〉=〈eξ,ξxλ⊕eξ,ξyλ,eξ,ξxμ⊕eξ,ξyμ〉=eξ,ξ=〈vλ,vλ〉當(dāng)且僅當(dāng)aP+bQ=I.

下面將該結(jié)論推廣到有限個(gè)HilbertK_模上.

推論1設(shè)M為HilbertK_模，{eξ,ξxiλ,λ∈Λ}(i=1,2,…,n)均為M的緊框架，且緊框架界分別為ai>0，Pi:M→θi(M)均為正交投影，則

{eξ,ξx1λ⊕eξ,ξx2λ⊕…⊕eξ,ξxnλ,λ∈Λ}∈

下面定理揭示了存在滿足一定條件的有限個(gè)緊框架的內(nèi)積之和等于eξ,ξ.

定理3設(shè)M為HilbertK_模，若存在M的ai-緊框架{eξ,ξxiλ,λ∈Λ}(i=1,2,…,n,ai>0)，使得

則

證明設(shè){vλ,λ∈Λ}為M的標(biāo)準(zhǔn)正交基，結(jié)合推論1,有

從而，一方面，

從而

綜上，

下面定理說(shuō)明：

定理4設(shè)M為HilbertK_模，若存在M的緊框架{eξ,ξxiλ,λ∈Λ,i∈N+}，使得

?λ∈Λ

則

其中

事實(shí)上，對(duì)任意的x∈M，

另外，由于

即

?λ∈Λ

最后，由于對(duì)?x∈M，

顯然滿足P2=P=P*，并且

3 緊框架的估計(jì)

從緊框架的框架算子S和指標(biāo)集Λ1?Λ出發(fā)，受文獻(xiàn)[5-8]的啟發(fā)，解決了HilbertK_模上緊框架的估計(jì)問(wèn)題，包括最優(yōu)的雙邊不等式和等式，涉及到算子的“配方”，最后也得到了關(guān)于對(duì)偶框架的一些等式.

定理5設(shè)M為HilbertK_模，{eξ,ξxλ,λ∈Λ}為M的a-緊框架，且a>0，則對(duì)任意的Λ1?Λ及任意的x∈M，有下面的結(jié)論：

證明1) 由于對(duì)任意的可伴有界線性算子T1和T2，若T1+T2=aI，則

或

也即，

從而，

即

展開(kāi)后有

〈a2I(x),x〉

因此，

即

展開(kāi)后有

當(dāng){eξ,ξxλ,λ∈Λ}為M的正規(guī)緊框架時(shí)，顯然有

3) 類似地，由于

即

〈a2I(x),x〉

也即，

展開(kāi)后有

注3當(dāng){eξ,ξxλ,λ∈Λ}為M的正規(guī)緊框架，即a=1時(shí)以上三個(gè)結(jié)論更成立，這里不再累述.

定理6設(shè)M為HilbertK_模，{eξ,ξxλ,λ∈Λ}為M的框架，S為其框架算子，{S-1(eξ,ξxλ),λ∈Λ}和{eξ,ξyλ,λ∈Λ}分別為其典則對(duì)偶框架和交替對(duì)偶框架，則對(duì)任意的Λ1?Λ及任意的x∈M，

證明1) 由于{S-1(eξ,ξxλ),λ∈Λ}為{eξ,ξxλ,λ∈Λ}的典則對(duì)偶框架，從而，對(duì)任意的Λ1?Λ及任意的x∈M，

從而，一方面，

另一方面，

綜上，

2) 類似1).