許石君，侯 毅，鄧新蒲，陳沛鉑，周石琳

（國(guó)防科技大學(xué) 電子科學(xué)學(xué)院，長(zhǎng)沙410000 ）

0 引言

Dempster -Shafer（D -S）證據(jù)理論是由Dempster［1］和他的學(xué)生Shafer［2］共同提出的理論，能夠在無(wú)先驗(yàn)知識(shí)的條件下，有效處理由隨機(jī)性和模糊性帶來(lái)的不確定性，已被廣泛應(yīng)用于目標(biāo)識(shí)別、故障診斷、智能決策和風(fēng)險(xiǎn)評(píng)估等領(lǐng)域。

在D-S 證據(jù)理論的應(yīng)用發(fā)展中，Zadeh［3］于1986 年指出：Dempster 組合規(guī)則的使用在證據(jù)高度沖突時(shí)會(huì)失效。針對(duì)以上問(wèn)題，研究者給出了許多改進(jìn)的方法，其中使用加權(quán)平均的方法對(duì)原始證據(jù)進(jìn)行修正后再使用Dempster 組合規(guī)則進(jìn)行融合，能夠較好地保留Dempster 組合規(guī)則的良好數(shù)學(xué)性能—交換律和結(jié)合律。

然而，如何合理地確定證據(jù)的權(quán)重是一個(gè)值得研究的問(wèn)題。Liu［4］提出了一種新的權(quán)重因子估計(jì)方法，利用基于概率變換的距離和沖突系數(shù)來(lái)表征相異性，距離代表證據(jù)之間的差異，而沖突系數(shù)則揭示了兩個(gè)基本概率賦值函數(shù)強(qiáng)烈支持某假設(shè)的分歧程度。相異性的兩個(gè)方面在某種意義上是互補(bǔ)的，兩個(gè)方面的結(jié)合被用作相異性的度量，此度量值便是各個(gè)證據(jù)的權(quán)重值；Xiao［5］將Jousselme 距離推廣到復(fù)雜的證據(jù)距離，以度量復(fù)雜的證據(jù)沖突，并將其作為加權(quán)因子對(duì)原始證據(jù)進(jìn)行修正，以獲得最后的融合結(jié)果；Mi［6］提出了基于非沖突元素集的證據(jù)沖突處理方法，先利用證據(jù)間的相關(guān)系數(shù)獲得加權(quán)平均值，加權(quán)平均得到新證據(jù)，再通過(guò)非沖突元素集判斷后進(jìn)行折扣計(jì)算，以獲得最終的融合結(jié)果；Xiao［7］提出了一種基于相似度和置信熵的方法，首先根據(jù)基本概率賦值的修正余弦相似性，計(jì)算證據(jù)的可信度及其相應(yīng)的全局可信度；其次，根據(jù)證據(jù)的全局可信度，將原始證據(jù)分為可靠證據(jù)和不可靠證據(jù)兩類(lèi)；最后，為了加強(qiáng)可靠證據(jù)的積極效應(yīng)，減輕不可靠證據(jù)的負(fù)面影響，利用鄧熵函數(shù)來(lái)衡量不同類(lèi)型證據(jù)的信息量，以得到證據(jù)權(quán)重并修改證據(jù)源；An［8］在相似性度量模型中引入模糊推理機(jī)制，通過(guò)計(jì)算模糊貼進(jìn)度和相關(guān)系數(shù)來(lái)度量證據(jù)之間的沖突程度，在此基礎(chǔ)上利用置信熵來(lái)計(jì)算證據(jù)的不確定性，從而得到證據(jù)的可信度，并利用量化信息量對(duì)每個(gè)可信度進(jìn)行修正，獲得最終的證據(jù)權(quán)重；Tao［9］提出基于置信熵和誘導(dǎo)有序加權(quán)平均算子的算法，同時(shí)考慮了證據(jù)的不確定性和可靠性，首先計(jì)算出各個(gè)證據(jù)的置信熵和可信度；其次，對(duì)各個(gè)證據(jù)的置信熵從高到低進(jìn)行排序，基于有序加權(quán)平均算子產(chǎn)生有序加權(quán)平均對(duì)，再利用正則遞增單調(diào)函數(shù)計(jì)算出順序權(quán)值，加權(quán)平均后的新證據(jù)通過(guò)融合后得到最終結(jié)果；Yan［10］提出基于改進(jìn)置信熵的加權(quán)平均方法，利用改進(jìn)置信熵度量各個(gè)證據(jù)的不確定值，以此作為證據(jù)的支持度，從而獲得各個(gè)證據(jù)的權(quán)重，并對(duì)原始證據(jù)進(jìn)行加權(quán)修正，得到加權(quán)平均證據(jù)，以實(shí)現(xiàn)沖突證據(jù)的有效融合。雖然，Yan 方法在大多數(shù)情況下，能夠較好地處理沖突證據(jù)，但該方法是通過(guò)改進(jìn)的置信熵度量整個(gè)證據(jù)的不確定性值，從全局的角度和不確定性的角度衡量證據(jù)之間的差異，并直接將整個(gè)證據(jù)的置信熵值作為證據(jù)支持度，從而確定證據(jù)的權(quán)重，當(dāng)沖突證據(jù)的置信熵值等于或者大于正常證據(jù)時(shí)，系統(tǒng)將賦予沖突證據(jù)與正常證據(jù)相同甚至更大的權(quán)重值，導(dǎo)致沖突得不到有效處理。

為此，本文提出基于置信熵差的沖突證據(jù)融合方法，利用證據(jù)內(nèi)對(duì)應(yīng)焦元的鄧熵值差度量證據(jù)之間的差異，從而合理地確定各個(gè)證據(jù)的權(quán)重值；從局部的不確定性的角度度量證據(jù)之間的差異，從而有效克服了現(xiàn)有基于置信熵的方法存在的不足，并通過(guò)算例證明了該方法的有效性和優(yōu)越性。

1 理論知識(shí)

定義1［11］識(shí)別框架。若Θ ＝｛F1，F(xiàn)2，…，F(xiàn)N｝是由N個(gè)兩兩互斥元素構(gòu)成的有限的完備集合，則稱(chēng)Θ為識(shí)別框架（Frame Of Discernment，F(xiàn)OD）。Fi稱(chēng)作識(shí)別框架的一個(gè)元素或事件。由Θ中的所有子集或命題組成的集合稱(chēng)為Θ的冪集，記為2Θ，可表示為

識(shí)別框架內(nèi)的元素是有限可窮舉的，且相互之間不相容。直觀來(lái)說(shuō)，識(shí)別框架就是所識(shí)別判斷的對(duì)象的全體集合，將抽象的邏輯概念轉(zhuǎn)化成直觀的集合論概念，進(jìn)而把各個(gè)元素之間的邏輯運(yùn)算轉(zhuǎn)化為集合論運(yùn)算。

定義2［1］組合規(guī)則。設(shè)m1和m2為兩組基本概率賦值，對(duì)應(yīng)的焦元分別為A1，A2，…，An和B1，B2，…，Bm，用m表示組合后的證據(jù)，則Dempster 組合規(guī)則表示為

其中，K為沖突系數(shù)，表示為（2），式（2），m表示m1和m2的正交和，記為符號(hào)⊕。

當(dāng)組合多個(gè)證據(jù)時(shí)，其表達(dá)為：

定義3加權(quán)平均證據(jù)。假設(shè)m1，m2，…，mn是從不同的數(shù)據(jù)源收集到的證據(jù)，而w1，w2，…，wn是證據(jù)對(duì)應(yīng)的權(quán)重，利用權(quán)重對(duì)原始證據(jù)進(jìn)行修改，得到加權(quán)平均證據(jù)，表示為（5）

定義4［12］鄧熵。鄧熵是香農(nóng)熵的推廣，其定義如式（6）

定義5Yan 提出的改進(jìn)置信熵，通過(guò)引入信任函數(shù)來(lái)擴(kuò)展不確定性的度量，是在鄧熵的基礎(chǔ)上的拓展與改進(jìn)，其定義為

2 基于置信熵差的沖突證據(jù)融合方法

2.1 置信熵差

鄧熵是一種改進(jìn)的置信熵，作為香農(nóng)熵的推廣，鄧熵是一種有效的測(cè)量不確定信息的數(shù)學(xué)工具。本文在鄧熵的基礎(chǔ)上，提出利用置信熵差度量證據(jù)之間的差異。

定義6假設(shè)A1，A2，…，Ak是證據(jù)mi和mj的焦元，那么證據(jù)mi和mj之間的置信熵差表示為

其中，Ed(mi(Ak)) 是焦元Ak的置信熵值。

2.2 證據(jù)權(quán)重的確定

假設(shè)識(shí)別框架中有n個(gè)證據(jù)。

第一步，利用鄧熵式（7）計(jì)算焦元置信熵；

第二步，構(gòu)造置信熵差矩陣，式（9）；

第三步，利用式（10）計(jì)算證據(jù)體的支持度；

然而，基于置信熵的方法的證據(jù)體支持度是由式（11）計(jì)算獲得，其值等于置信熵本身；

第四步，利用式（12）獲得證據(jù)權(quán)重。

3 數(shù)值算例

通過(guò)置信熵差度量證據(jù)之間的差異以獲得證據(jù)權(quán)重，對(duì)原始證據(jù)加權(quán)平均得到加權(quán)平均證據(jù)，利用Dempster 組合規(guī)則對(duì)加權(quán)平均證據(jù)進(jìn)行融合。

3.1 反例1

假設(shè)辨識(shí)框架Θ ＝{A，B，C}，系統(tǒng)收集到5 個(gè)證據(jù)，各證據(jù)的基本概率賦值（basic probability assignment，BPA）如下：

顯然，證據(jù)m2與其它證據(jù)高度沖突，在加權(quán)平均過(guò)程中應(yīng)當(dāng)?shù)玫礁〉臋?quán)重。利用基于置信熵的方法計(jì)算各個(gè)證據(jù)的支持度。

根據(jù)式（12）獲得各個(gè)證據(jù)的權(quán)重，見(jiàn)表1。

表1 獲得各證據(jù)權(quán)重值Tab.1 Weight of evidences for Yan’s method

計(jì)算各個(gè)證據(jù)的支持度（以融合前3 個(gè)證據(jù)為例）。

證據(jù)內(nèi)各焦元的鄧熵值為：

利用式（8）計(jì)算各證據(jù)之間的置信熵差：（直接給結(jié)果）

因而，可構(gòu)建證據(jù)置信熵差矩陣D3×3：

利用式（11）計(jì)算各證據(jù)體的支持度。

利用式（12）獲得證據(jù)權(quán)重。

各證據(jù)的權(quán)重值，見(jiàn)表2，第二個(gè)證據(jù)權(quán)重值的對(duì)比如圖1 所示。

表2 本文方法的各證據(jù)權(quán)重值Tab.2 Weight of evidences for the proposed method

圖1 第二個(gè)證據(jù)權(quán)重值對(duì)比Fig.1 Comparison of the weights for the second evidence

由表1 可知，5 個(gè)證據(jù)的置信熵是相等的，將沖突證據(jù)和正常證據(jù)都賦予了相同的權(quán)重，導(dǎo)致后續(xù)融合過(guò)程中沖突證據(jù)無(wú)法得到有效處理。根據(jù)表2和圖1 可知，本文提出的方法賦予沖突證據(jù)以更小的權(quán)重值，能夠很好地區(qū)分正常證據(jù)與沖突證據(jù)。此外，隨著正常證據(jù)的增加，沖突證據(jù)的權(quán)重值下降明顯，使得正常證據(jù)的作用得到了最大程度的發(fā)揮，沖突證據(jù)受到了最大限度的抑制。

3.2 反例2

假設(shè)辨識(shí)框架Θ ＝{A，B，C}，系統(tǒng)收集到5 個(gè)證據(jù)，各證據(jù)的BPA為：

m1：m1（A）＝0.9，m1（B）＝0，m1（C）＝0.1

顯然，證據(jù)m2與其它證據(jù)高度沖突，在加權(quán)平均過(guò)程中應(yīng)當(dāng)?shù)玫礁〉臋?quán)重值。利用Han 方法和本文方法得到各個(gè)證據(jù)的權(quán)重值見(jiàn)表3、表4 和圖2 所示。

表3 Yan 方法獲得各證據(jù)權(quán)重值Tab.3 Weight of evidences for Yan’s method

表4 本文方法的各證據(jù)權(quán)重值Tab.4 Weight of evidences for the proposed method

圖2 第二個(gè)證據(jù)的融合結(jié)果對(duì)比Fig.2 Comparison of combination result for the second evidence

根據(jù)式（7）可得，沖突證據(jù)的置信熵值為0.921大于正常證據(jù)的置信熵值0.468，見(jiàn)表3，采用Yan方法的沖突證據(jù)權(quán)重值反而大于正常證據(jù)權(quán)重值，即使正常證據(jù)個(gè)數(shù)在增加，但沖突證據(jù)權(quán)重依然大于正常證據(jù)，顯然與事實(shí)相違背。根據(jù)表4 和圖3可知，本文提出的方法能夠合理地處理沖突證據(jù)，賦予沖突證據(jù)以更小的權(quán)重值，并始終比Yan 方法的權(quán)重值更小。此外，隨著正常證據(jù)個(gè)數(shù)的增加，沖突證據(jù)的權(quán)重值始終保持下降的趨勢(shì)，并小于正常證據(jù)的權(quán)重值，一定程度上減小了沖突證據(jù)對(duì)后續(xù)融合的負(fù)面影響。從反例1 和反例2 的對(duì)比結(jié)果可知，無(wú)論沖突證據(jù)的置信熵值大于還是等于正常證據(jù)，本文方法都能較好地處理沖突證據(jù)并賦予一個(gè)較為合理的權(quán)重值，其有效性得到充分證明。

3.3 識(shí)別應(yīng)用

在多目標(biāo)識(shí)別系統(tǒng)中，A、B和C表示3 種不同的目標(biāo)，目前共有5 個(gè)不同類(lèi)型的傳感器，各傳感器數(shù)據(jù)的基本概率賦值如下。顯然，證據(jù)m2與其它證據(jù)高度沖突，目標(biāo)A將獲得最高的可信度。

第一步，計(jì)算各證據(jù)內(nèi)各焦元的鄧熵值；

第二步，利用式（10）計(jì)算各證據(jù)之間的置信熵差；

構(gòu)建證據(jù)置信熵差矩陣D5×5；

第三步，利用式（11）計(jì)算各證據(jù)體的支持度；

第四步，利用式（13）獲得證據(jù)權(quán)重；

第五步，利用式（14）得到修正后的加權(quán)平均證據(jù)；

第六步，利用Dempster 組合規(guī)則，融合修正后的加權(quán)平均證據(jù)4 次，得到最終融合結(jié)果。

為驗(yàn)證本文所提方法的有效性和合理性，分別應(yīng)用Dempster 方 法、Murphy 方 法［13］、Deng 方法［14］、Yan 方法對(duì)應(yīng)用實(shí)例中的證據(jù)進(jìn)行融合，各方法的融合結(jié)果見(jiàn)表5 和圖3 所示，m(A) 的融合結(jié)果對(duì)比如圖4 所示。

圖3 融合5 個(gè)證據(jù)后的結(jié)果對(duì)比Fig.3 Comparison of results after combination of five evidences

圖4 m（A）的融合結(jié)果對(duì)比Fig.4 Comparison of m（A）′ combination result

由于證據(jù)m2中類(lèi)別A的基本概率賦值為0，無(wú)論支持類(lèi)別A的證據(jù)有多少個(gè)，通過(guò)Dempster 組合規(guī)則融合后，m(A) 的值始終為0，出現(xiàn)“一票否決”的現(xiàn)象，表明經(jīng)典的Dempster 組合規(guī)則在融合高度沖突證據(jù)時(shí)會(huì)得到違背常理的結(jié)果。Murphy 方法能夠得到合理的融合結(jié)果，但該方法只是對(duì)證據(jù)進(jìn)行簡(jiǎn)單的加權(quán)平均，沒(méi)有考慮影響證據(jù)權(quán)重的其它因素，因而最終融合結(jié)果中，正確類(lèi)別的可信度不是最高。

雖然Deng 方法和Yan 方法在Murphy 方法的基礎(chǔ)上獲得了更高的正確類(lèi)別可信度，并在整體收斂速度上相較本文方法有一定的優(yōu)勢(shì)，但從證據(jù)不確定性的角度可以得到合理的解釋。根據(jù)表5 計(jì)算結(jié)果可知，由于m2置信熵值（0.468）最小，即不確定性程度最低，證據(jù)信息的可信度程度高。本文方法在融合m1、m2以及m1、m2、m3時(shí)，并沒(méi)有過(guò)早地否定m2，而是當(dāng)正常證據(jù)m4和m5加入后，在已經(jīng)確認(rèn)為沖突證據(jù)的情況下，開(kāi)始抑制沖突證據(jù)對(duì)后續(xù)融合的負(fù)面影響，賦予證據(jù)m2以更低的權(quán)重值，因而在融合4 個(gè)或5 個(gè)證據(jù)時(shí)，本文方法的收斂速度最快，獲得了正確類(lèi)別A的最高置信度0.993，充分說(shuō)明了本文方法的優(yōu)越性。

表5 不同沖突證據(jù)融合方法的融合結(jié)果Tab.5 Combination results of different conflict evidence combination methods

4 結(jié)束語(yǔ)

針對(duì)現(xiàn)有基于置信熵的加權(quán)平均方法，沖突證據(jù)置信熵值大于或等于正常證據(jù)時(shí)，出現(xiàn)的證據(jù)權(quán)重確定不合理的問(wèn)題，本文提出了基于置信熵差的沖突證據(jù)融合方法。該方法利用證據(jù)內(nèi)對(duì)應(yīng)焦元的鄧熵值差度量證據(jù)之間的差異，獲得各證據(jù)的支持度，從而確定各個(gè)證據(jù)的權(quán)重值，相比于只簡(jiǎn)單地利用整個(gè)證據(jù)的置信熵值確定證據(jù)權(quán)重的方法，能夠從局部的不確定性的角度衡量各證據(jù)可靠性，使得證據(jù)權(quán)重的確定更加客觀、準(zhǔn)確和合理。算例結(jié)果表明，基于置信熵差的沖突證據(jù)融合方法，證據(jù)權(quán)重確定更加符合人的客觀認(rèn)識(shí)，融合結(jié)果的正確目標(biāo)可信度最高。